Quant à la raison de la méthode , et nous retrouvons ici

Cl) Descartes, Zc/(rc5, 111,71.

Leibnitz lui-même avec le caractère particuli^ de sob esprit si porté à Tidéalisme, elle consiste en ce qu'il ne peut y avoir erreur à négliger un point mathématique qui n'est qu'une création de l'esprit, une forme donnée comme appui aux raisonnem<|nts qui engendrent le composé par le simple : Ego philosophice Zoquendo non magis staiuo magnitudines infinité magnas quam infinité parva$ seu non nuigis infinitesimas qtiàm infinituosas; utrasque per modum loquendi compendiosum pro mentis fictionihvs habeo adcaJculum aptas. Et pour prouver la vérité delà méthode à posteriori , on défie le critique d'assigner un nombre qui ne soit pas moindre que l'erreur que l'on a commise en négligeant l'infiniment petit. Toute erreur assignée serait trop grande, donc l'erreur est nulle : In errorem inducere non posse cum pro infinité parvo substituere svfficiat tam parvum quàm quis velit ut error sit minor data unde consequitur erro^ rem dari non posse (l).Nous ne voulons pas dire que tel fut le raisonnement de l'inventeur, les méthodes d'invention s'analysent bien difficilement, mais du moins c'est celui de l'esprit qui règle et ordonne. Cette théorie si rigoureuse, dont la compréhension aurait épargné de malheureux efforts à de trèsgrands géomètres, a été tellement méconnue, que, de nos jours encore, on intente presque partout à Leibnilz l'accusation d'avoir comparé les infiniment petits aux grains de sable de la mer (2) , malheureuse idée qu'il a pu exprimer avec certaines réserves en la subordonnant à une plus exacte (3), et que Wolf a peut-être trop développée (4).

6. Mais si la doctrine que nous venons d'exposer, doctrine que la critique de Kant a tant généralisée dans la science, et qu'en effet M. Wronski (5) a systématisée avec beaucoup de force, n'a pas été celle de l'inventeur, en tant qu'inventeur, est-ce dans les monades que nous devons chercher la source

(1) Leibnitz, Adprœsid. Desbrosses epistolee, — Théodieée , Disc, prél, 70, — Mémoires de Trévoux^ janvier et février 1702. — Recueil de Desmaizeaux, II| 452,

(2) Notamment d»ns h philosophie positive ie M, Ang. Comte, t. I, page 242.

(3) Leihnitz et Wolf ont même donne un sens tris- rationnel ^ celte f&chense comparaison en disant que l'infiniment petit est dans les matbématiqnes ( en ëgard k leur nature) ce que sont les quantités négligeables dails les mesures terrestres.

(4) Wolf, Principia malheseos unii>ersa, 1. 1, page 418. Encore n'est-ce que dans unescbolie toujours sous l'autoritë des notions exactes dcimëes en définition.

(5) H. Wroiuki, Philosophie de l'infini.

(Jp calcul îiirinitésiinal?Sans doute le système des monades témoigne de la tendance générale de Leibnitz à remonter au simple pour la connaissance du composé; mais si nous nous rappelons que la monade n'est pas étendue, ou que retendue n'est pas formellement composée de monades, nous reconnaîtrons qu'on ne peut assimiler les infiniment petits aux monades, à moins de considérer celles-ci comme de pures créations de Tesprit et des êtres de raison aussi bien que les premiers. En effet, si l'infiniment petit d'une longueur, par exemple, n'était pas une vraie longueur et pouvait être représenté par o ou (a— a) , il faudrait en conclure qu'aucune longueur ne peut-être, parce que (a— a) oo = a oo — aoo = o. Dans le vrai système de Leibnitz, l'étendue finie n'existe pas plus que l'infiniment petite, et la monade n'est pas plus Tune que l'autre en elle-même. Il est donc impossible que la monade ait rigoureusement su"-géré l'idée de l'infiniment petit (4); et il faut plutôt voir dans rinvention du calcul infinitésimal l'application du rationalisme de Leibnitz en général (2) aux vues de ses devanciers en mathématiques : Suhsidia attulere Iriumviri illustres Cartesius, ostensâ ratione lineas geometriœ communis eœprimendiper œquationes, Fermatius, ac Gregorius a S. Vincentio (3).

