Cour» d'eau à faillie peute. ReMauC — Au
lieu de supposera légèrement plus petit que H et plus grand
queH'=»/^H, supposons-le maintenant plus petit que
celte profondeur critique. Les deux termes de la fraction
fe» H'' .
- — -- de Téquation (20) seront négatifs, et dh sera de même
signe que ds. La profondeur A croîtra à mesure que Ton descendra le courant et atteindra bientôt la profondeur crilique
pour laquelle -7- devient infini et le régime permanent impossible dans les conditions oîi il est supposé. D'autre part, si, à partir de ce point, on remonte le courant, h étant assez notablement différent de II, le dénominateur de la fraction précédente ne sera pas très petit, dh aura une valeur comparable à celle de ds, la profondeur h ira en décroissant rapidement et il arriverait même que la courbe représentant la surface libre viendrait rencontrer le fond du lit, c'est-à-dire que h s'annulerait. Use produira donc, dans ces circonstances spéciales, à la suite d'une profondeur h assez pelite ou très petite, un relèvement assez rapide de la surface libre, qui précédera une discontinuité dans le mouvement permanent exprimé par l'équation (20) c'est-à-dire un véritable ressaut après lequel h sera devenu plus grand que la profondeur critique H\ ou peut être même que la profondeur de régime uniforme IL La portion de cours d'eau en amont de ce ressaut sera sous l'influence de son extrémité d'amont. Après le ressaut, le régime deviendra uniforme ou s'établira suivant rinfluence de l'extrémité d'aval, d'après l'une ou l'autre des deux hypothèses que nous venons d'examiner*
io6 CHAP. V. — CANAUX DÈCOUVEKTS.
td&. €aual rectau^alaire à plafond horixontal. —
On pourrait, comme on vient de le faire pour le remous d'exhaussement, chercher comment se modifie la formule générale lorsqu'au lieu de rappliquer à un canal de largeur indéfinie, on veut considérer un cours d'eau de dimensions restreintes. Nous ne ferons cette étude, qui donne lieu à des calculs compliqués, mais non difficiles, que dans une hypothèse qui leur apporte une certaine simplification et qui correspond à un cas assez fréquent dans la pratique : celui où la pente du fond est rigoureusement nulle: t = 0 ; c'est ce qui arrive, par exemple, dans un canal de navigation dont le plafond est horizontal et qui sert néanmoins à Técoulement d'un certain volume d'eau. Supposons aussi, pour simplifier les calculs, que les parois latérales soient verticales, ou le lit rectangulaire ; nous indiquerons, à la fin, comment devront être modifiées les formules définitives pour le cas, plus ordinaire, d'une section en forme de trapèze. Faisons i — 0 dans l'équation (24) et résolvons-la par rapport à ds, nous obtiendrons :
En général, le premier terme du second membre de cette
équation sera négligeable par rapport aux autres ; en effet
avec les valeurs moyennes des coefficients a et &, le quotient
-7- est inférieur à 300, le facteur r-r — r est inférieur à l'unité ;
ce premier terme est donc notablement inférieur à 300 rfA. Or, dans un pareil cours d'eau, où la pente du fond est nulle, la pente superficielle dépasse rarement 0 m. 20 ou 0 m. 30 par kilomètre ; en la supposant de 0 m. 33, on a ds=3000 dh en valeur absolue, le premier terme est donc toujours beaucoup plus petit que le dixième des deux autres et l'on peut le négliger, si l'on se contente d'une approximation. Il reste alors:
l*h*dh as = -
bQ\l + U)
Cela montre, tout d'abord, que dh et ds sont de signes contraires, ce qui caractérise le remous d'abaissement. En intégrant entre deux profils d'abscisses 5i et 5o, on obtient^ :
*• h^dil
On peut tirer de là l'expression du débit Q en fonction des différences de profondeurs dans les profils donnés :
Supposons alors que dans les deux profils définis par les abscisses 5o et Si et distants par conséquent de la quantité donnée (Si — 5o), on ait constaté, par une première observation, les profondeurs ho dans celui d'amont et A^ dans celui d'aval; puis, par une seconde observation,
ha en amont, ht en aval ; enfin, par une troisième,
Al en amont, A, en aval.
