CONSIDÉRATIONS SUR LTNDUCTION GÉOMÉTRIQUE

Ce procédé est celui qui, à la vue du monde et de l'âme, pris comme points de départ, non comme principes de déduction, démontre l'existence de Dieu, infiniment élevé au-dessus de ces points de départ. Ce procédé ne s'élève pas seulement du même au différent, mais du fini à l'infini. C'est au fond tout le procédé de la poésie, qui cherche en tout le beau sans tache et le bien sans limite. C'est tout le procédé du cœur et de l'imagination. C'est le procédé de la prière, et cet acte fondamental de la vie raisonnable se trouve aussi le procédé le plus fécond de la géométrie. D'où il suit que toutes ces choses sont solidaires, et qu'il y a, comme le dit Leibniz, « de l'harmonie, de lagéométrie, de la mé- « taphysique, de la morale partout. » D'où il suit que la poésie dans son essence est aussi vraie que la géométrie, et que la preuve métaphysique de rexistence de Dieu a une rigueur mathématique.

D'où il suit encore qu'il y a dans l'esprit humain un procédé universel et principal qui n'était pas assez connu, qui maintenant se trouve mis en lumière plus que par le passé, et qui, s'il est vulgairement introduit en Logique, comme nous en avons l'espérance, donnera des ailes à la Logique, qui n'avait que des pieds. Je ne parle toujours ici que de la Logique élémentaire et théorique, vulgaire-

€ONSn>ÉRATIONS

ment connue aujourd'lmi. La Logique pratique du peuple, et la Logique pratique et théorique des philosophes du premiei- ordre a toujours eu des ailes. Mais la classe moyenne des penseurs, surtout depuis le dix-huitième siècle, ne travaille qu'à couper ces ailes, et semblait y avoir réussi. Il faut qu'elle reconnaisse sa faute, ou, pour mieux dire, son crime .

De là résulte encore une autre conséquence, sur laquelle il nous paraît bon d'insister amplement. La métaphysique du calcul infinitésimal, jusqu'à présent si difficile et si obscure, devient toute lumineuse .

Pourquoi beaucoup de géomètres disent-ils encore que la méthode de Leibniz, inventeur du calcul infinitésimal, n'est pas rigoureuse? Ces géomètres parlent ainsi parce qu ils supposent, ce qui est faux, que la raison n*a qu'un seul procédé rigoureux, le syllogisme. VA comme Leibniz emploie ici précisément l'autre procédé de la raison, on dit que sa marche n'est pas rigoureuse, par cela même qu on ignorait l'existence de ce principal procédé de la raison. Et comme ce procédé est précisément celui de la Logique d'invention, il s'ensuit, comme le dit spirituellement l'homme de nosjours qui écrit le mieux la géométrie, qu'en acceptant les décou-

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

vertes des inventeurs, souvent on rejette leurs démonstrations, «comme s'ils avaient mal inventé ce « qu'ils ont si bien découverte » Sur quoi, un autre géomètre, qui unit la philosophie aux sciences, remarque fort à propos qu'on a certainement abusé de cette disposition au rigorisme ; que le procédé par lequel l'esprit saisit des vérités nouvelles est souvent très-distinct du procédé par lequel l'esprit rattache logiquement et démonstrativement les vérités les unes aux autres, et que la plupart des vérités importantes ont été d'abord entrevues à l'aide « de ce sens p/iilosopkiqae qui devance la preuve « rigoureuse^. »

' M. Poinsot. Théorie nouvelle de la rotation des corps.

* Cournot. Essai sur les fondements de 7ios connaissances t. n, p. 76.

Nous re^mi'ttons que l'auteur réserve ici la qualification de rigouleuse à la dtjmonstration syllogislique. Car^ du reste, il établit (l'une manière surabondante que la raison n'a pas seulement un |n..i'('dé, le syllogisme ou le développement du i)rincipe d'identité «m de contradiction, mais qu'il y a un autre procédé fondamental fondamental par sa nécessité et sa fécondité, et que ce procédé doit être appelé l'induction. Jusqu'ici c'est ce que nous enseignons. Mais quel n'est pas noire regret de constater que l'auteur nomme cette hu\iici\on,Vinductionp/iilosophiqueprobable,ei qu'il ne s'est point (l< ( idé à considérer en face ce grand fait de l'esprit humain, afin de reconnaître que le procédé qui, plus que rautre,mène l'esprit à la vérité, n'est pas moins raisonnable que l'autre, pas moins certain- < l ([u'il n'y a pas de raison pour attribuer plus longtemps au syllogisme seul l'imposante et austère épithète de rigoureux? Et pourtant il est difficile d'être plus voisin de la vérité que ne