7. Il nous semble aussi que ridée de l'étendue cartésienne cette étendue indéfiniment divisible^ et que plus tard on distribua en tourbillons indéfiniment plus petitsles unsque les autres a pu mener tout aussi facilement que le système des monades au calcul infinitésimal (4). Car l'infiniment petit, à notre point de vue fini, ne peut être que l' indéfiniment petit. Qui ^ait même si Thypothèse des monades, elle aussi, n'est pas résultée d'une modification introduite dans retendue de Descartes? En effet, Leibnitz, suivant l'opinion commune des savants, les cartésiens seuls exceptés , et suivant celle de Spinosa , répugnait à rétendue morte de Descartes; voulant la douer de vie

(1) M. Rarchou de Penboën a ëmis cette idtfe qui semble si spacieuse an premier abord et qui cependant n'est pas admissible après examen. (Histoire do la phiUso" phie allcm.^t. I.)

(2) « Les points mathématiques sont leur point de Tue (des monades) poiïr exprimer l'univers. ( Nouveau syst» de la commun, des substances»')

(3) Leibnitz, Act. erud- lips., 1695.

(i) Aiusi Malebrancbe fut-il un des premiers partisans da ce cilcnl en France.

et cependant continuant à la regarder comme indéfiniment divisible et divisée , il a pu être conduit à la composer de monades ; mais comme il ne pouvait comprendre que la division s'arrêtât avant de parvenir au simple, il a posé les monades simples et inétendues, et par là est arrivé à considérer tous les êtres comme immatériels , et l'étendue comme une apparence. Que s'il eût conservé rétendue cartésienne telle qu'elle est révélée à notre conscience, sachant le monde infini d'une part, et non pas seulement indéfini, il eiit peut-être admis d'autre partrinfiniment petit, et sérail arrivé d'une autre manière au calcul différentiel (1). On voit que, dans toutes les supposi tions, la grandeur abstraite, sans qualités ni propriétés essentielles, mais capable d'être multipliée ou divisée à l'infini, telle que Descartes l'établissait dans son monde, était éminemment propre à favoriser l'invention d'un calcul de l'infini abstrait et général, à une époque où la notion de l'infini, un instant écartée, rentrait dans la science. C'est ce que nous voulions indiquer ici.

8. Cette question de l'essence de la grandeur en général est la base naturelle des mathématiques , et les diverses solutions qui en ont été données suffisent aussi pour caractériser les divers systèmes de philosophie. Depuis qu'elle a été posée d'une manière sophistique en apparence , mais bien profonde dans les arguments de Zenon, toute philosophie a dû nécessairement la résoudre. Or, la réponse qui se fait communément à V Achille aux pieds légers^ à savoir que Zenon, qui porte son attention sur la divisibilité indéfinie de l'espace , devrait aussi la porter sur la divisibilité indéfinie du temps pour comprendre le mouvement, est tout à fait superficielle ; car Zenon, qui posait l'objection sur l'espace comme exemple, aurait pu la poser de môme sur le temps ; et ce qu'il ne peut comprendre, c'était, en général, comment une grandeur pouvait se constituer avec des modes finis en passant par une infinité de modes intermédiaires, c'est-à-dire être à la fois finie et infinie. Les éléates répondaient à l'argument comme le fit plus tard Spinosa, c'est-à-dire en reconnaissant l'unité du tout et regardant tout le reste comme pure apparence. La réponse si célèbre

(t) C'est ainsi que le marçiiiis de l'Hôpital l'a entendu. {Analyse dtt tnfinimetU oeiiUipour l^inlelligencti dm lignes courtes,)

d'Aristote est la même que celle d*Hobbes, et revient à supposer que le fini seul est, et que rien n'est divisé que ce qui Test actuellement , de sorte que Tinfini ne soit pas en acte ou actuellement dans la grandeur, mais seulement en puissance^ ce qui est bien différent. Les atomistes tranchèrent la difficulté avec leurs atomes. Enfin les idéalistes modernes , Malebranche , Leibnitz, Berkeley l'évitèrent entièrement en niant la grandeur sensible. Mais que répondit Descartes?