Désignons les débits correspondants par Qotif Qoti et Qdi les valeurs de ces débits seront données par les équations :
d'où résulte Téquation remarquable :
1. L'intégration n*a rien de difficile, et donne pour résultat :
if
288 CHAl>. V. — CANAUX DÉCOUVERTS
Supposons que, pour un cours d'eau de section transversale donnée, ou pour des valeurs déterminées de / et de A, on ait calculé les valeurs du débit Q en admettant que la profondeur dans une section d'amont soit constante et égale à h^^ celte profondeur étant la plus grande de celles que Ton est exposé à voir se réaliserdans la pratique, et que, dans une autre seclion, située en aval delà première à une distance donnée s — 5o,
la profondeur ait eu successivement les valeurs Aj, A^, A3
inférieures à Ao (la distance s — Sq pourra être, par exemple, celle de deux ouvrages sur lesquels se trouve une échelle graduée), on obtiendra ainsi un certain nombre de valeurs Qo,i, Qo,»> Qoj«... pour le débit du cours d'eau dans ces diverses hypothèses. Ce calcul, étant fait une fois pour toutes, pourra servir à déterminer immédiatement le débit lorsque les profondeurs, dans les deux sections considérées, auront des valeurs quelconques An» fcp En effet, l'équation précédente donnera:
Vjn,p = Vo,p Wo.n î
le débit cherché sera le troisième côté d'un triangle rectangle dont les deux autres seront les débits déjà calculés. Remarquons d'ailleurs que pour des sections transversales
semblables ou pour une même valeur du rapport - , les débits
sont en raison du cube de la largeur l des cours d'eau; la formule générale (30) peut en effet s'écrire
et par conséquent il suffira, après avoir calcule le débit pour
i. Cette équation a élé donnée par M. Cosserat, dans un rapport sur les conditions d'écoulement dans les canaux d'assèchement des Wateringues du Nord et du Pas-de-C&laip«
Qoo^^
I 5. - hEMOUS 2S9
un cours d'eau donné de largeur /, de le multiplier par le rap-
port — des cubes des largeurs pour avoir celui d'un cours
d*eau d*une autre largeur V, De même, les calculs faits pour une certaine longueur s — ^o pourront s'appliquer à une autre longueur s' — s^ en remarquant que les débits sont en raison inverse de la racine carrée de la longueur aux extrémités de laquelle les profondeurs ont été mesurées.
Ite. Canal à section Irapèsc et à fond horizontal.
— Tout ce qui précède s'applique aussi au cas où le canal à fond horizontal a une section transversale en forme de trapèze au lieu d'une section rectangulaire. Si / est toujours la largeur au plafond, h la profondeur et m Tinclinaison des talus, la largeur à la surface étant alors / + 2 mh, le périmètre mouillé est / + 2A v'i -+- m* = Z + 2 pA, en posant pour abréger p == Vl +m*. Alors la formule générale (30) doit être écrite :
^ 6(«-»o)A l+iph et son intégration conduit à l'expression compliquée (')
*^2pV 2p/ \ Si» épi* '^ àpH Sp^ ^l'i-2phjj
dont le dernier terme affecté d'un logarithme est évidemment négligeable par rapport aux autres, mais qui malgré cela donne lieu à des calculs laborieux.
Si, pour abréger l'écriture, on pose
i. Celte expression se réduit à celle qui est donnée plus haut, en note, pour le lit rectangulaire lorsque Ton y fait m = 0, p == 1.
