DEUXIÈME SECTION

FORMULE GÉNÉRALE DE LA STATIQUE POUR L'ÉQUILIBRE d'uN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, AVEC LA MANIÈRE DE FAIRE USAGE DE CETTE FORMULE.

1 . La loi générale de l'équilibre dans les machines est que les forces ou puissances soient entre elles réciproquement comme les vitesses des points où elles sont appliquées, estimées suivant la direction de ces puissances.

C'est dans cette loi que consiste ce qu'on appelle communément le principe des vitesses virtuelles, principe reconnu depuis longtemps pour le principe fondamental de l'équilibre, ainsi que nous l'avons montré dans la section précédente, et qu'on peut, par conséquent, regarder comme une espèce d'axiome de Mécanique.

Pour réduire ce principe en formule, supposons que des puissances P, Q, R, etc., dirigées suivant des lignes données, se fassent équilibre. Concevons que, des points où ces puissances sont appliquées, on mène des lignes droites égales à/?, ^, r, etc. , et placées dans les cQrections de ces puissances ; et désignons, en général, par dp^dq^dr^etc.^ les variations, ou différences de ces lignes, en tant qu'elle» peuvent résulter d'un changement quelconque infiniment petit dans la position des différents corps ou points du système.

Il est clair que ces différences exprimeront les espaces parcourus dans un même instant par les puissances P, Q, R, etc., suivant leurs propres directions, en supposant que ces puissances tendent à augmenter les lignes respectives /?, q^ r, etc. Les différences dp^ dq^ dr, etc., seront ainsi proportionnelles aux vitesses virtuelles des puissances P, Q, R, etc. , et pourront, pour plus de simplicité, être prises pour ces vitesses.

Cela posé, ne considérons d'abord que deux puissances P et Q en équilibre. Par la loi de l'équilibre entre deux puissances, il faudra que les quantités P et Q soient entre elles en raison inverse des différentielles dp^ dq\ mais il est aisé de concevoir qu'il ne saurait y avoir équilibre entre deux puissances, à moins qu'elles ne soient disposées de manière que, quand l'une d'elles se meut suivant sa propre direction, l'autre ne soit contrainte de se mouvoir dans un sens contraire à la sienne; d'où il s'ensuit que les valeurs des différences dp et dq doivent être de signes contraires : donc les valeurs

des forces P et Q étant supposées toutes deux positives, on aura, pour réquilibre,

çr= — ^) ou bien Pdp -hQdq = 0',

c'est la formule générale de l'équilibre de deux puissances.

Considérons maintenant l'équilibre de trois puissances P, Q, R, dont les vitesses virtuelles soient représentées par les différentielles dp^dq^ dr. Faisons Q = Q'-+- Q", et supposons, ce qui est permis, que la partie Q' (*) de la force Q soit telle, qu'on ait P^ -h Q'rfrjr = o; elle fera alors équilibre à la force P, et il faudra, pour l'équilibre entier, que l'autre partie Q" de la même force Q, fasse seule équilibre à la troisième force R ; ce qui donnera l'équation

Q'V(/H-Rrfr = o,

laquelle étant jointe à l'équation précédente, on aura, à cause de Q'-h Q''=Q,

celle-ci:

Pc^ + Qû^ H- Rcir = o.

S'il y a une quatrième puissance S dont la vitesse virtuelle soit représentée par la différentielle d^^ on fera

Q = Q'h-Q'^ et Pdp^Q'dq = o, ensuite

R = R'-hR'^ et Q'dq^Wdr = o.

Alors la partie Q' de la force Q fera seule équilibre à la force P ; la partie R' de la force R fera de même équilibre à l'autre partie Q" de la même force Q, et, pour l'équilibre total des quatre forces P, Q, R, S, il faudra que la partie restante R'' de la force R fasse équilibre à la dernière force S, et que, par

{*) Ce raisonnement n*est exact qu'autant que Ton considère un déplacement déterminé du système. Si Ton ne fait pas cette restriction, le rapport -^ peut recevoir toutes les valeurs possibles,

et l'équation F dp -h QVçr = o ne peut être satisfaite pour aucune valeur déterminée de Q'. Il faudrait, par conséquent, pour compléter la démonstration de Lagrange, rappliquer successivement à tous les déplacements possibles du système, en introduisant, à chaque fois, des liaisons nouvelles qui empêchent les autres déplacements de se produire. Lagrange, du reste, fait lui-même cette remarque (deuxième section , paragraphe 15). (/. Bertrand. )

Méc. anal. I. 4

conséquent, on ait

R'Vr-hSrf^ = o.

Os trois équations étant jointes ensemble donneront

l?dp -hQdg -\-Rdr -i- Sds = 0.

Ainsi de suite, quel que soit le nombre des puissances en équilibre.

2. On a donc, en général, pour l'équilibre d'un nombre quelconque de puissances P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes/?, 9, r, etc., et appliquées à un système quelconque de corps ou points disposés entre eux d'une manière quelconque, une équation de cette forme :

Vdp-hQdq-hRdr-^... =0.

C'est la formule générale de la Statique pour l'équilibre d'un système quelconque de puissances.

Nous nommerons chaque tenue de cette formule, tel que Pc^, le moment de la force P, en prenant le mot de moment dans le sens que Galilée lui a donné, c'est-à-dire pour le produit de la force par sa vitesse virtuelle. De sorte que la formule générale de la Statique consistera dans l'égalité à zéro de la somme des moments de toutes les forces.

Pour faire usage de cette formule, la difficulté se réduira à déterminer, conformément à la nature du système donné, les valeurs des différentielles dfy dq^ dr^ etc.

On considérera donc le système dans deux positions différentes et infiniment voisines, et l'on cherchera les expressions les plus générales des différences dont il s'agit, en introduisant dans ces expressions autant de quantités indéterminées qu'il y aura d'éléments arbitraires dans la variation de position du système. On substituera ensuite ces expressions de dp^ dq^ dr^ etc. , dans l'équation proposée, et il faudra que cette équation ait lieu, indépendamment de toutes les indéterminées, afin que l'équilibre du système subsiste en général et dans tous les sens. On égalera donc séparément à zéro la somme des termes affectés de chacune des mêmes indéterminées, et l'on aura, par ce moyen, autant d^équations particulières qu'il y aura de ces indéter-