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CONSIDÉRATIONS

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

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Quoi qu'il en soit, nous disons que la philosophie du calcul infinitésimal peut maintenant devenir lumineuse, et il n y a pour cela qu un mot à dire et qu'une seule vérité k comprendre. C'est que la méthode infinitésimale n'est autre chose, comme nous l'avons montré, que l'application aux mathématiques de l'un des deux procédés essentiels de la raison. C'est dire que cette méthode est véritablement rationnelle, certaine, rigoureuse : et quant au résuUat, puisque ce procédé de la raison consiste précisément à connaître l'infini par le fini, il faut admettre que l'analyse infinitésimale analyse en effet, comme le disait Leibniz, l'indivisible et l'infini'.

iVst notre auteur dans ce passage remarquable : « C'est ainsi que « la preuve logique,qui résulte cierenehaînementdes propositions « du s}llogisuit', peut avoir iM.iir cindition préalable une iuductidii « philosophique vi pour fond. nient uiir pioliabilité, mais une pro- « babilit.' de lordrc de celles qui forcent l'acquiescement de la (( raison (*). »

» Connaître et atialyser 1 infini n'est pas comprendre l'infini. L'infini est int um[>rrhensible,i:(tmme Dieu lui-même. L'hommepeut et doit connaître Dieu, et ne le peut comprendre. Nous ne ccmiprendrous ianiai> liiilini, Ims inènic rjue nous parviendrons à eonnaîtri' plusieurs v.iitt > rhurt- Mir la nature de rinfini, et sur ses rapports au Uni. (l'est pourquoi le vMr iiRuuiprehensible du calcul intiûitésimal siil.si>tf toujoir ■ iiuue tel, lors même que Ton n'y voit comme nous que la siminc et rigoureuse application de l'un des deux procédés de la raison.

(*) Essai gurles fondements de nos connaissances, t. u, p. 82.

Mais qu'est-ce que l'infini ? dira-t-on. Qu'est-ce que cet élément infiniment petit ? Est-ce une réalité ? Existe-t-il dans la nature ? Est-ce une quantité très-petite ? Est-ce quelque chose, ou n'est-ce rien ? Nous répondons, avec Ampère, avec Poisson, nos chers et illustres maîtres, que l'élément infinitésimal n'est pas une quantité très-petite; ce n'est en aucune sorte une quantité. Comme quantité, l'élément infinitésimal est absolument nul.

Il nous semble encore entendre M. Ampère, dans son cours de mécanique, s'écrier avec indignation : « Non ! non ! ce n'est pas très-petit, c'est nul ; c est ce absolument nul! » En effet, il n'y a pas'làde quantité. Il y a ce que Leibniz appelle « les deux « extrémités de la quantité, en dehors de la quart- ^^tité, « enveloppant la quantité ; il y a l'infini en simplicité, l'infini en immensité. « Chez moi, dit « ailleurs Leibniz, écrivant à Fontenelle, chez « moi, les infinis ne sont pas des touts, et les infi- ^ nirnent petits ne sont pas des grandeurs^ «Mais

» Lettres et opuscules inédits de Leibniz (Foucher de Careih p. 234. ^'

CONSIDÉRATIONS

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

SI rélément infinitésimal n^est pas une quantité, qu'est-il ? C'est une idée ; une idée, dis-je, et c'est assez ! Et si tout idéal est réel, cVst une réalité. Mais serait-ce une réalité qui existe dans la nature? Je réponds non, si par nature on entend la nature créée. Je réponds oui, s'il s'agit de la nature incréée. Oui, à l'idée abstraite que nous avons de Finfiniment grand et de l'infiniment petit correspond une réalité qui existe, dans la nature des choses, en Dieu, dans l'inlini réel et actuel. L'idée que nous en avons, comme toute idée, est une certaine vue de Dieu, indirecte et médiate; mais cette idée, quoique indirecte et médiate, prouve l'existence de son objet en Dieu. Cet objet, dont nous n'avons que le reflet en nous, ce sont les lois et les idées des formes géométriques, telles (jue ces idées et ces lois peuvent existei' en Dieu ; en sorte que, comme tout ce qui lait naître en nous l'idée de l'infini, le calcul infinitésimal, considéré de ce point de vue, mené aussi, comme toute autre science poussée à bout, à la .l.-monstration do l'existence de Dieu.

