XX. Tout A est B

Or, tout A est C ;

Donc, quelque C est B.

De ces vingt formes , je remarque que la XVIe est la même que la Ve, celle-ci se changeant en celle-là si Ton écrit C pour A et A pour C, et qu'on commence par la seconde proposition; de sorte donc qu'il ne reste que dix-neuf formes différentes.

Le fondement de toutes ces formes se réduit à ces deux principes sur la nature du contenant et du contenu :

I. Tout ce qui est dans le contenu se trouve aussi dans le contenant,

H, Tout ce qui est hors du contenant est aussi hors du contenu.

Ainsi, dans la dernière forme, où la notion A est contenue tout entière dans la notion B , il est évident que si A est aussi contenu dans la notion C, ou en fait une partie, cette môme partie de C sera certainement contenue dans la notion B , de sorte que quelque C est B.

Chaque syllogisme renferme donc trois propositions, dont les deux premières sont nommées les prémisses, et la troisième la conclusion. Or l'avantage de toutes ces formes, pour diriger nos raisonnements , est que , si les deux prémisses sont vraies , la conclusion est aussi infailliblement vraie.

C'est aussi le seul moyen de découvrir les vérités inconnues : chaque vérité doit toujours être la conclusion d'un syllogisme, dont les prémisses sont indubitablement vraies. Je puis encore ajouter que la première des prémisses est nommée la proposition majeure , et l'autre la mineurs.

n février 1761.

LETTRE XXXVII

Analyse de quelques syllogismes.

Si Votre Altesse veut bien donner quelque attention à toutes les formes de syllogismes que j'ai eu l'honneur de mettre devant ses yeux , elle verra que chaque syllogisme renferme nécessairement trois propositions, dont les deux premières sont nommées prémisses, et la troisième conclusion. Or la force des dix-neuf formes de syllogismes consiste en cette propriété dont chacune est douée , que si les deux premières propositions ou prémisses sont vraies, on peut infailliblement compter sur la vérité de la conclusion.

Considérons, par exemple, ce syllogisme:

Nul homme vertueux n'est médisant ;

Or, quelques hommes médisants sont savants ;

Donc, quelques savants ne sont pas vertueux.

Dès qu'on m'accorde les deux premières propositions, on est absolument obligé d'avouer la vérité de la troisième, qui en suit nécessairement.

Ce syllogisme appartient à la XIIe forme, et il en est de même de toutes les autres formes que j'ai développées et dont le fondement, représenté par des figures, saute d'abord aux yeux. Ici on

rencontre trois notions (fig. 80) : celle des hommes vertueux, celle des hommes médisants, celle des hommes savants.

Que l'espace A représente la première, l'espace B la seconde, et l'espace C la troisième. Maintenant, puisqu'on dit dans la première proposition que nul homme vertueux n'est médisant, on soutient que rien de tout ce qui est contenu dans la notion de l'homme vertueux, ou dans l'espace A , n'est compris dans la notion de Y homme médisant, ou dans l'espace B ; donc l'espace A se trouve tout entier hors de l'espace B , en cette sorte (fig. 81 ) .

Mais dans la seconde proposition , on dit que queîques hommes compris dans la notion B sont aussi contenus dans la notion des hommes savants, ou dans l'espace C ; ou bien on dit qu'une parlie de l'espace B se trouve dans l'espace C, comme (fig. 82), où la

Fig. 80. Fig. 81. Fig. 82.

partie de l'espace B comprise dans C est marquée d'une étoile *, qui sera donc aussi une partie de l'espace C. Donc , puisqu'une . partie de l'espace C est en B, et que tout l'espace B se trouve hors de l'espace A , il est évident que la même partie de l'espace C doit aussi être hors de l'espace A, ou bien quelques savants ne seront pas vertueux.

Il faut bien remarquer que cette conclusion ne regarde que la partie * de la notion C qui est plongée dans la notion B. Pour le reste , il est incertain s'il est aussi exclu de la notion A , comme dans la fig. 83 ; ou s'il y est renfermé tout entier, comme fig. 84 ; ou seulement en partiea comme dans la fig. 85.

Fig. 83. Fig. 84. Fig. 86.

Or, puisque cela est incertain, le reste de l'espace C n'entre dans aucune considération ; la conclusion se borne uniquement à ce qui

est certain , c est-à-dire que la môme partie de l'espace C qui est contenue dans l'espace B se trouve certainement hors de l'espace A, puisque cet espace existe lout entier hors de l'espace B.

De la même manière on peut démontrer la justesse de toutes les autres formes de syllogismes ; mais toutes les formes qui diffèrent des dix-neuf rapportées , ou qui n'y sont pas comprises , sont destituées d'un pareil fondement, et mèneraient à l'erreur et à des faussetés si l'on voulait s'en servir.

Votre Altesse reconnaîtra ce défaut très-clairement par un exemple qui n'est compris dans aucune de nos dix-neuf formes :

Quelques savants sont nvares ;

Or, nul avare n'est vertueux;

Doqc, quelques vertueux ne sont pas savants.

Peut-être que cette troisième proposition serait vraie , mais elle ne suit pas des prémisses; donc celles-ci pourraient très-bien être vraies (comme elles le sont aussi sans doute) sans que la troisième le fût : ce qui est contre la nature du syllogisme, où la conclusion doit toujours être vraie dès que les prémisses sont vraies. Aussi le vice de la forme rapportée saute d'abord aux yeux (fig. 80).

