THEORIE CARDINALE

classe (d'où, par eontraposition ; deus classes appartenant à des classes différentes ont des nombres différents). Il y a donc une correspondance biuniforme entre les nombres cardinaux et les classes de classes. Mais alors, il existe tout au moins une entité, et une entité unique qui correspond à chaque nombre cardinal : et c'est précisément la classe des classes qui sont dites avoir ce nombre. On peut donc considérer cette classe de classes comme représentant le nombre cardinal correspondant. C'est d'ailleurs la conclusion à laquelle on est conduit par le principe d'abstraction, qui n'est pas un axiome ou un postulat, mais un théorème de la Logique des relations, énoncé et démontré par M. Kussell'. On établit d'abord que, si S est une relation uniforme, la relation R^S*'^S est symétrique et transitive '. Le p7-incipe d'abstraction est la réciproque de ce lliéorÈme : Si M est une relation symétrique et transitive', il ciiste une relation uniforme S telle que if ^ 5 '"^S. Autrement dit, s'il existe entre deux objets quelconques d'une certaine classe une relation symétrique et transitive, cette relation peut être ramenée à une même relation uniforme que ces objets ont avec un même terme. Ce principe est d'une application très fréquente en Matiiématique, toutes les fois qu'on emploie une définition par abstraction. Il a pour effet de ramener toute relation symétrique et transitive à une espèce d'égalité (c'està-dire d'identité). L'égalité ^ est elle-même une relation symétrique et transitive; c'est pounjuoi on peut y ramener et on y ramène en effet toutes les relations de îa même forme. Par exemple, deux vecteurs parallèles, de même longueur et de même sens, sont dits équipollents (BELLAViïis) ; l'équipollence est une espèce d'égalité. De même, deux segments (deus surfaces, deux solides) congruents sont dits c^aux (en grandeur) et

1. Op. cit., p. IC6, 221); Sur la Logique des relations, P. 6. 3. â. Rappelonaque, par déflnilion, la relation S» i^S eat celle qui esis te entre X et y, dès qu'on a : xSz et j/Si (= z^Sy).