Mais l'admirable procédé ne s'applique pas seu

lement aux formes; il s'applique aux mouvements ; d'où il suit qu'il n'atteint pas seulement l'abstrait (car on pourrait regarder les lois des formes comme de pures abstractions) ; mais on voit que le procédé infinitésimal atteint encore le fond et le principe d'un phénomène concret, réel, actuel, savoir : le mouvement. Qu'est-ce que l'élément infinitésimal d'un mouvement quelconque? Que sont ces mouvements infiniment petits, qui ne se déplacent pas? Que sont-ils, sinon les principes du mouvement ? Or ces principes immobiles du mouvement, ces principes d'étendue au-dessus de toute étendue , ces principes de durée au-dessus du temps et de la mesure, sont l'immensité même entrevue sous l'espace, l'éternité sous le temps, son image créée, et la force infinie de Dieu sous les forces et sous les mouvements finis. La raison atteint donc ici le moteur immobile agissant par sa force sur la matière, qui, comme toute créature, se meut en lui.

L'élément infinitésimal n'existe pas dans la nature créée, parce que rien de créé n'est infini. Mais il existe en Dieu. Les principes immobiles du mouvement, qui produisent le mouvement sans sortir de l'immobilité, les principes simples et indivisibles de l'étendue, qui produisent l'étendue divi-

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CONSIDÉRATIONS

sible, sans perdre la simplicité, ces principes éternels de temps, qui produisent la durée successive, sans entrer dans la succession et sans quitter l'éternité, ces principes sont les idées divines et créatrices, qui sont en Dieu et qui sont Dieu.

Et ici Ton comprend Forigine des deux points de vue entre lesquels les géomètres se partagent sur la notion des infiniment petits. Les uns soutiennent qu'il n'y a pas d'infiniment petits ; les autres affirment que les infiniment petits existent dans la nature. Que si Ton voulait prendre en mauvaise part le premier point de vue, il impliquerait Tathéisme, et si l'on voulait prendre en mauvaise partie second, il impliquerait le panthéisme. Mais en prenant en bonne part, comme il le faut, l'un et l'autre point de vue, voici la vérité qu'ils se partagent entre eux. Les infiniment petits, c'est-à-dire les principes simples, producteurs et supports du temps, de l'espace et du mouvement, n'existent pas dans la nature créée, mais ils existent dans l'incréé. Les raisonnements, très-forts de part et d'autre, par lesquels on soutient les deux thèses en apparence contraires, nous aident, si on les prend ensemble, à établir la nôtre. Ainsi, quand Leibniz dit que la matière n'est pas seulement divisible à l'infini, mais encore est actuellement divisée à l'infini, il avance

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

une proposition manifestement fausse*, car il dit que l'infiniment petit existe dans la nature créée, dans la matière. Il est facile de lui prouver qu'il est dupe d'une imagination, et qu'il confond la matière concrète avec l'étendue intelligible, seule divisible à l'infini par la pensée, et par la pensée seulement. Quand, d'un autre côté, on prétend que les infiniment petits n'existent pas et ne sont que des abstractions, il faut alors se demander pourquoi tout se passe dans le temps, l'espace et le mouvement, comme si ces principes existaient ? Pourquoi la connaissance qu'on en a prise a donné aux mathématiques une incalculable puissance? On va plus loin. On demande, avec Fontenelle, avec Leibniz, avec tous les savants qui ont assisté au triomphe de la méthode infinitésimale, avec Poisson et d'autres, avec M. Cournot, pourquoi 1 on regarderait la méthode infinitésimale comme n'étant qu'un artifice ingénieux, tandis qu'il est évident qu'elle est « l'expression naturelle du mode « de génération des grandeurs physiques qui crois- « sent par éléments plus petits que toute gran- « deur finie^. >; On demande si le temps qui s'é-

* Lettres et opuscules inédits de Leibniz aumclier de Careil). p. i2I.

