Pbano, Revue de Malhémaliques, t. VI, p

4. C'est la dislinclion que les Scolastiqued faisaient déjà enlre le sens disMtutif et le sens collectif d'un concept.

THEORIE r.ARDINALE 47

classe qui fait qu'elle a tel nombre, et par suite dans quel cas ou dans quelles conditions deux classes auront le même nombre, c'est-à-dire à définir le nombre cardinal par abslracUon.

Deux classes ont le même nombre, lorsqu'on peut établir entre leurs éléments une correspondance univoque et réciproque, autrement dit, une relation biuniforme, ou, comme nous dirons pour abréger, lorsqu'elles sont équivalentes K Cette définition est, comme on voit, purement logique. Il ne faut pas croire qu'elle implique l'idée du nombre un^: en effet, la relation biuniforme se définit uniquement au moyen de la relation d'identité entre individus '. Seulement cette définition a besoin d'une légère modification pour embrasser le cas de la classe nulle : car, toute relation supposant des termes, on ne sait pas ce qu'est une relation biuniforme entre deux classes nulles. On dira donc : n Deux classes a et A ont le même nombre, lorsqu'il existe une relation biuniforme dont le domaine comprend a, et telle que la classe des corrélatifs des termes de a soit identique à b ». .Cette définition équivaut à la précédente, si les classes ne sont pas nulles ; et ai elles sont nulles, chacune d'elles est contenue dans le domaine (et dans le codomaine) d'une relation biuniforme quelconque, de sorte qu'elles sont corrélatives. Il en résulte que deux classes nulles ont le même nombre, qu'on appellera (zéro). Ainsi le zéro arithmétique se trouve défini au moyen du zéro logique.

De même, deux classes singulières ont le même nombre, qu'on appellera 1 {tin). Encore une fois, il ne faut pas croire que cette définition du nombre un constitue un cercle vicieux, car la définition de la classe singulière repose uniquement sur la relation d'identité*. D'ailleurs, s'il est vrai qu'elle implique en un sens Vunilé ou plutôt Vindividualitê de l'élément consi-

1. Le mot correaponctiint en anglais est simitar; mais il ne faut pas le traduire par semblable, qui correspond à Utie. Le mot correspondant en allemand est gleiehzaklig ; par sa composition, il semble impliquer un cerde vicieux, maïs il ne l'implique pas ea résilié. Cf. Fbege, Grundlagen dey Arilhnetik, §68 (1884).

2. Comme nou3 l'avons soiiienu [De l'îii/ini matttêmai ique , loc. cit.),