CUAP. V. - CANAUX DECOUVERTS
et si Ton met à la place de -j= le coefficient C, cette expression (32) s'écrit :
Voici un petit tableau qui donne quelques-unes des valeurs de la fonction f (7) et qui permettra^ sinon de calculer exactement le débita au moins de se faire une première idée de son importance.
Valeurs de h
Parois yerticales
Talus inclinés à ||
1 de base
pour 2 de
hauteur
1 Je base
pour 1 de
hauteur
3 de base
pour 2 de
hauteur
2; (le base pour 1 de hauteur
3 de base
pour 1 de
hauteur
ni=3.00
Il ^'^
Soit, par exemple, à déterminer le débit d'un cours d*eau à plafond horizontal ayant 5 m. 00 de largeur au plafond, des talus en terre à 3 de base pour 2 de hauteur^ et dont la pro-
fondeur, égale à Irois mfelres dans un profil d'amont, se trouve réduite à 2 m. 50 daus un profil situé à trente kilomètres en aval du premier.
On a alors: 5—50=30.000, w=l,50, ^' = 0,60, 7 =0,50
La table XII 4onne d'abord, pour la valeur moyenne de
-== 0.55, le rayon moyen R = 0.61 A=0.61x2.75=lm.68.
Puis, la table IX, pour cette valeur du rayon moyen et des parois en terre, fournît la valeur du coefficient C = 45 environ.
Le tableau précédent donne, pour j- =0.60, ç (-) — 0.061 et pour j = 0.50, <p (rj = 0,026 ; par conséquent :
Q = f^^ V^ô:Mr=:M26'= 6mc. 07 ;
soit, en chiffre rond, six mètres cubes par seconde.
On aurait pu, d'une façou moins rigoureuse, se rendre compte du débit en prenant la pente superficielle moyenne
0 50 I = -j— et calculant la vitesse moyenne par la formule du
mouvement uniforme : U = C v^=45 yl.68x .^q, qui
aurait donné U=Om. 234. La section transversale ayant, en moyenne, une superficie de 25 mq. 09, on aurait trouvé, pour le débit, le chiffre Q=0,23iX25,09 = 5 me 87, sensiblement le même que le précédent. Dans bien des cas, ce calcul rapide ne donnerait pas un résultat aussi approché.
ItV. Cours d'eau à forte pente. — Occupons-nous
maintenant des cours d'eau à forte pente, pour lesquels r- est
plus grand que Tunité. L'équation générale, applicable au cas d'un cours d'eau rectangulaire très large peut toujours se mettre sous la forme (20) :
'J *'~ftg jfc ft'-H'» .,
Supposons d'abord que h soit légèrement supérieur à II, mais inférieur à la profondeur critique H'. Le numérateur de la fraction est négatif, le dénominateur positif, et ah est de signe contraire à ds, La profondeur h va en décroissant à mesure que Ton descend et s'approche indéfiniment de la profondeur II correspondant au régime uniforme. En remontant, h croît, s'approche de H' et finit par atteindre cette profondeur critique. Le régime varié fait suite à un abaissement brusque qui peut être un ressaut d'abaissement et il est sous Tinfluence de l'extrémité d'amont où se produit cet abaissement brusque. Au delà, en descendant, la forme de la courbe est donnée par les
mômes équations que plus haut, dans lesquelles! — — est négatif au lieu d'être positif.
Si /i, supérieur à II, est en même temps supérieur à
ir=H%yfi,
V hg
les deux termes de la fraction sont de même si-
gne et dh est de même signe quecîs. La profondeur va en croissant h, mesure que l'on descend. La courbe de la surface libre est asymptote à une horizontale au-dessous de laquelle elle reste et dont elle s'approche indéfiniment. Cettecourbe succède à un ressaut d'exhaussement qui se produit vers son origine et en vertu duquel la profondeur A, préc(^demment inférieure à
ou même à II, devient brusquement supérieure à la
première de ces deux quantités. Le régime s'éloigne de plus en plus de l'uniformité et le niveau tend vers l'horizontale comme dans le premier cas que nous avons examiné. L'écoulement se fait sous l'influence de l'extrémité aval du cours d'eau, où se trouve la cause qui maintient ainsi le niveau à peu près horizontal (fig. 66).
