Eneri^ie totale d'une onde d'oseillation. — Il

est facile de calculer Ténergie totale d'une onde d'oscillation. La hauteur moyenne d'une onde au-dessus de son niveau

d'équilibre étant — , son énergie potentielle, pour une tranche

de hauteur dz^ et de longueur 2L, sera égale à son poids

2pgLdzo multiplié par cette hauteur — ou bien à çg^^r^dz^. En

meltant pour r sa valeur r = c l et intégrant depuis la surface libre Zo = 0 jusqu'à une profondeur donnée j5o=^i, on

trouve pour cette énergie potentielle : — L (4 — e l")*

L'énergie actuelle est la somme des produits — . La vitesse V est la même pour toutes les molécules d'une couche d'épaisseur dfZo,car la vitesse angulaire d'une de ces molécules est-.

On a donc t? = ~ et, la masse totale de la couche étant 2fLdZç^^

ûLT*r' l'énergie actuelle de la couche est rfzo ou bien, puisque

à V, le déplacement (ij? dans la courbe fermée correspondra à un déplacement Vdi — dx au point N de la trajectoire réelle. Si, au contraire l'ordonnée M'P'=: 7,' correspond à un point où les vitesses horizontales soient de même sens, le môme déplacement correspondra à \dt -{- dx, au point N' de la trajectoire.

L'aire de la courbe fermée est J(z ^z')dx = ft. Celle qui est comprise entre la trajectoire AB'A' et OX est fz{Ydt''dx)-\- f5'{Wdt + dx) = f(z+z')Ydt''f{%''i')dx=zYf(z + z')dt-'ii.

Or la courbe fermée étant parcourue avec une vitesse constante, dt est proportionnel aux arcs ds de cette courbe et l'intégrale f(%'\-z')dlz=. f%i dt, en appelant z^ l'ordonnée OE! du centre de gravité G delà courbe. Ce qui démontre le théorème.

jl=ffy elle vaut pg'^r^dZo ou exactement la même chose que

Ténergie potentielle.

L'énergie totale sera donc le double de la valeur de celle-ci, ou bien, en la désignant par pgE comme ci-dessus :

pgE^pgLh'\i~e'^ ^)^

Si la profondeur 2, est assez grande pour que Texponentielle puisse être négligée devant Tunité, on aura :

PflfE = p^LA'

ttV'

ou bien, en mettant pour L sa valeur — :

Pj^E=p.wA*.V*.

L'énergie d'une onde est donc égale (ou un peu inférieure) à la masse liquide contenue dans le cercle d'oscillation des mo<lécules superficielles, multipliée par le carré de la célérité apparente de la propagation.

913. Forittoles applicables aux niasses liquides de profondeur limitée. — Lorsqu'au lieu de se propager dans une eau d'une profondeur indéfinie, la houle se produit dans une masse liquide de profondeur H, M. Boussinesq a montré que le mouvement des molécules liquides était encore analogue, seulement, au lieu de décrire des circonférences de cer-

cle de rayons r — he [" , elles décrivent des ellipses dont le

demi grand axe horizontal r et le demi petit axe vertical r' oiït les valeurs suivantes en fonclion de z^^ H et de L, demi-longueur des vagues * :

coh TU — - — sih t: —, —

Slh TT f- Slh 77 p

i. On trouvera la démonstration de ces formules, ou bien dans le Mémoire de M. Boussinesq sur les ondes liquides périodiques, ou bien dans le8-4nnales des Ponts et chaussées, 1888, 1er semestre, pages 782 el suivantes.

s 3. — HOULE. 443

et la demi période T de Toscillation a pour expression :

T=\/2^cothxf V ^ L

La célérité V de la propagation est alors :

Et lorsque la profondeur H est assez petite par rapport à L pour que — soit inférieur à r par exemple, tah y ne diffère

ttH 1

de — que de moins de— de sa valeur et Ton a approximativement î

formule qui a étd donnée par Lagrange et qui est identique à celle que nous avons trouvée pour les ondes do translation dont la saillie h est petite par rapport à la profondeur U.

L'élévation du niveau moyen au-dessus de la surface d'équilibre est — , et Ténergio de Tonde pwrr'V* « pgà*\* est proportionnelle au carré de la hauteur des vagues et à la première puissance de leur longueur.

Cela suppose, toutefois que les frottements du liquide sur lui-même et sur le fond sont négligés. L'effet de ces frottements modifie un peu ces conclusions. Il a pour conséquence, par exemple, de rapprocher de la forme circulaire les trajectoires elliptiques des molécules, à partir d'une certaine hauteur au-dessus du fond et même de renverser le sens des axes, le grand axe de l'ellipse étant vertical et le petit axe horizontal lorsque Ton est h une distance suffisante du fond^ Il a

^. M. de Caligny a observé (Hydrauliquey I'p parlie, page 295) les axes verticaux et horizontaux des trajectoires elliptiques des molécules dans un mouvement de houle ; il a trouvé les valeurs suivantes :

aussi pour conséquence de diminuer un peu les célérités de la propagation et d'éteindre progressivement la houle, c'est-àdire d'en diminuer la hauteur. Le coefficient d'extinction est inversement proportionnel au carré de la demi -longueur L de la houle, et par suite les houles les plus courtes disparaissent bien plus rapidement que les plus longues. C'est ce qui explique comment, à la suite de mouvements tumultueux produisant des ondes de toutes formes et de toute amplitude, il s*établit souvent, après un certain temps^ une houle unique régulière et dont l'amplitude est la plus grande.