Là, comme partout, il répondit par Tindéfinî, et refusa d'entrer en considération de Tinfini (1) : il en appela à la somme finie du nombre infini des termes d'une progression telle que

qui exprime la série des avances de la tortue qu'Achille doit successivement parcourir, A étant l'avance première, et a le rapport de la vitesse d'Achille à celle de la tortue. Cependant la somme des termes s'exprime par la formule (2)

et n'est finie que si on néglige ce dernier terme feint (â) ■*. Ainsi Descartes néglige ici dans le fond un infiniment petit ; il est au sein du calcul infinitésimal , et en approfondissant sa propre 'solution, il eût aisément reconnu que la tendance indéfinie de la somme vers un certain nombre ne prouve rien , et qu'il est impossible de se refuser à considérer l'infini pour que la réfutation de ï Achille devienne valable.

9. Rapprochons cette solution de celle que Descartes donnait du problème de la liberté humaine en opposition avec la prescience divine. Là il voyait deux faits inconciliables par la raison, il les admettait tous deux cependant, et posait un mystère irréductible; ici il reconnaît que notre imagination divise l'étendue en une infinité de parties, il en appelle au fait cependant, pour la regarder comme finie et non comme infinie. Il ne réfléchit pas au mystère renfermé dans cette question, comme

(1) Descartes, Lellres I, 118.

(2) La dëmonstration, ordinairement ayanc^e daiu les ëWments de géométrie, nippose et même suppo&e trè»-clairemeiit ce ^iie nous exprimons ici avec ce mot infini et avec ce sîgne QD.

29d MANUEL

dans la première. Or, si Descartes eût admis rigoureusement rinfinidans le grand et dans le petit, au lieu de poser un indéfini qu'il se refusait à sonder, il eût préparé, ce nous semble, en acceptant ce mystère de Faccord du fini et de Tinfîni, la seule explication du calcul différentiel que Ton puisse trouver dans la nature des choses, et lui-même eût été plus attentif à la grande idée renfermée dans les méthodes de Cavalieri et de Fermât.

Nous développerons plus au long, dans notre conclusion, cette théorie du calcul infinitésimal , qui nous semble résulter de la méthode de Descartes, lorsque Tin fini prend la place de rindéfini dans sa physique. Leibnitz qui critiqua, et, suivant nous, comprit mal la doctrine de la liberté de Descartes , qui vouhit rendre compte de Timpénétrable mystère, et expliquer l'inexplicable, n'eut garde, dans l'autre question, d'admettre un infini , dont il ne pouvait se rendre compte à son gré, et il tomba dans l'idéalisme absolu en ne voyant , dans ce qui fait la base des notions de continuité dans la substance matérielle^ que des fictions ou des lois de l'esprit, bien plus inexplicables que ces faits que l'on rejette sous prétexte de ne les pas comprendre (1).

Il a été rigoureusement établi de nos jours (2) que Fidée de l'indéfini de Descartes, car c'est elle qui a été mise en œuvre dans les essais de systématisation du calcul différentiel par celui des quantités finies et de leurs développements en séries indéfinies (3), est aussi impuissante que cette singuUère théorie des petites erreurs successivement introduites et corrigées (4) à rendre un compte philosophique du calcul infinitésimal. Et, bien que ce travail ait été fait dans l'intérêt d'une doctrine purement rationnaliste, il peut nous enseigner à accepter franchement , et non sous les dénominations d'évanouissants ou de fluxionsj ou sous le masque de limites et de dérivées, Yinfini-

(1] Quelle que soit au foncl la solution mc'taplijsique de ces questions, il nous parait naturel et convenable d'emplojer dans l'enseignement des matliëmatique« la métbode rationnelle de calcul infinitésimal proposée par Leibnitz. En effet, l'on ne fait ainsi qu'ajouter aux données purement rationnelles qui servent de base ^ la géomëtrio ordinaire une donnée du même ordre, pour comprendre la constitution de la quantité. Mais ici il s'agit de pbilosopbie, et il nous semble que l'on ne peut, ontologiquement parlant se contenter de celle méthode rigoureuse pour unique explication des infiniment petits.

(*2) H. Wronski, Phil. de VinJ. elBéfut. de Lagrange, Paris, 1812.

(3) Lagrangie, Théorie des Jbnct. analyl. An Y.

(4) Caroot, Réjlexions sur U métaphysique du calcul in/initéûmal , An V.

tétimal qde le réalisme cartésien nous fait conclure de la division indéfinie de la matière, de même q\ïï\ nous conduit à déduire rinfinité du monde de la multiplication indéfinie de son étendue.