Enfin, supposons h inférieur à II et par conséquent à
Qoo^^
H-=ny/|;
g 5. — REMOUS. 263
les deux termes de la fraction sont négatifs, h va
en augmentant à mesure que Ton descend et s'approche indéfiniment de H. Vers Famont, h décroissant lorsqu'on re-
Fig. 66.
monte, finirait par s'annuler et la courbe de la surface libre rencontrerait le fond du lit. La courbe dont il s'agit fait donc suite à une portion où la profondeur peut être 1res faible ; mais cette profondeur s'accroît régulièrement et sans ressaut, contrairement & ce qui se passe, dans les mêmes circonstances, lorsque le cours d'eau est à faible pente.
tS8. Béiramé de la diseoiifiion. — De toute cette discussion^ il résulte que, dans un canal découvert de section rectangulaire et de pente constante, il y a une profondeur critique H' définie par l'équation :
dans laquelle q est le débit par unité de largeur du cours d'eau. Si la profondeur réelle h en un point donné est supérieure à celle profondeur critique, l'écoulement est tranquille, et le cours d^eau, quelle que soit sa pente, se comporte à la façon des rivières, le ressaut superficiel y est impossible et le régime se trouve sous l'influence de l'exlrémilé d'aval dont les conditions déterminent celles de l'écoulement.
Si, au contraire, la profondeur réelle A, en un point donné,
Qoo^^
264 CHAP. V. — CANAUX DECOUVEHTS
est inférieure à la profondeur critique H', ^écoulement est torrentueux ; le régime est sous la dépendance de Texlrémité d'amont, quelle que soit la pente du cours d'eau.
Dans les canaux à faible penle, le régime uniforme se produit en amont des points où la profondeur réelle dépasse la profondeur critique ; dans ceux à forte pente, le régime uniforme se produit en aval des points où la profondeur réelle est inférieure à la profondeur critique.
Dans tous, lorsque la profondeur est voisine de la profondeur critique, l'écoulement est irrégulier et il se produit ordinairement un ressaut superficiel.
On peut encore donner une autre forme à ce qui précède. Si Ton considère, dans un cours d'eau à faible pente, la partie où le régime est uniforme ou sensiblement uniforme, dans laquelle la courbe du remous est voisine de son asymptote et si Ton marche vers Taval, le régime, s'il devient varié, ira en s'écartant graduellement du régime uniforme. Si au contraire on marche verslamont, le régime uniforme, s'il cesse d'exister, sera détruit brusquement ou trop rapidement pour que l'équation ordinaire puisse s'y appliquer.
Dans un cours d'eau à forte pente, les circonstances inverses se produisent : le régime uniforme succède asymptotiquement à la courbe de remous. Il ne s'établit donc que graduellement ; mais en revanche il se détruit brusquement ou rapidement à l'aval des points où il existe et où des causes locales produisent soit une surélévation soit un abaissement du niveau ; ces effets locaux ne se propagent pas vers l'amont où le régime continue à être uniforme jusque tout près de ces points exceptionnels.
g 6. — ÉTRAxNGLEMENT OU ÉLARGISSEMENT DU LIT 265
lt9. Effet d'an lon^ étranirleiiient- — Ce n'est pas à la résolution de ces problèmes généraux que Ton peut borner les indications de la théorie sur les conditions de Técoulement dans les canaux découverts. D'aulres problèmes, un peu plus particuliers ou spéciaux, peuvent aussi recevoir une solution approximative. Nous traiterons d'abord celui de l'effet produit sur un canal découvert par un rétrécissement de la section assez long pour que le mouvement y devienne uniforme.
