PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. l5y

y'SXdm - x'SYdm — S(X/ - Yx)dm = A/'- Bx' -h F, z'SXdm — x^'SZdm — S(Xz — Zxjdm = kz" — Go:" H- G, z"^\dm — /'SZrfm — S(Yz — Zj)rfm = Bz" — Gf' + H.

Donc

et, par conséquent,

SXrfm = o, SYe/ro = o, SZrfiii = o,

S(Xj — Yx)dm = o, S(Xz — Zx)dm = o, S(Yz == Zx)dm = o.

Ces six équations sont donc les seules qui soient nécessaires pour Téquilibre d'une verge inflexible lorsqu'il n'y a pas de point fixe; c'est ce qui s'accorde avec ce que nous avons remarqué plus haut (art. 25), et c'est aussi ce qu'on aurait pu déduire immédiatement de la théorie donnée dans la sect. m, ainsi que nous l'avons observé dans l'article cité.

57. Supposons maintenant qu'il y ait dans la verge un point fixe, et que ce point soit la première extrémité de la verge; dans ce cas, on aura

en sorte que les termes affectés de ces variations disparaîtront d'eux-mêmes; il suffira donc d'égaler à zéro les coefficients de d^x\ dly' ^ dZz\ d^lx\ d^Sy^ d^^z\ ainsi que les coefficients de lx'\ ly" ^ Sz'^, dix" ^ dly" ^ etc. Or il est aisé de voir que pour cela il suffira que l'on ait

fjt! =z o^ v'=: o, rf/r= o, et ensuite

A''=0, /u''=0, v''=0, dfA!'=0, rf/=o, (/S"=o,

comme dans le cas précédent ; et l'on trouvera les mêmes conditions que dans l'article précédent, à l'exception de ce que A, B, G ne seront pas nulles. On aura donc

A = SXrfm, B = SYrfm, C = SZé/m, ensuite

F = Bar'— ky\ G ^ Car'— Az', H = C/— Ba';

l58 MECANIQUE ANAI.YTIQUB.

et les trois autres équations se réduiront à celles-ci :

— S(Xj — Yx)dm = Bo;'-^ A/,

— S(Xz — Zx)dm =Cx'— kz\

— S(Yz — Zy)dm = C/ — Bz^ c'est-à-dire à

S(Xj ~ \x)dm + x'SYdm — /SXrfm = o, S(Xx — Za:)rfm -h x'SfLdm — z^SXdm = o, S{Yz — Zj)rfm -h/SZrfm — z'SYdm ^ o,

ou, ce qui est la même chose, à

S[X{y-y)-Y{x-x')\dm = o, S[X(z — z') — Z (jt? — a?')]^in = o, S[Y(fi^ - z') - Z(r ~/)]rfm = o.

Ce sont les seules conditions nécessaires pour Téquilibre, et il est clair qu'elles répondent à celles que Ton a trouvées dans l'art. 24.

S8. Si la verge étsdt fixement attachée par sa première extrémité, en sorte que non-seulement le premier point de la courbe fut fixe, mais aussi la tangente à ce premier point, alors on aurait non-seulement

lx'=^ o, S/^= o, Sz'= o, mais aussi

ldx'= dZx'= o, l(fy'= diy= o, ldz'= dlz'=o\

par conséquent, tous les termes affectés de ces quantités disparaîtraient d'euxmêmes, et il ne resterait qu'à faire évanouir les termes affectés de (Ptx\ rf^S/, d'Wy et do ^\ 8/^ 8z'\ d^x\ diy\ etc.

On n'auia donc,. dans ce cas, que ces conditions :

/=o, ^"^=0, iJf!'=^o, /=o, dtJL"z=zo, dy^'^o, rf*r''=o.

Donc les constantes A, B, G auront encore les valeurs

A = SXrfm, B = SYrfm, C = SZe/m;

ensuite les trois dernières intégrales de Tart. SS étant appliquées an dernier point de la verge, donneront

F = S( Yo? — Xj)rfm, G = S{Zx — Xz)dm, H = S(Z7 — Yz)dm.

Et si l'on applique ces mêmes équations au premier point, on aura

iLc' {dy d' dx' — dx'd'd/) — d/{dyd'x'— dx'dy) = a/— Bx'^ f,

fjj^dz'd^dx'— dx'd^dz') — dv'^da'd'x'— dx'd'z') = hz' — Cx' +G, fjL\d7!d^df' — d/d'^dz') - df'{dz'd'y -^ dx'd'z') = Bz' — C/-h H,

d'oîi, éliminant f/ et dv\ résulte Téquation

k{ydz'— z'dy') + B(z'da:'— x'dz') + G{x'dy — /dx') -h ¥dz'— Grf/— ndx'= o.