Que l'espace A renferme tous les savants, l'espace B tous les avares, et l'espace C tous les vertueux. Maintenant la première proposition est représentée par la fig. 86, où la partie * de l'espace A (des savants) est contenue dans l'espace B [des avares).

Ensuite, par la seconde proposition, tout l'espace C (des vertueux) est hors de l'espace B (des avares) : or, de là il n'en suit nullement qu'une partie de l'espace C se trouve hors de l'espace A (fig. 87).

Fig. 96. Fig. 87.

Il serait même possible que l'espace C fut tout entier dans l'espace A, comme (fig. 88) ; ou tout entier hors de l'espace A, comme (fig. 89), quoiqu'il soit tout entier hors de B.

Fig. 88. Fig. 89.

Ainsi cette forme de syllogisme serait tout à fait fausse et absurde.

Un autre exemple ne laissera aucun doute là-dessus :

Quelques arbres sont cerisiers ; Or, nul cerisier n'est pommier ; Donc, quelques pommiers ne sont pas Mores.

Cette forme est précisément la même que celle ci-dessus ; et la fausseté de la conclusion saute aux yeux, quoique les prémisses soient indubitablement vraies.

Mais dès qu'un syllogisme se trouve dans une de nos dix-neuf formes, on peut être assuré que si les deux prémisses sont vraies, la conclusion est toujours indubitablement vraie. D'où Votre Al— tesse comprend comment de quelques vérités connues on arrive à des vérités nouvelles, et que tous les raisonnements par lesquels on démontre tant de vérités dans la géométrie se laissent réduire à des syllogismes formels. Or il n'est pas nécessaire que nos raisonnements soient toujours proposés en forme de syllogismes, pourvu que le fondement soit le même; dans les discours et en écrivant, on se pique même de déguiser la forme syllogistique.

Je dois encore remarquer que, comme la vérité des prémisses entraîne la vérité de la conclusion , il n'en suit pas nécessairement que, lorsque l'une des prémisses ou toutes les deux sont fausses, la conclusion soit aussi fausse; mais il est certain que quand la conclusion est fausse , il faut absolument que Tune des prémisses ou toutes les deux soient fausses; car si elles étaient vraies, la conclusion serait aussi vraie : donc, si la conclusion est fausse , il est impossible que les prémisses soient vraies. J'aurai l'honneur de faire encore quelques réflexions sur cette matière, puisqu'elle contient la certitude de toutes nos connaissances.

24 février 1761.

LETTRE XXXVIII

Des différentes figures et des modes des syllogismes.

Les réflexions que j'ai encore à faire sur les syllogismes se réduisent aux articles suivants :

I. Un syllogisme ne renferme que trois notions qu'on nomme termes, en tant qu'elles sont représenlées par des mots. Car, quoiqu'un syllogisme contienne trois propositions et chaque proposition

des notions ou termes, il faut considérer que chaque terme y est employé deux fois, comme dans cet exemple :

Tout A est B ; Or, tout A est C; Donc, quelque C est R.

Les trois notions sont marquées par les lettres A, B, C, qui sont les trois termes de ce syllogisme, dont le terme A entre dans les première et seconde propositions, le terme B dans les première et troisième, et le terme C dans les seconde et troisième propositions.

II. Il faut bien distinguer ces trois termes de chaque syllogisme. Deux, savoir, B et C, entrent dans la conclusion , dont l'un C est le sujet , et l'autre B le prédicat. Dans la logique, le sujet de la .conclusion C est nommé le terme mineur, et le prédicat de la conclusion B le terme majeur. Or la troisième notion ou le terme A se trouve dans les deux prémisses, où il est combiné avec l'un et l'autre terme de la conclusion. Ce terme A est nommé le moyen terme. Ainsi dans cet exemple :

Nul avare n'est vertueux ;

Or, quelques savants sont avares ;

Donc, quelques savants ne sont pas vertueux.

la notion savants est le terme mineur, celle des vertueux le terme majeur, et la notion d'avares le moyen terme.

III. Pour l'ordre des propositions , il serait bien indifférent laquelle des deux prémisses fût mise en premier ou en second lieu, pourvu que la conclusion occupe le dernier lieu , puisqu'elle est la conséquence des prémisses. Cependant les logiciens ont trouvé bon d'établir cette règle :

La première proposition est toujours celle qui contient le prédicat de la conclusion ou le terme majeur; d'où cette proposition a le nom de proposition majeure.

La seconde proposition contient le terme mineur ou le sujet de la conclusion : et de là elle est nommée la proposition minéure.

Donc la proposition majeure d'un syllogisme contient le moyen terme avec le terme majeur, ou le prédicat de la conclusion ; et la proposition mineure contient le moyen terme avec le terme mineur, ou le sujet de la conclusion.

IV. Selon que le moyen terme lient lieu du sujet ou du prédicat dans les prémisses , on constitue différentes figures dans les syllogismes ; et de là les logiciens ont établi ces quatre figures de syllogismes :

DLS hïLLOGJSMtS.

La première figure est où le moyen lerme est dans la proposition majeure le sujet, et dans la mineure le prédicat.

La deuxième figure est où le moyen terme est, tant dans la proposition majeure que dans la mineure, le prédicat.

La troisième figure est où le moyen terme est le sujet, tant dans la proposition majeure que dans la mineure. Enfin ,

La quatrième figure est où le moyen terme est le prédicat dans la proposition majeure, et le sujet dans la mineure.

Soit P le terme mineur ou le sujet de la conclusion , Q le terme majeur ou le prédicat de la conclusion, et M le terme moyen, et les quatre figures des syllogismes seront représentées de la manière suivante :