" Cournotj t. i, |». 86.

CONSIDERATIONS

coule entre deux points de la durée ne passe pas réellement par tous les points, tous les moments indivisibles en nombre rrellemcnt infini, qui séparent les deux temps différents ; on demande si un mobile qui parcourt un espace fini ne passe point réellement d'un point à l'autre en traversant d'une manière continue tout l'intervalle, et n'a pas occupé, en se mouvant, l'infinité actuelle et réelle de positions qui existent entre les points donnés. « On est conduit à l'idée des infiniment petits, a dit M. Poisson, lorsqu'on considère les varia- « tions successives d'une grandeur soumise à la loi « de continuité. Ainsi, le temps croît par des degrés « moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assi- « gner, quelque petit qu'il soit. Les espaces par- « courus par les différents points d'un corps crois- « sent aussi par des infiniment petits, car clia(]ue » point ne peut aller d'un point à un autre sans te traverser toutes les positions intermédiaires ; et « Ton ne saurait assigner aucune distance, aussi « petite que l'on voudra, entre deux positions suca cessives. Les infiniment petits ont donc une existe tence réelle ; ils ne sont pas seulement un moyen « d'investigation imaginé par les géomètres^ »

' Poisson. Traité de mécanique^ t. i, p. (4, 2* tclit.

SLR L'INDUCTION GÉOMETRIQL'E.

Voilà l'infiniment petit en action. H n'y a pas à le nier, la durée est bien évidemment divisible à l'infini, et l'espace aussi. Donc un être concret qui avance dans le temps et l'espace traverse réellement l'infini. Donc, quand la terre, par exemple, avécu encore une année, quand elle a parcouru son orbite une fois de plus, elle a manifestement traversé tous les moments indivisibles de l'année et tous les points de son immense ellipse, au-delà de tout nombre fini, 11 n'y a pas là seulement un temps abstrait, ni une ellipse abstraite et idéale ; il y a là un temps réellement écoulé dans tous ses points indivisibles et continus ; il y a une ellipse d'une grandeur donnée, réellement et continûment parcourue par un être concret. Voilà donc l'infiniment petit réel et actuel, vivant et agissant, et comme rendu visible aux veux.

Mais il semble que ce que l'on voit ici, comme de ses yeux, est impossible en soi. Comment la terre peut-elle, en un temps donné, occuper réellement une infinité de points ? Ou bien elle ne met pas de temps pour passer d'un point à un autre, ou elle met à cela quelque temps. Si elle ne met pas de temps pour passer d'un point au suivant, il est clair qu'il ne lui faudra non plus aucun temps pour parcourir l'orbite entière. Si, au

J30 CONSIDÉRATIONS

contraire, elle met un temps quelconque, quelque petit qu'il soit, à passer d'un point à l'autre, il est clair qu'elle ne pourra jamais parcourir son orbite entière. Car pour traverser cette infinité de points, il faudrait un temps infini. Donc, pour tout mouvement il faudrait un temps infini, et le mouvement serait démontré impossible. Et pourtant il y a du mouvement, car la terre marche, et nous

aussi .

Je ne vois pas d'autre solution possible à cette difficulté que d'admettre, comme formule scientifique rigoureusement exacte, le mot de saint Paul : [n Deovhimus^ mopemur et sumus : « C'est en Dieu « que nous sommes, que nous vivons et que nous « nous mouvons. « Dieu seul est cause, principe, support de l'être ; de même, lui seul est cause, principe, support de la vie et de la durée ; seul il est cause, principe, support du mouvement. Sans lui, ni l'être, ni le temps, ni l'espace, ni le mouvement, ne peuvent être conçus ni exister. Lui, la force infinie, qui lance et porte notre terre, lui seul peut donner à cette masse inerte d'accomplir sa tâche impossible , d'achever sa course dans le temps qu'il lui donne, et d'en finir avec l'infinité des points. lAii-même emporte la terre dans l'espace, comme lui-même fait traverser le temps à

SUR L'INDUCTION GÉOMÊTRIQUK.

tous les êtres. Les êtres se meuvent comme cause seconde, mais Dieu les meut d'abord comme cause première du mouvement. Il faut, au fond du mouvement, sa vertu infinie, pour que le mouvement soit possible ; et il faut, sous le temps, sa puissance infinie et son éternité, pour que le temps se développe, et pour que l'avenir, qui n'est pas, devienne I

Oui, c'est ainsi que s'opère le mouvement de notre globe, comme celui de tout corps qui se meut. Rien ne se meut qu'en Dieu. In ipso moçemur. 11 3/ a, comme le dit admirablement Pécole, la cause seconde et la cause première du mouvement. Dieu seul est cause première de tout, et agit comme cause première et principale en toute action, en tout mouvement des créatures.

