ONDES DE TRANSLATION

194. Ondes de translation. — A Tétude de la propagation des crues se rattache étroitement celle du phénomène remarquable de propagation des ondes liquides, et en particulier des ondes dites de translation qui ont été Tobjet d'expériences intéressantes de la part de J. Scott Russell et de M. Bazin. Voici comment Scott Russell (cité par M. Bazin) rend compte de la façon dont il a découvert ce phénomène * :

« J'observais le mouvement d'un bateau que deux chevaux c tiraient rapidement dans un canal étroit, lorsque ce bateau « vînt à s'arrêter tout à coup ; mais il n'en fut pas de même « de la masse d'eau qu'il avait mise en mouvement dans le « canal ; elle s'accumula autour de la proue dans un état de c violente agitation, puis, laissant tout à coup le bateau en

i. Report of the fourteeoth meeting of the British association for the ad^ Tancement of science, held at York in september 1B44. London 1845.

404 CllAP. VIII. - MOUVEMENTS ONDULATOIRES.

« arrière, se mit à cheminer en avant avec une grande vitesse « sous la forme d'une seule grande ondulation, dont la surface « était arrondie, lisse et parfaitement déterminée. Cette onde (( continua sa marche dans le canal sans que sa forme et sa « vitesse parussent s'altérer en rien. Je la suivis à cheval et la « retrouvai cheminant encore avec une vitesse de 8 à 9 mil- « les à l'heure et conservant sa figure initiale (environ 30pieds « de longueur sur 1 pied à 1 7s pî^^ ^^ hauteur). La hauteur « de Tonde diminuait graduellement, et après l'avoir suivie « pendant un mille ou deux, je la perdis dans les sinuosités « du canal. »

L'onde de translation (tel est le nom que J. Russell donne à ce phénomène) peut se produire d'après lui et d'après M. Bazin * dans des circonstances fort diverses : toutes les fois qu'un certain volume d'eau, momentanément soulevé au-dessus du niveau général de la masse, est abandonné à lui-même, il donne naissance, en s'afTaissant pour y rentrer, à une onde de translation. Ce soulèvement momentané peut être produit soit par le mouvement d'un solide (comme le bateau dont il vient d'être parlé) agissant à la façon d'un piston qui pousse le liquide, soit par la projection d'un certain volume d'eau dans un liquide tranquille, etc. L'onde de translation est tout entière en saillie au-dessus du niveau de l'eau sur laquelle elle chemine, ce qui la distingue des ondes oscillatoires que nous étudierons plus loin et dont chaque saillie est accompagnée d'une cavité correspondante. De plus, les ondes d'oscillation sont toujours réunies par groupe et se succèdent à intervalles réguliers ; l'onde de translation chemine seule, aussi Scott Russell a-t-il donné à celle qu'il a étudiée la dénomination abonde solitaire (solitary wave), qui est appliquée plus spécialement aujourd'hui à une onde de translation particulière ayant la propriété de se propager sans se déformer.

Si, au lieu d'élever momentanément le niveau du liquide,

1. Recherches expérimeD taies sur la propagation des ondes : Méfnoire des savants étrangers, tome XIX.

§ i. — ONDES DE TRANSLATION.

on rabaisse en créant subitement un vide ou une dépression dans la surface liquide, on a une onde de translation négative qui se propage, comme Tonde positive, mais en se déformant progressivement. L*onde dite solitaire, seule, se propage sans subir de déformation.

•s. Vitcftse de leur propagation. — Voici comment on peut, très simplement, se rendre compte de la propagation d'une pareille onde de translation, positive ou négative, et calculer la vitesse de cette propagation.

Considérons un canal horizontal, de section transversale quelconque, mais uniforme, dont nous appellerons Taire <ù, rempli de liquide en repos dont le poids spécifique est n ; soit AA' (fig. 95) sa surface libre et BB' le fond. Supposons ce canal

-gr

fermé par une vanne AB occupant toute la section transversale et formant piston. Imprimons à cette vanne une vitesse horizontale U ; il se produira, en avant, sur une certaine longueur CG, une surélévation du liquide qui viendra, par exemple, jusqu'en EF. Désignons par h la surélévation CE supposée petite par rapport aux autres dimensions et par l la largeur du canal à la surface ; la différence de pression, d'un côlé à l'autre de la vanne AB, venue en CD, aura pour valeur

L'impulsion de cette force, pendant l'unité de temps, sera égale à Taccroissement de la quantité de mouvement de la masse liquide. Or, au commencement de cette unité de temps,

406 GHAP. Vin. — MOUVEMENTS ONDULATOIRES.

toute la masse liquide comprise entre ED et FH avait déjà la vitesse U, et pendant cette unité de temps, cette même vitesse U a été communiquée à une certaine masse GHLK dont la longueur GK = HL représente la quantité dont s'est propagée rintumescence dans l'unité de temps, ou la célérité* de cette propagation que nous appellerons V. La masse mise en

mouvement est ainsi - Vw, et la quantité de mouvement communiquée :

Égalant cet accroissement de la quantité de mouvement à l'impulsion de la force qui pendant Tunité de temps est égale à la force elle-même et divisant tous les termes par n, il vient :

i/i* VwU

Mais, d'autre, part, par suite de l'incompressibilité de la masse liquide, il y a égalité entre l'accroissement FGKI de Tintumescence et la diminution de volume résultant de l'avancement de la vanne d'une quantité U dans l'unité de temps, ce qui donne la nouvelle équation

(2) MV = ((o + /A)U.

Éliminant U entre ces deux équations, on en tire la valeur deV:

v=v^Hï+TH-3

Le dernier terme sous le radical est toujours petit par rapport aux autres ; en effet, si. on le compare au précédent, la somme

de ces deux termes peut s'écrire - (3+ -); or /A, accroisse-

i. Saint- Venant a employé le mot de célérité pour distinguer la vitesse dont il s'agit de la véritable vitesse des molécules liquides représentée par U.

5 i. - ONDES DE TRANSLATION. 40T

ment de Taire de la section dû à la surélévation A, est toujours, par hypothèse, une petite fraction de l'aire primitive (o,le rapport — est donc négligeable par rapport à 3 et la formule peut se réduire à :

Elle s'applique, sous cette forme, à une section transversale quelconque. S'il s'agit^ en particulier, d'un canal rectangulaire de largeur / et de profondeur AB » H, la section o> =? /H, et les formules (2) et (3) s'écrivent: