C IAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
L'équation d'équilibre s'écrira donc :
On voit que la tension maxima est proportionnelle à P et varie suivant la position de ce poids P ainsi que de la seciion (cd).
Supposons d'abord la section (cd) fixe, et faisons varier le poids P ; tant qu'il
est à gauche de la section (cd), il n'entre point par lui-même dans 1 équation
d'équilibre, il n'y a que le moment de la réaction Q qui fasse équilibre au moment
résistant, et l'on a : )
quand le poids P passe à droite de la section (cd), entre cette section et l'extré» mité (b). L'équation d'équilibre est celle que nous avons écrite plus haut :
Lorsque le poids V est à l'aplomb de (a), x est nul, la tension en (cd) est nulle aussi : tout l'effort agit sur l'appui. Le poids P variant de (a) à (cd) c'est l'équation (1) qui s'applique, x croît de o à xf y et la tension maxima R dans la section (cd) va sans cesse croissant. Le poids P variant de (cd) à (b), c'est-à-dire x de xf
xf à /, le second membre de l'équation (2) varie de — P-r(J — xf)kO\ sa déliai vée par rapport à or est P y, toujours positive, donc la fonction va sans cesse en
croissant, et comme elle est toujours négative, cela signifie qu'elle diminue en
valeur absolue. C'est la valeur absolue du moment qui nous intéresse seule : un
moment positif correspond au poids P placé à la droite de la section (cd) et un
moment négatif correspond à la réaction Q.
De tout cela résulte que le moment des forces extérieures, et par suite la tension
maxima R dans une section donnée, prennent leur plus grande valeur absolue
lorsque la charge P passe précisément à l'aplomb de la section considérée.
x/ Le moment maximum est égal à — Py (l xf) et la tension maxima R est
fournie par l'équation :
laquelle équation permet : i # connaissant la section, de déterminer R ; 2° connaissant la limite R et la hauteur h de la pièce, de déterminer son moment d'inertie I.
Cherchons maintenant dans quelle section un poids P, qui parcourt la pièce (ab) produira l'effort le plus grand de tous. Pour chaque section, en particulier, l'effort maximum résulte de l'équation (3) ; pour trouver le plus grand de ces maximums, il faut chercher le maximum du second membre de l'équation (3) dans lequel on suppose x' variable.
Ce maximum, en valeur absolue, est le même que celui du produit xf (l — - x').
ET Y1ADDCS.
La somme des deux facteurs de ce produit étant constante et égale à i, le maximum du produit a lieu lorsque les deux facteurs sont égaux, ce qui donne
I ^ fRI M I PI
Ainsi, le poids P produit la plus grande tension lorsqu'il se trouve à l'aplomb u milieu de la poutre, et cette plus grande tension existe précisément dans la «ection médiane.
Veut on dans ce cas donner à la pièce la forme d'an solide d'elle résistance,
la face supérieure restant horizontale, et la section de forme régulière avec largeur constante (a) et hauteur variable y au lieu de (A).
Pour une section (cd), située à une distance x de la verticale OP, l'équation d'équilibre est :
Le moment d'inertie I an fa air*, l'équation devient donc :
t, r vs y 9
le profil inférieur de la pièce est donc une parabole du second degré (aeb).
On pourrait chercher d'autres formes d'égale résistance comme nous l'avons fût poar une pièce encastrée : nous engageons le lecteur & traiter la question comme exercice.