Mais si la métaphysique du calcul infinitésimal mène à de telles considérations, et semble vouloir nous faire atteindre, par voie de conclusion certaine, l'immensité, l'éternité et la force infinie de Dieu, on comprend facilement l'horreur que l'idée des infiniment petits mathématiques doit ins-

€ONSU>ÉKATIUi\S

pirer à certains esprits. Fonteiielle parle de cette sdinie horreurde l'infini qui a tenu pendant vingt ans râcadémie des sciences en suspens sur la valeur des idées de Leibniz, et il remarque que Leibniz, par respect humain, a dû souvent voiler le fond de sa pensée sur ce sujet. Sur quoi, le spirituel secrétaire de l'Académie des sciences s*écrie fort à propos : « S'il faut tempérer la vérité en géométrie, a que sera-ce en d'autres matières ? li INéanmoins la vérité a triomphé, et, pendant cinquante ans, nonseulement la méthode, mais encore la philosophie leibnizienne a régné en Europe. Or c'est là ce que la fin du dix-huitième siècle n'a pas pu supporter. Il y avait, dans cette métapliysique, une ouverture vers l'infini, et je ne sais quel mystère qui paraissait pouvoir impliquer Dieu. Il a fallu chasser de la science cette étrange et importune idée, et l'un de nos plus habiles géomètres s'est mis à l'œuvre pour en finir. Lagrange a écrit sa célèbre Théorie des Fonctions, dont le titre entier est digne de toute notre attention : « Théorie des Fonctions analytiques, con- « tenant les principes du calcul différentiel (calcul « infinitésimal) dégagés de toute considération a d'infiniment petits ou d'évanouissants , de lia mites ou de fluxions, et réduits à \ analyse al- « gébrique des quantités finies. » Plus d'un disciple

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE. 133

de Condillac a tressailli de joie à la lecture de ce titre. « Nous voilà donc, pensait-il, nous voilà délivrés de tout ce mysticisme géométrique, de ce mystère infinitésimal, de tout ce prétendu besoin de l'uifini. Voici tous ces sublimes arcanes réduits à l'analyse algébrique des quantités finies. » Eh bien, le disciple de Condillac s'est réjoui trop tôt; il n'est débarrassé de rien. L'entreprise de Lagrange repose sur un fondement ruineux : tous les géomètres le savent. Sa méthode est abandonnée. Voici comment en parie l'écrivain que nous avons déjà cité plus haut : « Lagrange imagina de « prendre la série de Taylor pour base de la théorie « des fonctions, et, par ce moyen, d'éluder, à ce « qu'il croyait, dans le passage de la discontinuité à « la continuité, l'emploi de toute notion auxiliaire « de limites, de fluxion ou d'infiniment petits \

« Selon Lagrange, la théorie des fonctions se « trouve ramenée à une simple application des rè- - gles du calcul algébrique ordinaire. On peut « consulter, pour le développement de cette idée « fondamentale, les deux traités spéciaux que ce t grand géomètre y a consacrés, la théorie des

^ Cournot. Traité élémentaire de la théorie des fonctions • 1. 1, p. 180, '

CONSIDÉRATIONS

« fonctions analytiques et les leçons sur le calcul « des fonctions.

« Mais si ces deux ouvrages, à cause du nom « imposant de leur auteur, ont été accueillis par a toute une génération déjeunes géomètres, connue « fixant les bases de l'enseignement, un examen « attentif a dû montrer qu'il s'y trouve un de ces « paroloi;ismes métaphysiques dans lesquels les « plus grands maîtres peuvent tomber, lorsque la « nature de leur sujet les force à sortir de Tanalyse « et de la synthèse scientifiques pour entrer dans « la critique des idées qui sont les matériaux « mêmes de la science.