Nous supposerons toujours, pour simplifier, une section transversale rectangulaire, ce qui constitue, quelle que soit rinclinaison des rives, une approximation suffisante pour les cours d'eau très larges par rapport à leur profondeur.
Considérons donc un canal découvert de pente constante i, de largeur / et de profondeur H, dans lequel le régime uniforme est établi. En appelant toujours U la vitesse moyenne, nous aurons, entre ces quantités, la relation :
Supposons qu^à partir d'un certain point, et sans changer la pente du cours d'eau, on diminue sa largeur qui deviendra t, sur une longueur indéfinie vers Taval.
A une certaine distance en aval du point où commence la largeur f, un nouveau régime uniforme s'établira, défini par l'équation :
H't = AU";
et comme le débit est resté le même, on aura aussi : H/U = H7'U'.
On en déduit, si Ton admet que b ail la même valeur dans les deux cas, ce qui n'est pas absolument exact puisque ce coefficient dépend de H :
H' ir» HM« ? /T*
H ~ u» ~ H'« r* """ V r* ' Et, par suite, Texhaussement du niveau y = H' — Usera:
Les deux niveaux, à des profondeurs H et H' dans la partie large et dans la partie étroite, se raccorderont par une courbe de remous formée d'une partie CC asymptote à la ligne de profondeur II et située au-dessus.de cette ligne (fig.67), comme dans le premier cas considéré plus haut (n** 119).
Fig. 67.
Pour raccorder celle ligne à la profondeurH' on doit remarquer que, entre les deux profils A et B, la vitesse passant de la valeur U à la valeur plus grande U', il faut qu'il existe une
U'* — U* pente superficielle égale on totalité à — . La profondeur
DF du profil B étant égale à IF, celle CE du profil A est égale à ir augmentée de celle quantité. Cela donne le point C par lequel devra passer la courbe de remous CC que Ton tracera comme dans le cas d'un barrage transversal (n"" 122).
Qoo^^
La formule précédente montre que le remous produit par un long étranglement est proportionnel h la profondeur du cours d'eau *. On doit donc procéder avec d'autant plus de circonspection aux travaux d'endiguement qui rétrécissent le lit d'une
rivière, qu'elle présente des crues plus élevées. Pour Z' = g/,on
aurait à peu près y = 0,60F1 ; pour f = - / ce qui représente
un empiétement d'un cinquième^ on a y = 0,464 soit environ
- H: les crues seraient exhaussées de- de leur hauteur.
Si les rétrécissements par endiguements continus peuvent être désastreux pendant les crues (lorsque H est grand), en relevant leur niveau, on voit, par contre, qu'ils n'ont d'influence appréciable sur les basses eaux (lorsque H est petit), que s'ils atteignent une proportion considérable. En resserrant une rivière qui n'aurait que 0°,50 de profondeur, au moyen de digues qui lui enlèveraient la moitié de sa largeur, ou n'augmenterait la profondeur que des soixante centièmes de sa valeur primitive soit de 0,60x0,50 = 0", 30 ; on n'obtiendrait donc qu'une profondeur totale de 0™,80 ; et encore il faudrait pour cela que l'endiguemenl eût lieu sur une grande longueur.
Ces résultats doivent, comme il a été dit, être considérés comme approximatifs.
tSO. Étraiii^lemeiit de loiiiraear restreinte- — Lorsque l'étranglement n'est pas assez long pour que le mouvement uniforme puisse s'établir dans la portion rétrécie, la surélévation produite k l'amont est employée à accroître la vitesse de l'écoulement dans cette partie étranglée et le mouvement y reste varié. La forme de la surface libre y est alors celle du remous d'abaissement étudiée au n°123. Cette surface libre s'abaisse au point D' (fig. 68) au-dessous de la profondeur H correspondant au réginrje uniforme; dans la partie large et au
