De Vlnfini mathématique^ 2' partie, liv. IV, ch. iv

4. C'est ce qu'a montré notamment W^undt : KanVs kosmologische Antinomien und das Problem der Unendlichkeit^ ap. Philos. Studien, t. Il (1885).

5. Il faut signaler, cependant, qu'une fois au moins il a trouvé la juste définition de l'infini : « L'infini est ce qui n'est pas diminué par la soustraction d'une partie finie ». Allgemeine Naturgeschichle und Théorie des Himmels (1755), comm* de la 3* partie (Hartenstein, l, 332). Malheureusement il ne s'y est pas tenu.

302 LA PHILOSOPHIE DES fllATHEMATlQUES DE KANT

être achevée » (A. 430-32, B. 468-60; *. On retrouve ici rimmixtioQ malencontreuse et illégitime de Tidée de temps, soit dans le nombre, soit même dans la grandeur. On peut donc dire que Kant introduit lui-même dans la notion d*infini la contradiction qu'il croit y découvrir, et lui retourner le reproche qu'il adressait avec raison aux Hnitistes de son temps (et de tous les temps) : « Confingunt nempe talem inûniti definitionem, ex qua conlradictionem aliquam exsculpere possint^ ». Dans tous les cas, les antinomies procèdent, non des notions propres de l'espace et du temps, mais uniquement de la notion de Tinfini qu'on leur applique; on ne peut donc rien en conclure touchant l'idéalité de l'espace et du temps. On ne peut en conclure, selon nous, qu'une chose : c'est que Kant s'est fait un concept contradictoire de Tinfini, parce quUl introduit arbitrairement la notion de temps dans le nombre et dans la grandeur ; c'est par conséquent une réfutation indirecte de sa philosophie des mathématiques^.

i. Cf. Vaihikger» Commentent, t. II, p. 253-261 : Excurs sur « l'espace grandeur infinie donnée ». Cette contradiction est fort voisine de cette autre, remarquée par P. Schrôder {Kants Lehre vom Baum, Halle, 1894) : dans l'Esthétique transcendentale (§ 2, n** 3), Kant dit que l'espace est antérieur à ses parties; mais ailleurs (Â. 162, B. 203) il dit que la grandeur extensive est celle dont les parties sont antérieures au tout, et que l'espace est une telle grandeur.

2. De'jnundi sensibilis atque inteUigibilis forma et principiis (1770), éd. Hartenstein, t. IL p. 396 note; cf. A. 430, B. 458. Le contexte de cette note confirme complètement notre interprétation, & savoir que la seule raison des antinomies est le caractère successif attribué à la synthèse des nombres et des grandeurs, laquelle par suite ne peut être achevée « en un temps fini ». Kant ajoute que c'est là une nécessité « subjective » de l'entendement « humain », qui n'entraîne nullement que l'infini soit inintelligible en soi (c'est-à-dire contradictoire). Le concept d'infini, dit-il encore, est irreprésentable, en tant que contraire aux lois de l'intuition, mais non impossible, c'est-à-dire contraire aux lois de la pensée. Toute difficulté disparaît donc, si l'on admet, contrairement au postulat fondamental delà Critique, que la pensée n'est pas nécessairement confinée dans le domaine de l'intuition.

3. Bien des auteurs ont déjà observé que les antinomies ne prouvent pas l'idéalité du monde extérieur, car ces prétendues contradictions restent les^mêmes, que le monde soit idéal ou réel (Voir par exemple Wundt, op. cit.). Ekhardt a fait à ce sujet une remarque ingénieuse et d'une logique fort juste : Si le fondement des antinomies était réellement l'hypothèse de la réalité du monde, cette hypothèse devrait figurer dans la démonstration des thèses et des antithèses, ce qui n'a pas lieu {Kritik der kantischen Antinomienlehre, Jena, 1888).

Conclusions.