« En effet, le développement en série n'a de sens « que lorsqu'il mène à une série convergente, ou « mieux encore lorsqu'il est démontré que le reste « de la série tend sans cesse vers la limite zéro « quand le nombre des termes croît indéfiniment. « Toute induction tirée d'un développement en sé- « rie non convergente manque de solidité, et peut a conduire , comme les exemples le font voir, à a des résultats fautifs. La méthode de Lagrange n a « donc point l'avantage d'éliminer la notion des litc mites ou toute autre équivalente. La nature des « choses et les lois de l'entendement exigent ici ce l'emploi de Tune de ces notions auxiliaires, dont

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE. 135

« le simple développe me nt^ par F algèbre^ du prin- « cipe d identité ne peut tenir la place,

a D'ailleurs, les raisonnements de Lagrange, « outre qu'ils reposent sur un principe subtil et « sujet à controverse, ne peuvent, en tous cas, « s'appliquer qu'aux fonctions algébriques : tante dis que la théorie des fonctions, comme nous « nous sommes attaché à le faire voir, doit essen- « tiellement comprendre les fonctions continues ic quelconques, et former un corps de doctrine « qui subsiste indépendamment des applications « à Talgèbre. Le développement en série n'est « qu'un artifice de calcul , et ne peut convena- « blement servir à établir des lois et des rapports « dont l'existence est indépendante de nos procé- « dés artificiels. » Ainsi, la théorie de Lagrange est sujette à controverse , erronée dans certains cas, et ne s'applique, d'ailleurs, qu'à une partie de la question.

Ailleurs, le même écrivain montre encore parfaitement comment la crainte des infiniment petits vient de ce que l'on croit que la raison n'a qu'un seul procédé rigoureux, celui qui s'appuie sur le principe d'identité. On ignore la puissance et la solidité de l'autre procédé, et malgré cela la nature des choses et le besoin de la science ramènent toujours

130 CONSIDÉRATIONS

à la méthode infinitésimale. Même la méthode des limites, que repoussait Lagrange, et qui implique le procédé de transcendance tout aussi bien que celle des infiniment petits, même cette méthode ne peut être heureusement substituée, dans tous les cas, à la méthode infinitésimale franchement appliquée.

ce Effectivement, si nous pouvions comparer dès « le début, non plus seulement dans leurs germes, « mais dans leurs applications aussi variées qu'éten- € dues, la méthode des limites et la méthode infini- « tésimale, nous verrions que toutes deux tendent m au même but, qui est d'exprimer la loi de con- « tinuité dans la variation des grandeurs, mais « qu elles y tendent par des procédés inverses. « Dans la première méthode, étant donnée à traite ter une question sur des grandeurs qui varient « d'une manière continue , on suppose d'abord « qu'elles passent subitement d'un état de granit deur à un autre ; et l'on cherche vers quelles li- « mites convergent les valeurs obtenues dans cette « hypothèse, quand on resserre de plus en plus « Fintervaile qui sépare deux états consécutifs. Il € est clair qu'on n'obtient ainsi qu'après coup, à m la fin de la solution, les simplifications qui ré- « sultent de la continuité, et que la méthode infi-

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE. 137

« nitésimale, par l'évanouissement successif des « infiniment petits d'ordres supérieurs, donne di- « rectement et successivement, à mesure qu'on « avance dans le traitement de la question.

« Aussi , peut-on poser en fait que, quelque « adresse que l'on mette à employer la méthode « des limites, et quelques simplifications que les « progrès des sciences apportent dans les théories « mathématiques et physiques, on arrive toujours « à des questions pour lesquelles il faut renoncer « à cette méthode, et y substituer, dans le langage « et dans les calculs, l'emploi des infiniment petits « des divers ordres.

« D'ailleurs, la méthode infinitésimale ne cons- « titue pas seulement un artifice ingénieux : elle « est l'expression naturelle du mode de génération « des grandeurs physiques qui croissent par élé- « ments plus petits que toute grandeur finie.

ce En résumé, la méthode infinitésimale est mieux « appropriée à la nature des choses ; elle est la mère thode directe, au point de vue objectif; et c'est « pour cela que l'algorithme de Leibniz, qui prête « à cette méthode le secours d'une notation régu- « hère, est devenu un si puissant instrument, a « changé la face des mathématiques pures et ap- « pliquées, et constitue à lui seul une invention

