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carrés; on extrait la racine carrée du double de la somme que Ion vient de former, et 1 on divise cette racine par le nombre des valeurs : le quotient est la quantité g*

a b c d. . . . . n désignant les valeurs particulières dont le nombre est m et A la valeur moyenne — (a b -f- c -+- d. ... . . -f - n) ;

Les différences entre les valeurs ab c d .« et leur moyenne A

sont a —A, b —A, c -—A, d — A. .... n —A.

On a donc cette expression :

Par exemple, si les valeurs observées étaient au nombre de sept mille, savoir: iooo égales à 13,

on trouverait 1 5 ~ pour résultat moyen. Les difFérences entre ce résultat et chaque valeur particulière, sont.:

1000 fois. —

On a 4 - f - 9 pour la somme des carrés de ces différences. La racine carrée du double de cette somme étant divisée par 7000, donne, pour la valeur de g , 0,01^617; on trouverait cette même valeur de g par la règle de l’article VI.

Dans l’exemple cité précédemment art. VI, on a trouvé 0,08216 pour la valeur de g , et dans celui-ci nous avons g ■=. 0,015^62 ;

C xxv i )

ainsi ie second résultat est beaucoup plus approché que I e pte mier.

En appliquant à ce second exempie la table rapportée art. XI on connaîtrait quelle probabilité il y a que l’erreur positive ou négative du résultat moyen n’excède pas de certaines limites qui sont les produits de g par ies facteurs 0,47708, 1,385^1, &c.

II s’ensuit qu’il est aussi probable que l’erreur du résultat moyen 6 dans le i. er exempie n’excède pas ie produit de g par 0,47-708, qu’ii est probable que l’erreur du résultat moyen 13-7 dans le 2. e exempie n’excède pas ie produit de g par ie même facteur 0,47708, L’une et i’autre probabilité est La probabilité d’une erreur plus grande que ie produit de g par 1,385^1 dans ie premier cas, et ceiie d’une erreur plus grande que ie produit de g par 1,385^1 dans ie second , sont aussi égaies entre eiies; leur valeur commune est -•

En générai, ia probabilité d’une erreur plus, grande qu’une iimite quelconque A dans ie premier cas, et celle •dunu erreur plus grande qu’une autre limite A' dans le. second cas, sont égaies entre elles, si ie rapport de A à A' est celui de g à g'.

Ainsi lorsqu’on veut comparer ia précision d’un résultat moyen qu’une certaine recherche a formé, à ceiie du résultat moyen donné par une autre recherche, ii suffit de caicuier ies nombres g et g' et de ies comparer. Si i’un est double de fautre, par exemple, ie second résultat est deux fois plus précis que le premier. En effet, une iimite quelconque A étant proposée, il est aussi probable que i’erreur du premier résultat surpassera A, quii est probable que i’erreur du second surpassera — A. Les erreurs également possibies sont dans ie rapport constant de 2 à 1.

- j fi n - v . bot»ia Mi siqi

Dans les deux exemples que nous avons cités , le rapport de g kg:

( xxvij )

étant celui de 0,08216 à 0,0 196 1, les précisions respectives sont dans le rapport inverse de 1 y 6 1 à 8216. Le second résultat est plus de quatre fois pius précis que ie premier, parce que, à probabilité égale, les erreurs auxquelles on est exposé, sont quatre fois plus grandes dans ie premier cas que dans le second.

L’énoncé de la règle tel que nous l’avons donné dans l’article VI, fait connaître immédiatement que la précision du résultat moyen augmente comme la racine carrée du nombre dés observations. En effet, si l’on considère un très-grand nombre d’observations, on peut regarder la valeur du résultat moyen comme invariable , et ne dépendant point du nombre des Valeurs , mais seulement de leur grandeur propre. II en est de même de la moyenne des carrés de ces valeurs : ainsi la différence entre la valeur moyenne des carrés et. le carré - A a du résultat moyen, est sensiblement indépendante du nombre des observations. Or, on divise la racine carrée du double de cette différence par la racine carréé du nombre m, pour trouver la valeur normale g; et le triple de g est la limite des plus grandes erreurs. On voit donc que cette plus grande erreur possible décroît à mesure que le nombre m augmente , et qu’elle décroît en raison inverse de la racine carrée du nombre m.

Quant à l’erreur dont la probabilité est ~ y nous savons qu elle est toujours proportionnelle à la quantité g; et il en est de meme dune erreur quelconque dont la probabilité est donnée. Donc, pour une même recbercbe, la précision du résultat moyen change a mesure que le nombre des valeurs observées augmente. Elle devient double si ie nombre des valeurs devient quatre fois plus grand, triple si ce nombre devient neuf fois plus grand, ainsi de suite. Cette conséquence est simple et remarquable ; elle doit être connue de tous ceux qui se

( xxviij )

livrent à des recherches statistiques; elle montre combien il f aut multiplier les observations pour que les résultats acquièrent un degré donné d’exactitude..

xvr.

Ce mémoire présente l’application des théories connues à l’une des questions fondamentales de la statistique. Pour montrer l’ensemble des propositions qu’il contient, nous indiquerons dans le résumé-suivant le sommaire de chaque article.

Quant à la conclusion générale, on peut l’exprimer ainsi : lorsqu’on a trouvé un résultat moyen A, en réunissant un grand nombre m de valeurs particulières, et divisant la somme de ces valeurs par leur nombre m, il reste à évaluer le degré d’approximation. Il faut pour cela élever au carré chacune des valeurs particulières; former la valeur moyenne de ces carrés en divisant leur somme par leur nombre, qui est m ; on retranche de cette valeur moyenne des carrés le carré A* du résultat moyen; on divise le double de la différence par le nombre m, et l’on extrait la racine carrée du quotient ; on trouvé ainsi une quantité g qui sert à mesurer le degré d’approximation : la précision du résultat est en raison inverse de ce nombre g. L’erreur du résultat sera positive ou négative ; mais on doit regarder comme certain dans la pratique que la valeur absolue de cette erreur est moindre que le triple de g. On trouverait aussi cette même quantité g en divisant par m la racine carrée du double de la somme des carrés des différences entre le résultat moyen et chacune des valeurs particulières^

{ xxix )

Sommaires des Articles.

L’objet du mémoire est de donner une règle usuelle et générale pour estimer la précision des résultats moyens.

pj ' ■ • - ■ • . • • * .

Le degré d’approximation pourrait être indiqué par la comparaison des deux valeurs moyennes que fournissent deux séries d’observations.

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L’expérience fondée sur des observations nombreuses et trèsvariées peut faire connaître exactement les lois des phénomènes dont la cause est ignorée. ■ jll^doiq - ;■;/> xanirmelob ine-q nO

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Remarque sur le calcul de la durée des générations humaines.