Cette équation est nécessaire pour empêcher que la verge ne tourne autour de sa première tangente, qui est supposée fixe, et il est facile de voir que son premier membre devient nul lorsque la verge est une ligne droite.

59. On pourrait regarder comme un défaut de notre méthode la longueur de cette solution, qui est, en effet, plus longue que celle de l'équilibre d'un fil flexible, tandis que, par les méthodes ordinaires, ce dernier problème est beaucoup plus difficile que celui de l'équilibre d'une verge roide tirée par des puissances quelconques, parce qu'il faut déterminer, par la composition des forces, la courbe que le fil doit prendre pour être en équilibre, au lieu que dans le cas de la verge cette courbe est donnée, et que l'équilibre ne demande que la destruction des moments des forces. Mais lorsqu'on veut suivre pour tous ces problèmes une marche uniforme, et passer de l'un à l'autre graduellement, à mesure qu'on y ajoute de nouvelles conditions, il est évident que le cas d'un fil inflexible est moins simple que celui d'un fil flexible, parce que l'inflexibilité exprimée analytiquement consiste <kns l'in-* variabilité des distances mutuelles des points du fil. £t si, dans ce cas, la courbe étant donnée, elle ne doit plus être un résultat du calcul, comme dans le cas d'un fil flexible, c'est une circonstance que l'analyse doit indiquer, et qu'elle indique, en effet, par les trois indéterminées A, )U, ? qui restent dans les trois équations indéfinies entre x^ j, z de l'art. 55, et qui.

l6o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

font que ces équations peuvent s'adapter à une courbe quelconque donnée. Ainsi on ne doit pas regarder ces équations comme une superfluité inutile ; outre qu'elles servent à déterminer les trois inconnues A, /u, y, d'où dépendent les conditions de l'équilibre, et qui expriment (*) en même temps les forces qui s'opposent à ce que les valeurs des trois fonctions a, |3, y varient par l'effet des forces qui agissent sur le fil.

Il est vrai que les trois indéterminées A, /^, r doivent être remplacées par les trois équations de condition qui consistent en ce que les fonctions différentielles a, p, 7 doivent être censées données- Mais comme par la nature du calcul différentiel la valeur absolue des différentielles reste indéterminée, et qu'il n'y a que leur rapport qui puisse être donné, ces trois conditions ne peuvent équivaloir qu'à deux, qui renferment les rapports des trois quantités a, |3, 7; et ces deux rapports suffisent pour déterminer la courbe.

En effet, par ce qu'on a démontré plus haut (art. 46), on voit que l'angle de contingence formé par deux côtés successifs de la courbe se trouve

exprimé par ^ ^ en conservant les valeurs de a, |3, y de l'art. 53;

de sorte que le rayon osculateur sera exprimé par . '^^ ^ ^. Ce rayon

étant donc supposé donné, la courbe sera tlonnée si elle est à simple courbure, et pour les courbes à double courbure, il ne sera pas difficile de prouver que la seconde courbure provenant de l'angle de contingence formé par les plans qui passent successivement par deux éléments contigus de la courbe, dépendra du rapport des trois quantités a, |3, 7 (**). Ainsi les trois conditions dont il s'agit, rapportées à la courbe, se réduisent à ce qu'elle soit donnée, comme le problème le suppose (***).

(*) ^oyez la note relative au paragraphe l$5. (/. Bertrand,)

{^^\ Cette seconde courbure dépend aussi de d^, (/. Bertrand, )

(***) On voit, d'après les résultats précédents, que deux courbes sont superposables lorsque les rayons de première et de seconde courbure s'expriment, dans Tune et dans l'autre, par une même fonction de l'arc. Si donc deux courbes ont Tune et l'autre leurs rayons de courbure constants et égaux chacun à chacun, ces courbes sont identiques; et comme on peut toujours déterminer une hélice dont les rayons de courbure soient donnés, toute courbe qui a ses rayons de courbure constants est une hélice. Plusieurs géomètres ont donné récemment des démonstrations élégantes de ce théorème. Voyez deux Notes, l'une de M. Puiseux, l'autre de M. Serret, Journal de Mathématiques de M. Liouville, tome VII, page 65, et tome XVI, page igS. (/. Bertrand.)