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CONSIDÉRATIONS

« capitale dont l'honneur revient sans partage à ce a grand philosophe. »>

On le voit, la méthode infinitésimale est lexpression naturelle du mode de génération des grandeurs ; elle est mieux appropriée à la nature des choses; elle est la méthode directe; elle a changé la face des mathématiques; elle seule peut conduire à la solution des questions compliquées. Cependant notre auteur partage hii-méme ce préjugé, que la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites. Je dois dire qu'aujourd'hui (1866), et depuis longtemps déjà (voir V Introduction k la présente édition), je remarque que la méthode des Hmites est elle-même l'emploi du procédé de transcendance, qui conclut de la série à /a limite y véritable induction et transcendance; mais d'autres, comme Lagrange et les dialecticiens grecs, trouvent encore que la méthode des limites ne repose pas encore sur un concept assez rigoureusement défini. Ils ne veulent pas sortir de la considération du fini bien clairement circonscrit et du principe d'identité ou de contradiction. Mais alors, comme Lagrange, ils forcent les choses, ils tombent dans des calculs faux et des raisonnements faux, quand ils veulent atteindre les résultats de la méthode infinitésimale;

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

ou, comme les dialecticiens grecs, ils se tiennent dans la réduction à l'absurde et dans la méthode d'exhaustion ; procédés indirects, compliqués, qui ne découvrent rien, qui ne montrent que ce qui est connu, comme le syllogisme, et qui ne sauraient mener en aucune sorte ni à découvrir ni même à démontrer les résultats que la méthode infinitésimale trouve et démontre en se jouant. C'est pourquoi M. Biot, dans sa biographie de Leibniz, après avoir cité plusieurs problèmes inabordables sans la méthode infinitésimale, ajoute : « Ces pro- « blêmes et une infinité d'autres, parmi lesquels « il faut compter presque toutes les questions de « physique, ne sont pour ainsi dire accessibles (( que par les considérations tirées des infiniment « petits ^ 1»

Mais si la fin du dix-huitième siècle a eu l'horreur de l'infini, et a fait les plus grands efforts pour bannir de la science l'idée de l'infini, afin de tout réduire à l'idée du fini, efforts infructueux, comme nous

* Biographie univers., art. Leibniz^ t. xxm, p. 638.

CONSIDÉRATIONS

SUR L'INDUCTION GKOMKTHIQUK.

venons de le voir, il était réservé au dix-neuvième siècle de voir une métaphysique du calcul infinitésimal bien autrement étrange.

S'il y a des esprits qui se cantonnent avec ténacité dans le fini, et qui refusent avec une sainte horreur, en toute question, en tout ordre de choses, de s'élever à quelque idée de l'infini ; il en est d'autres qui veulent bien sortir de la considération du fini, à condition de tomber au-dessous, et d'aller au néant. Pour eux riiifiiiiment grand et l'infiniment petit sont le néant. Tandis que ces deux extrémités de la quantité, qui en effet ne peuvent être exprimées par aucun nombre ni aucune grandeur finie, mais qui sont Ir principe el la fin de la quantité en dehors de la ijuantilé ^ tandis que ces deux infinis ont l'un et l'autre une existence incontestable et presque visible à travers la nature du temps, de l'espace et du mouvement, voici des esprits qui soutiennent que ces deux infinis sont le néant. 4 ce trait on a reconnu le sophiste, comme le dit l^laton, qui, au lieu de monter vers l'être, vers l'être parfait et infini, descend et tombe vers le néant.

On pouvait prévoir, et nous affirmons pour notre part l'avoir prévu et annoncé, que si Hegel parlait du calcul infinitésioial, il en parlerait ainsi, et

qu'il y appliquerait cette dialectique renversée que nous avons souvent décrite. Convaincu d'avance sur ce point, nous parcourions, il y a quelques années, les œuvres de Hegel, pour vérifier notre conviction, lorsque, arrivant au long chapitre de sa Logique, où il traite en détail du calcul infinitésimal, nous trouvâmes les textes suivants :

« Dès qu'on suppose une différence absolue entre « l'être et le néant, il en résulte, ce que Ton entend « dire si souvent, que le commencement des choses

0 et leur r/et^^A///- demeure absolument inconcevable. « Car en effet on part d'une supposition qui est la « négation du commencer et du devenir^ deux cho- « ses qu'on affirme pourtant, et cette contradiction, « qu'on pose soi-même et dont on rend impossible a la solution, s'appelle inconcemi)le.

