De Vlnfini mathématique, 2' partie, liv. IV, ch, iv

4. C'est ce qu'a montré nolamment Wundt : Kanl's kosmoiogiscke Antinomien und das Problem der Unendlichlteit, ap. Philos. Sltidien, 1. 11 (18SS).

5. li faut signaler, cependant, qu'une fois an moins il a trouvé lajuste déllnltion de l'inUoi : • L'inrini est ce qui u'eet pas diminué par la soustraction d'une partie finie ». Âllgemelne Nalurgeschickle uitd Théorie des lliinmeh (nSS), comm'de la 3" partie (Hartenstein, I, 3Î2). Malheureusement il ne s'y est pas tenu.

êlre achevée » (A. 430-32, B. 4S8-60j '. On retrouve ici l'immix- Uoa malencontreuse et Illégitime de l'idée de temps, soit dans le nombre, soit même dans la grandeur. On peut donc dire que Kant introduit lui-même dans la notion d'infini la contradiction qu'il croit y découvrir, et lui retourner le reproche qu'il adressait avec raison aux finitistcs de son temps (et de tous les temps) : « Confmgunl nempe talem infiniti deiinitionem, ex qua contradictionein aliquam essculpere possinl ^ ». Dans tous les cas, les antinomies procèdent, non des notions propres do l'espace et du temps, mais uniquement de la notion de l'infini qu'on leur applique; on ne peut tionc rien en conclure touchant l'idéalité de l'espace et du temps. On ne peut en conclure, selon nous, qu'une chose : c'est que Kant s'est fait un concept contradictoire de l'infini, parce qu'il introduit arbitrairement la notion de temps dans le nombre et dans la grandeur ; c'est. par conséquent une réfutation indirecte de sa philosophie des mathématiques '.

1. Cf. ViiuiscKFi, Commentai; t, II, p. 253-261 : Excurs sur . l'espace grandeur inrinie donnée ■. Celte contradiction esl fort voisine de cette autre, remarquée par P. Schrôder {liants Lelire vom Ratim, Halle, 1894) : dans l'Esthétique Iran scend en taie (g S, n" 3), Kant dit que l'espace est antérieur à ses parties; mais ailleurs (A. i62, B. 203) il dit que la grandeur exiensive est celle dont ies parties sont antérieures au lout, et que l'espace est une telle grandeur,

2. De'jnundi sensibilù atgue intelligibilù forma et priiicipii) (mO), éd. Hartenslein, t. II, p. 3% note; cf. A. 430, B. 4S8. Le contexte de cette noie confirme complètement notre interprélation, à savoir que la seule raison des aiiUnomies esl le caractère successif attribué à la synthèse des nombres et des grandeurs, laquelle par suite ne peut être achevée ■ en un temps Uni •. Kant ajoute que c'est I& une nécessité ■ subjective • de l'enlendement " humain », qui n'entraîne nullement que l'infini soit inintelligible en soi (c'est-à-dire contradictoire). Le concept d'infini, dit-il encore, est irreprésen table, en tant que contraire aus lois de l'intuition, mais non impossible, c'est-à-dire contraire aux lois de la pensée. Toute diflicultéjdisparalt donc, si l'on admet, contrairement au postulat fondamental de la Ci-itique, que la pensée n'est pas nécessairement confinée dans le domaine de l'intuition.

3. Bien des auteurs ont déjà observé que les antinomies ne prouvent pas l'idéalité du monde extérieur, car ces prétendues conlradictions restent lesTmémes, que le monde soit idéal on réel (Voir par exemple Wu.idt, op. cil.). ELiHAEDT a fait à ce sujet une remarque ingénieuse et d'une logique fort juste ; Si le fondement des antinomies était réellement l'hypottiÈse de la réalité du monde, cette hypothèse devrait figurer dans la démonstration des thèses et des antithèses, ce qui n'a pas lieu (linlilc der kanlischen Aniinomienlelire, Jena, 1888).

conclusions 303

Conclusions.

En résumé, les progrès de la Logique et de la Malliémalique au xix^ siècle ont infirmé la théorie kantienne et donné raison h, Leibniz. Si Kant séparait et opposait entre elles la Logique et la MaUiématique, c'est qu'il avait une idée trop étroite de l'une et de l'autre. On connut l'opinion qu'il avait de la Logique : cette science n'avait pas, selon lui, fait un seul pas depuis Aristote {B. vin), et n'en avait plus un seul à faire, car elle avait atteint dès l'origine une perfeetion qu'elle devait ù. sa a limitation ». On eait aussi que! éclatant démenti les logiciens modernes devaient infliger à cette opinion. Sans doute, K'int ne pouvait pas prévoir la renaissance de la Logique au XK' siècle ; mais il aurait pu du moins être plus juste pour les efforts de ses prédécesseurs, c'est-à-dire de Leibniz et de son école, qui avaient essayé de dépasser le cadre artificiel et restreint de la Logique aristotélicienne. Au lieu de continuer ce mouvement et de collaborer à ce progrès avec ses puissantes facultés, Kant s'est montré en Logique formelle uitra-conaervateor, pour ne pas dire réactionnaire : il s'est contenté de critiquer la " fausse subtilité des quatre figures du syllogisme » et de simplifier la Logique scolastique, et il ne paraît pas s'être jamais douté que celle-ci eût besoin d'être élargie et approfondie'. Cela est d'autant plus étonnant, que la Logique formelle était, de son propre aveu, la base nécessaire de la Logique Iranscendentale ; c'est H la même fonction » qui forme les jugements et subsume les objets sous les catégories; c'est » le même entendement », u par les mêmes actions », qui produit, d'une part, l'unité analytique dans les concepts, et d'autre part l'unité synthétique dans l'intuition (A. 79; B. i04-103) *. Il semble donc que Kant eût dû, avant toute chose, analyser avec le plus grand

