DU MOUVEMENT DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

4. On pourrait déduire immédiatement les lois du mouvement de ces fluides de celles de leur équilibre, que nous avons trouvées dans la sect. VII de la F partie; car, par le principe général exposé dans la sect. IT, il ne faut

qu’ajouter aux forces accélératrices actuelles les nouvelles forces accélérad’'x d'y d?z de? dé. dé’

Ainsi, comme dans les formules de l’art. 40 et suivants de la sect. VII

trices dirigées suivant les coordonnées rectangles x, y, z. eitée on a supposé toutes les forces accélératrices du fluide déjà réduites à trois, X, Ÿ, Z, dans la direction des coordonnées x, y, z, il n’y aura, pour appliquer ces formules au mouvement des fluides, qu’à y substituer

2 2 dy DE

d? x NX + Ye P72

de?

au lieu de X, Ÿ, Z. Mais nous croyons qu’il est plus conforme à l’objet de cet ouvrage d'appliquer directement aux fluides les équations générales données dans la sect. IV, pour le mouvement d’un système quelconque de corps.

4 e , . L] e $ EL. — Équations générales pour le mouvement des fluides incompressibles.

3. On peut considérer un fluide incompressible comme composé d’une infinité de particules qui se meuvent librement entre elles, sans changer de volume; ainsi la question rentre dans le cas de l’art. 17 de la section citée ci-dessus. |

Soient done Dm la masse d’une particule ou élément quelconque du fluide, X, Ÿ, Z les forces accélératrices qui agissent sur cet élément, réduites, pour plus de simplicité, aux directions des coordonnées rectangles x, y, z, et tendantes à diminuer ces coordonnées, L — o l'équation de condition résultante de l’incompressibilité on de l’invariabilité du volume Dm, à une quantité indéterminée, et S une caractéristique intégrale correspondante à la caractéristique différentielle D et relative à toute la masse du fluide; on aura

pour le mouvement du fluide cette équation générale (sect. EV),

. d? 2 1°? LA s (TE dE X } 3e + (7 ss Y }àr + (+ z) 3x | Dm + SL = 0.

Il faut maintenant substituer dans cette équation les valeurs de Dyn et de ôL,, et, après avoir fait disparaître les différences des variations, s'il y en f y lé \ , e e . e , Ê , a, égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées 5x, ÔY, 03.

Retenons la caractéristique D pour représenter les différences relatives à la situation instantanée des particules contiguëés, tandis que la caractéristique d se rapportera uniquement au changement de position de la même particule dans l’espace; il est clair qu’on peut représenter le volume de la particule Dm par le parallélipipède DxDyDz; ainsi, en nommant A la densité de cette particule, on aura

Dm = ADxDyDz.

De plus, il est visible que la condition de l’incompressibilité sera contenue dans l’équation

DxDyDz — const.; de sorte qu on aura L = DxDyDz— const., et, par conséquent,

SL — 5.(DxDyDz).

Pour déterminer cette différentielle, il faut employer les mêmes considérations que dans l’art. 11 de la sect. VIT de la F° partie; ainsi, en changeant d en D dans les formules de cet endroit, on aura

Dèx Dèy Dôz\ ÿ(DxDyDz) = Da Dy Da (DE + DA + 1

Cette quantité étant multipliée par À, et intégrée relativement à toute la masse du fluide, on aura la valeur de SAÔL,, dans laquelle il faudra faire disparaître les doubles signes D3 par les mêmes procédés déjà employés dans

l'art. 17 de la section citée. On aura ainsi D À DA D À SAÔL = —S$ (5e Ôæ + Dy èy % De ÿz) DxDyDz + S(N 8x" — N\5x") Dy Dz + S(W8y"— 57) DxDz + S(A'0z"— n'ùz )DxDy.

Faisant donc ces substitutions dans le premier membre de l'équation générale, elle contiendra premièrement cette formule intégrale totale,

dans laquelle il faudra faire séparément égaux à zéro les coefficients des variations x, dy, dz, ce qui donnera ces trois équations indéfinies pour tous

les points de la masse fluide,

] dy DA

Ïl restera ensuite à faire disparaître les intégrales partielles

S(x/ dx" — x'Sx')Dy Dz + S(X" dy" — x") DxDz + S(x” 87" — 187’) Dr Dr,

lesquelles ne se rapportent qu’à la surface extérieure du fluide; et l’on er conclura, comme dans l’art. 48 de la sect. VIT citée, que la valeur de à devra étre nulle pour tous les points de la surface où le fluide est libre ; on prouvera de plus, comme dans l’art. 54 de la même section, que, relativement aux endroits où le fluide sera contenu par des parois fixes, les termes des intégrales précédentes se détruiront mutuellement, en sorte qu’il n’en résul-

tera aucune équation; et, en général, on démontrera, par un raisonnement semblable à celui des art. 32, 38, 39, que la quantité à, rapportée à la surface du fluide, y exprimera la pression que le fluide y exerce, et qui, lorsqu'elle n’est pas nulle, doit être contre-balancée par la résistance ou l’action des parois. |

3. Les équations qu'on vient de trouver renferment donc les lois générales du mouvement des fluides incompressibles ; mais il y faut joindre encore l'équation même qui résulte de la condition de l’incompressibilité du volume DxDyDz, pendant que le fluide se meut: cette équation sera donc représentée par d.(DxDyDz) — o, de sorte qu’en changeant d'en d dans l’expression de .(Dx Dy Dz) trouvée ci-dessus, et égalant à zéro, on aura

(B} Da me

Gette équation, combinée avec les trois équations (A) de l’article précédent, servira donc à déterminer les quatre inconnues #, y, z et A.

4. Pour avoir une idée nette de la nature de ces équations, il faut considérer que les variables #, y, z qui déterminent la position d’une particule dans un instant quelconque, doivent appartenir à la fois à toutes les particules dont la masse fluide est composée ; elles doivent donc être des fonctions du temps é, et des valeurs que ces mêmes variables ont eues au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donné. Nommant donc a, b, c les valeurs de +, y, z, lorsque t égale zéro, 1l faudra que les valeurs complètes de x, y, z soient des fonctions de a, b, c, t. De cette manière, les différences marquées par la caractéristique D se rapporteront uniquement à la variabilité de a, b, c; et les différences marquées par l’autre caractéristique d se rapporteront simplement à la variabilité de £. Mais comme, dans les équations trouvées, il y a des différences relatives aux variables mêmes #, y, 2, il faudra réduire celles-ci aux différences relatives à a, b, c, ce qui est toujours possible; car on n’a qu’à concevoir qu'on ait substitué dans les fonctions, avant la différentiation, les valeurs mêmes de +, y, z en a, b, c.

5. En regardant donc les variables x, y, z comme des fonctions de a, b,

c, t, et représentant les différentielles selon la notation ordmaire des différences partielles, on aura

dx | dx dx __ dy dy dy

| dz dz dz D z = 7 da + = db + 7 de :

et regardant en même temps la fonction À comme une fonction de x, y, z, et comme une fonction de a, b, c, on aura

p; Dz

D | DA dÀ dÀ dÀ = + da + 2e db + 7 de; ces deux expressions de DA devant être identiques, si l’on substitue dans la première les valeurs de Dx, Dy, Dz en da, db, de, il faudra que les coefficients de da, db, de soient les mêmes de part et d'autre, ce qui four-