IX + XIII X + XIV XI + XI XII + XII

XIII XIII XIV + XIV XV + XV XVI -f- XVI

Quand les deux schémas d'un écusson sont différents, on peut les alterner, puisque celle transposition revient à déplacer le spectateur de manière que les rangées lui paraissent des colonnes et réciproquement.

Les permutations types. — Nous disons que deux permutations carrées sont semblables, lorsqu'elles peuvent se transformer Tune en l'autre par des permutations de rangées, de colonnes et de chiffres.

Réunissons dans une même famille toutes les permutations carrées semblables et choisissons-en une qui sera le type de cette famille.

Avec l'aide des écussons, j'ai trouvé rapidement que le nombre de familles était égal à 17, et j'ai choisi pour les représenter les 17 types suivants :

1 Écusson 1

2 Écusson 2

3 Écusson 3

4 Écusson 4

5 Écusson 5 12 5 4 5 6

8 Écusson 8

12 Écusson 12

6 Écusson 6

9 Écusson 9

13 Écusson 13

7 Écusson 7

10 Écusson 10

14 Écusson 14

7bîs Écusson 7

11 Écusson 11

15 Écusson 15

16 Écusson 16

Comme on le voit, chaque famille possède son écusson propre, à l'exception des familles 7 et 7bi$, qui ont le même écusson.

La considération des écussons permet de résoudre facilement le problème suivant :

Étant donnée une permutation carrée quelconque, trouver sa famille et effectuer les changements nécessaires pour l'identifier au type de cette famille.

On forme son écusson qui désigne la famille. Les deux tableaux de ses cycles serviront de guides pour les changements des rangées et des colonnes, puisque les tableaux cycliques doivent être amenés à élre identiques à ceux du type. Les changements indiqués étant opérés, il suffira le plus souvent de permuter les chiffres de manière à remplacer la première rangée de la nouvelle permutation carrée par celle du type. Dans le cas particulier où Técusson porte le n° 7, on verra aisément auquel des types 7 ou 7 bU la permutation carrée doit être identifiée.

Comme exemple, prenons la permutation déjà examinée :

Son écusson X XIV la place dans la famille 10. Elle peut donc être identifiée au type 10 :

Nous obtiendrons, en changeant Tordre des rangées,

puis Tordre des colonnes :

Enfin, multiplions toutes les permutations des rangées par la 6 5 ^ 4 4 J, et nous tomberons sur le type 10.

Si l'écusson s'était présenté sous la forme alternée XIV -h X, il aurait fallu- commencer par transformer les rangées en colonnes et réciproquement.

Application au problème des 36 officiers. — Pour résoudre ce problème, il faudrait pouvoir superposer case à case deux permutations carrées de base 6, de telle manière que chaque chiffre de Tune d'elles soit superposé aux 6 chiffres de l'autre.

Dans les recherches, il sera toujours permis de changer Tordre des rangées et des colonnes d'une superposition, puis de permuter isolément les chiffres dans chacune des permutations carrées. En effet, si la superposition résout le problème, toutes celles obtenues par les changements indiqués fourniront des solutions, et réciproquement, si la superposition ne résout pas le problème, il en sera de même des transformées.

Le problème ne peut donc être résolu que si Ton parvient à superposer à l'un des 17 types une seconde permutation carrée, de manière à satisfaire aux conditions exigées, et cela suffit.

Dans la seconde permutation carrée, nous ne pouvons plus changer l'ordre des rangées et des colonnes, mais on demeure libre de permuter les chiffres. En conséquence, on pourra toujours représenter sa première rangée par 1, 2, 3, 4, 5, 6.

En employant cette méthode, j'ai constaté que le problème ne comportait pas de solution.

Il faut moins de 24 heures de calculs bien dirigés pour obtenir ce résultat. La démonstration de l'impossibilité de résoudre le problème des 36 officiers, nécessite moins de temps que la recherche du nombre des dispositions reclilignes des dés d'un jeu de dominos allant jusqu'au double-huit.

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