« C'est un exemple de cette même dialectique que « la raison vulgaire oppose au concept scientifique « des grandeurs infiniment petites qu'emploie la « haute analyse géométrique. Nous traiterons plus te loin de ce concept. Disons ici que ces grandeurs « sont déterminées par ce caractère, qu'elles sont « prises au moment de leur évanouissement ; non « pas avant leur évanouissement, car elles seraient « alors des grandeurs finies ; non pas après leur « évanouissement, car alors elles ne seraient rien.

CONSIDÉRATIONS

« Contre ce pur concept on objecte, et 1 on ne « cesse pas d'objecter, que ces grandeurs infinitési- « maies doivent être rien ou quelque chose; qu'il « n y a pas d'état intermédiaire entre Têtre et le ce néant. Mais en parlant ainsi, on suppose précisé- « ment qu'il y a une différence absolue entre l'être « et le néant. Or, au contraire, nous avons déjà déa montré qu'en fait, tétre et le nécnil sont la même u chose, ou, pour parler le langage de la raison « vulgaire, qu'il est faux qu'il n'y ait pas de moyen « terme entre le néant et l'être. Les mathématiques « doivent leur plus brillante découverte à Tadmis- « sion de cette vérité, qui contredit la raison vul-

« gaire.

ce Le raisonnement ci-dessus mentionné, qui part « de la fausse supposition d'une absolue différence d entre l'être et le néant, ne doit pas être nommée If dialectique, mais sophistique. Car un sophisme (f est un raisonnement qui repose sur une suppose sition mal fondée, qu'on laisse valoir sans la son- « der par la critique ; mais nous nommons dialec- « tique ce mouvement plus haut de la raison, par tt lequel les suppositions arbitraires sont détruites c( et dans lequel des termes, qui paraissaient abso- (K lument séparés, passent au contraire l'un dans a l'autre, étant bien pris pour ce qu'ils sont. Or la

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE

« nature dialectique intime de l'être et du néant (( consiste précisément à montrer leur vérité dans « leur union, qui est le dei^enir. »

N'insistons pas sur les détails de ce risible et audacieux délire du sophiste enivré, qui appelle bonne dialectique sa dialectique retournée, et qui nomme sophistique la dialectique de Platon, d'Aristote, de Leibniz, de tous les philosophes du premier ordre sans exception, et celle de tous les hommes, sauf Hegel et Gorgias. Mais on ne critique pas un homme ivre, on le montre à ceux qui auraient besoin de cette vue. Ne sortons pas de notre question. Il s'agit de l'élément infinitésimal.

Qu'est-ce que l'élément infinitésimal ? C'est, dit Hegel, la grandeur décroissant jusqu'à s'évanouir, et prise au moment même où elle s'évanouit, car avant, ce serait trop tôt, et après, ce serait trop tard. C'est la grandeur prise au moment où, cessant d'être quelque chose, elle n'est pas encore rien du tout, c'est-à-dire au moment où elle parvient à la féconde identité de l'être et du néant. L'identité de l'être et du néant étant le principe fondamental de la doctrine de l'identité, il fallait Retrouver ce principe dans l'élément infinitésimal, et il faut avouer que Tinfiniment petit offre au sophiste une assez heureuse occasion. Aussi consa-

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CONSIDEKAIIOISS SUR LINDLXTIUN GEOMETRIQUE.

cre4-il cent pages, cbargées a^algèl)re et d\apparenle érudition mathématique, à démontrer que les mathématiques doivent leur phis brillant développement au principe de Fidentité de Fétre et du néant, et que les géomètres seront dans une fausse position, tant qu'ils n'admc^ttront pas que l'élément infinitésimal est la quantité parvenue à cette identité de Tétre et du néant.

Au reste, le sophiste ne traite pas seulement ainsi rinfiniment petit ; il traite de même l'infiniment grand. Pour lui rinfiniment grand, lorsqu'il n'est pas identique au fini, c'est l'absolu, c'est 1 être pur, et l'être pur c'est le néant pur. L'être pur ne commence à être en effet quelque chose que quand il s'identifie au néant. C'en est assez sur la métaphysique infinitésimale de Hegel.