En résumé, les progrès de la Logique et de la Malhémalique au xi\^ siècle ont infirmé la théorie kantienne et donné raison h Leibniz. Si Kant séparait et opposait entre elles la Logique et la Mathématique, c'est qu'il avait une idée trop étroite de Tune et de lautre. On connaît l'opinion qu'il avait de la Logique : cette science n'avait pas, selon lui, fait un seul pas depuis Aristote (B. viu), et n'en avait plus un seul à faire, car elle avait atteint dès l'origine une perfection qu'elle devait à sa « limitation ». On sait aussi quel éclatant démenti les logiciens modernes devaient inQiger à cette opinion. Sans doute, Kant ne pouvait pas prévoir la renaissance de la Logique au xix"" siècle ; mais il aurait pu du moins être plus juste pour les ciTorts de ses prédécesseurs, c'est-à-dire de Leibniz et de son école, qui avaient essayé de dépasser le cadre artificiel et restreint de la Logique aristotélicienne. Au lieu de continuer ce mouvement et de collaborer à ce progrès avec ses puissantes facultés, Kant s'est montré en Logique formelle ultra-conservateur, pour ne pas dire réactionnaire : il s'est contenté de critiquer la « fausse subtilité des quatre figures du syllogisme » et de simplifier la Logique scolastique, et il ne parait pas s'être jamais douté que celle-ci eût besoin d'être élargie et approfondie *. Gela est d'autant plus étonnant, que la Logique formelle était, de son propre aveu, la base nécessaire de la Logique transcendentale ; c'est « la même fonction » qui forme les jugements et subsume les objets sous les catégories; c'est « le même entendement », « par les mêmes actions », qui produit, d'une part, l'unité analytique dans les concepts, et d'autre part l'unité synthétique dans l'intuition (A. 79; B. 104-105)*. Il semble donc que Kant eût dû, avant toute chose, analyser avec le plus grand

1. Cf. Stexikelhacher : Die formais Logik KanVs in ihrèn Beziehungen zur transscendentalen (Breslau, 1879).

2. Dans le § 26 de la Critique, Kant affirme « la coïncidence complète des catégories avec les fonctions logiques générales de la pensée » (B. 159). Cf. W. ScHUPPE : Das Verhàllniss zwischen KanVs formater und Iransscen^ dentaler Logik, ap. Philos, Monatshe^le, t. XVI (1880).

soin les opérations logiques de Tesprit et les divers modes de déduction, suivant la méthode positive préconisée et pratiquée par Leibniz, à savoir par Tétude des formes du langage et de la pensée scientifique. Au lieu de cela, il s*est contenté d*emprunter à la vieille Logique scolastique des formules surannées et un cadre tout fait, et d'adopter la classification traditionnelle des jugements \ en la complétant par de fausses fenêtres pour les besoins de la symétrie ^ Et quand on sait quel usage, ou plutôt quel abus il a fait de ce cadre étroit et rigide, quand on le voit calquer sur lui le tableau des catégories et celui des principes, puis couler tour à tour toutes ses théories dans ce moule uniforme et le transformer en un lit de Procuste où elles doivent entrer bon gré mal gré, bien plus, s'en servir comme d'un guide et d'un moyen d'invention, on reste coufondu à la pensée que le grand critique a accepté sans critique le fondement de tout son système, qu'à l'édifice majestueux (mais trop artificiel et trop symétrique) des trois Critiques il manque le soubassement indispensable, à savoir une Logique moderne et vraiment scientifique, et qu'en un mot, le colosse d'airain a des pieds d'argile.

D'autre part, Kant concevait, avec tous ses contemporains, les mathématiques comme les sciences du nombre et de la grandeur, et même, plus étroitement encore, comme les sciences de l'espace et du temps, et non pas comme une science ou plutôt une méthode purement formelle^ comme un ensemble de raisonnements déductifs et hypothétiquement nécessaires. Ici encore, on ne saurait lui reprocher de n'avoir pas prévu l'avenir, encore que, sur ce point aussi, Leibniz ait vu plus clair et plus loin que lui, et ait conçu fort nettement la Mathématique universelle, et plus spécialement TAlgèbre universelle (qu'il appelait la Caractéristique) comme applicable à toutes