1. et. SriîCEELUACHiH : Die formah Logik Kanl's in ihren Beziehungen :ur ti'ansscendertiaten (Breslau, 1S79). ,

2. Dans le § 36 de la Cri'^'gue, Kaiitatlirnie ' ta coïncideDce complète des ca.légories avec les foactioas logiques générales de la penséa • (B. 150). Cf. W. ScHUPPE : Das yei'hilUniss zviiselien Kanl's formate!- und h dentale,' Logili,e.p. Philos. Monatshe'te , t. XVI {iS8Û).

soin les opéralîons logiques de l'esprit et les divers modes de dcductioii, suivant la méthode positive préconisée et pratiquée par Leibniz, à savoir par l'étude des formes du langaf^e et de la pensée scientifique. Aq lieu de cela, il s'est contenté d'emprunter à, la vieille Logique scolastique des formules surannées et un cadre tout fait, et d'adopter la classification traditii)!»nelle des jugements ', en la complétant par de fausses fenêtres pour les besoins de !a symétrie^. Et quand on sait quel usage, ou plutôt quel abus il a fait de ce cadre étroit et rigide, quand on le voit calquer sur lui le tableau des catégories et celui di.'S principes, puis couler tour à tour toutes ses théories dans ce moule uniforme et le transformer en un lit de Procuste où elles doivent entrer bon gré mal gré, bien pins, s'en servir comme d'un guide et d"un moyen d'invention, on reste confondu à la pensée que le grand critique a accepté sans criVique le fondement de tout son système, qu'à l'édifice majestueux (mois trop artificiel et trop symétrique) des trois Critiques il manque le soubassement indispensable, à savoir une Logique moderne et vraiment scientifique, et qu'en un mot, le colosse d"airain a des pieds d'argile.

D'autre part, Kant concevait, avec tous ses contemporains, les mathématiques comme les sciences du nombre et de la grandeur, et môme, plus étroitement encore, comme les sciences de t'espace et du temps, et non pas comme une science ou plutôt une méthode purement formelle, comme un ensemble de raisonnements déduclifs et hypothétiquement nécessaires. Ici encore, on ne saurait lui reprocher do n'avoir pas prévu l'avenir, encore que, sur ce point aussi, Leibniz ait vu plus clair et plus loin que lui, et ait congu fort nettement la Mathématique universelle, et plus spécialement l'Algèbre universelle (qu'il appelait la Caractéristique) comme applicable k toult'S

1. Empruntée à rOi'janon de Laubebt {Steck a, F. Ebh*rpt {Kriiik der Kantiscken Antlnomienleltre, Jena, 1888) marque et blâme ce goût de Kant pour l'archilecloitigtie, et lui attribue nvenlion des anlmomJes de la raison pratique et de la tacuité de juger,

IL lui paraissent des pendants artificiela S. l'antinomie de la raison

les formes possibles de déduclion. Mais ces anlicipalions géniales étaient encore inconnues ou méconnues, et passaient alors pour des rêves d'utopiste. Au temps de Kaut, les principes de l'Analyse étaient encore obscurs, le Calcul infinitésimal n'avait pas encore été logiquement construit et purgé de la notion mystérieuse d'infiniment petit (que certains Kantiens ont si étrangement interprétée); Gauss ne savait pas encore si l'on devait admettre les « quantités « imaginaires, qui sont devenues la base indispensable de l'Analyse, et c'est en 1806 seulement qu'Argand en trouvait la première interprétation satisfaisante. Pendant longtemps encore, on s'est demandé si ces entités bizarres et paradoxales (conlradicloires même pour quelques-uns) étaient des « nombres » ou des « grandeurs ». Ce n'est que peu h peu, à la suite de l'invention du calcul barycenlri([ue de Môbius, du calcul des équipollcnces de Bellavilis, du calcul géométrique de Grassmann, des quaternions de Hamilton, de la Géométrie projective de Slaudt, de la théorie des ensembles, de la théorie des substitutions et des groupes, enfin du calcul logique de Boole, qu'on est parvenu à concevoir que la mathématique n'est pas liée à une nature particulière d'objets, mais est une méthode générale de dcmnnsti-alion et d'invention. C'est précisément Boolë qui a le premier « réalisé» cette idée, et l'a formulée dans cette phnise lapidaire : « Il n'est pas de l'essence des mathématiques de s'occuper des idées de nombre et de quantité '. » Aussi l'on a pu dire, sans trop de paradoxe, que la mathématique pure a été découverte par Boole ^ Et puisque nous célébrons des anniversaires, il nous sera permis de remarquer que le centenaire de la mort de Kant est le cinquantenaire de la mathématique pure; ce qui excuse suffisamment Kaut de n'avoir pas connu cei:e-ei.

En somme, toutes nos critiques reviennent simplement à constater ce fait notoire, que depuis un siècle la Mathématique