PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. I I

Ce principe {*) suffît seul pour déterminer les lois de l'équilibre dans tous les cas ; car, en composant ainsi successivement toutes les forces deux à deux , on doit parvenir à une force unique qui sera équivalente à toutes ces forces, et qui, par conséquent, devra être nulle dans le cas d'équilibre, s'il n'y a dans le système aucun point fixe ; mais s'il y en a un, il faudra que la direction de cette force unique passe par le point fixe. C'est ce qu'on peut voir dans tous les livres de Statique, et particulièrement dans la Nouvelle Mécanique de Varignon, ou la théorie des machines est déduite uniquement du principe dont nous venons de parler.

Il est évident que le théorème de Stevin sur l'équilibre de trois forces parallèles et proportionnelles aux trois côtés d'un triangle quelconque, est une conséquence immédiate et nécessaire du principe de la composition des forces, ou plutôt qu'il n'est que ce même principe présenté sous une autre forme. Mais celui-ci a l'avantage d'être fondé sur des notions simples et naturelles, au lieu que le théorème de Stevin ne l'est que sur des considérations indirectes.

10. Les anciens ont connu la composition des mouvements, comme on le voit par quelques passages d'Aristote, dans ses Questions mécaniques. Les géomètres surtout l'ont employée pour la description des courbes, comme Archimède pour le spirale, Nicomède pour la conchoide, etc. ; et, parmi les modernes, Roberval en a déduit une méthode ingénieuse de tirer les tangentes aux courbes qui peuvent être censées décrites par deux mouvements dont la loi est donnée ; mais Galilée est le premier qui ait employé la considération du mouvement composé dans la Mécanique, pour déterminer la courbe décrite par un corps pesant, en vertu de l'action de la gravité et de la force de projection.

Dans la seconde proposition de la quatrième Journée de ses Dialogues, Galilée démontre qu'un corps mû avec deux vitesses uniformes, l'une horizontale, l'autre verticale, doit prendre une vitesse représentée par l'hypoténuse du triangle dont les côtés représentent ces deux vitesses : mais il paraît

{*) Ce paragraphe manque d'exactitude : deux forces qui ne sont pas dans k même pli pas de résultante , la remarque de Lagrange ne peut même pas être appliquée , d'i raie, au cas d'un système solide. (/. Bertrand. )

la MECANIQUE ANALYTIQUF.

en même temps que Galilée n'a pas connu toute l'importance de ce tltéorème dans la théorie de l'équilibre; car, dans le Dialogue troisième, où il traite du mouvement des corps pesants sur des plans inclinés, au lieu d'employer le principe de la composition du mouvement pour déterminer directement la gravité relative d'un corps sur un plan incliné, il déduit plutôt cette détermination de la théorie de l'équihbre sur les plans inchnés, d'après <'e qu'il avait établi auparavant dans son Traité delki iScienza mecanica, dans lequel il ramène le plan incliné au levier.

On trouve ensuite la théorie des mouvements composés dans les écrits de Descartes, de Roberval, de Mersenne, de Wallis, etc. : mais, jusqu'à l'année 1 687 , dans laquelle ont paru les Principes mathématiques de Newton, et le Projet de la JSouvelle Mécanique de Varignon, on n'avait point pensé îi substituer, dans la composition des mouvements, les forces aux. mouvements qu'elles peuvent produire, et à déterminer la force composée résultante de deux forces données, comme on détermine le mouvement composé de <\vx\x mouvements rectilignes et uniformes donnés.

Dans le second corollaire de la troisième loi du mouvement, Newton montre en peu de mots comment les lois de l'équilibre se déduisent facilement de la composition et décomposition des forces, en prenant la diagonale d'un parallélogramme pour la force composée de deux forces représentées par ses côtés ; mais cet objet est traité plus en détail dans l'ouvrage de Varignon, et la Nouvelle Mécanique qui a paru après sa mort, en 1726, renferme une théorie complète sur l'équilibre des forces dans les différentes machines, déduite de la seule considération de la composition ou décomposition des forces.

11. Le principe de la composition des forces donne tout de suite les conditions de l'équilibre entre trois puissances qui agissent sur un point, qu'on n'avait pu déduire de l'équilibre du levier que par une suite de raisonnements. Mais, d'un autre côté, lorsqu'on veut, par ce principe, trouver les conditions de l'équilibre entre deux puissances parallèles appliquées aux extrémités d'un levier droit, on est obligé d'employer des considérations indirectes, en substituant un levier angulaire au levier droit, comme Newton et d'AIembert l'ont iait, ou en ajoutant deux forces étrangères qui se détriil-

PREMIÈRE PARTIp;. — LA STATIQUE. 1 o

sent miituellemeiit, mais qui, étant composées avec les puissances données, rendent leurs directions concurrentes, ou enfin en imaginant que les directions des puissances prolongées concourent à l'infini, et en prouvant que iii puissance composée doit passer par le point d'appui : c'est la manière dont s'y est pris Varignon dans sa Mécanique. Ainsi, quoique à la rigueur les deux principes du levier et de la composition des forces conduisent toujours aiix mêmes résultats, il est remarquable que le cas le plus simple pour l'un de ces principes devient le plus compliqué pour l'autre.

12. Mais on peut établir une liaison immédiate entre ces deux principes, par le théorème que Varignon a donné dans sa Nouvelle Mécanique (section r^, lemme XVI), et qui consiste en ce que si, d'iin point quelconque pris dans le plan d'un parallélogramme, on abaisse des perpendiculaires su:' la diagonale et sur les deux côtés qui comprennent cette diagonale, le jjrodiiit de la diagonale par sa perpendiculaire est égal à la somme des produits des deux côtés par leurs perpendiculaires respectives si le point tombe hors du parallélogramme, ou à leur différence s'il tombe dans le parallélogranmie, Varignon fait voir, par une construction très-simple, qu'en formant des triangles qui aient la diagonale et les deux côtés pour bases, et le point donné pour sommet commun, le triangle formé sur la diagonale est, dans itpremier cas, égal à la somme, et, dans le second cas, à la différence des deux triangles formés sur les côtés; ce qui est en soi-même un beau théorème de Géométrie, indépendamment de son application à la Mécanique.

Ce théorème aurait lieu également et la démonstration serait la même si, sur le prolongement de la diagonale et des côtés, on prenait partout oii Ton voudrait des parties égales à ces lignes ; de sorte que, comme toute puissance peut être supposée appliquée à un point quelconque de sa direction, on peut conclure, en générai, que deux puissances représentées en quantité et en direction par deux droites placées dans un plan, ont une composée ou résultante représentée en quantité et en direction par une droite placée dans le même plan, qui étant prolongée passe par )e point de concours des deux droites, et qui soit telle, qu'ayant pris dans ce plan un point quelconque, et abaissé de ce point des perpendiculaires sur ces trois droites prolongées, s'il est nécessaire, le produit de la résultante jiar sa perpendiculaire soit égal k

l4 MECANIQUE ANALYTIQUE.

!a somme ou à la différence des produits respectifs des deux puissances composantes par leurs perpendiculaires, selon que le point d'où partent les trois perpendiculaires sera pris au dehors ou au dedans des droites qui représentent les puissances composantes.

Lorsque ce point est supposé tomber sur la direction de la résultante, cette puissance n'entre plus dans l'équation, et l'on a l'égalité entre les deux produits des composantes par leurs perpendiculaires; c'est le cas de tout levier droit et angulaire, dont le point d'appui est le même que le point dont il s'agit, parce qu'alors l'action de la résultante est détruite par la résistance de l'appui.

Ce théorème, dû à Varignon, est le fondement de presque toutes les Statiques modernes, où il constitue le principe général appelé des moments. Son grand avantage consiste en ce que la composition et la résolution des forces y sont réduites à des additions et des soustractions ; de sorte que, quel que soit le nombre des puissances à composer, on trouve facilement la puissance résultante, laquelle doit être nulle dans le cas d'équilibre.

15. J'ai rapporté l'époque de la découverte de Varignon à celle de la publication de son Projet, quoique dans l'Avertissement, qui est à la tête de la Nouvelle Mécanique, on ait avancé qu'il avait donné deux ans auparavant, dans \ Histoire de la République des Lettres, un Mémoire sur les poulies à moufle, dans lequel il se servait des mouvements composés pour déterminer tout ce qui regarde cette machine; mais je dois observer que cet article manque d'exactitude. Le Mémoire dont il s'agit, sur les poulies, ne se trouve que dans les Nouvelles de la République des Lettres du mois de mai 1687, sous le titre de Nouvelle Démonstration générale de l'usage des poulies à moufle. L'auteur y considère l'équilibre d'un poids soutenu par une corde qui passe sur ime poulie, et dont les deux parties ne sont pas parallèles. Il n'y fait point usage ni même mention du principe de la composition des forces, mais il emploie les théorèmes déjà connus sur les poids soutenus par des cordes, et il cite les Statiques de Pardis et de Dechales. Dans une seconde démonstration, il réduit la question au levier, en regardant la droite qui joint les deux points où la corde abandonne la poulie, comme un levier chargé du poids appliqué à la poulie, et dont les extrémités sont tirées par les deux portions de la corde qui soutient la poulie.