CUAPITHE V. — AKCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE

66. Nous avons vu que la hauteur de l'arc dans les fermes du pont d'Arcole va en croissant depuis o™,38o à la clef jusqu'à i", 3oo aux naissances. Cette hauteur aux naissances pour une section double T dont Tâme n'a que o",oio étant considérable, on a été obligé de la raidir par une série de barres de fer en T simple, ployées en forme d'U polygonaux et se rivant dos à dos sur l'âme et les nervures à i",5o d'axe en axe. La solidarité établie entre l'arc et le longeron permettant de faire entrer dans les calculs le moment d'inertie de l'ensemble des deux sections de l'arc et du longeron, et ce moment étant considérable par suite de l'écartement de ces deux pièces du côté des naissances, on peut se demander s'il est réellement utile d'augmenter la hauteur de l'arc aux naissances: On reconnaît d'abord que l'on diminue un peu ainsi le moment d'inertie de la section d'ensemble de la ferme ; d'autre part, on relève un peu la fibre moyenne aux naissances, qui sans cela serait DEF au lieu de ABC {fig- i6), ce qui augmente le surbaissement. Par ce double motif, il semble préférable a priori de donner à l'arc une section constante dans toute son étendue (* ). Nous avons été conduit dès lors à recommencer les calculs qui conduisent à la détermination des efforts normaux à la clef et aux naissances, tant à l'intrados qu'à l'extrados, en supposant la section de l'arc constante. Ces calculs sont renfermés dans les colonnes 1 à 15 du Tableau ci-après. Les valeurs de Q et Mo ainsi obtenues sont

Q=: — 9.79 5oo*'^

(') La hauteur constante de cet arc, qui serait égale à 0™, 38o, est représentée sur \^Jig. 16 par la distance de la courbe d'intrados i, 2, 3, /{, 5, 6, à la courbe dont on voit une amorce ponctuée en points ronds près des naissances.

Calcul de l'effort normal à la clef

Mo .

9^ OjO^ngS

Ri — 1 4o8ooo^«

iK'V

Calcul de V effort normal aux naissances.

OL f 4 5987 ,

a i4*io'

I — cosa=: m^ 0,0870

sina 0,2444

X = Q cosa — Z" sm a,

L = (Z" X — M"+ Qz)a + Mo,

(V i,4oo

1117, ClUriTUB y. ARCS UÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE

— — 46i5ooo^*

R^ — 7 53oooo^«

En prenant pour unité de surface le millimètre carré, les quatre valeurs précédentes de l'effet normal deviennent

Ces résultats, comparés à ceux que nous avons obtenus dans. le cas de la solidarité de l'arc et du longeron, confirment ce que nous avions pressenti: c'est que, dans le cas de fermes constituées comme celles du pont d'Arcole, il est inutile de faire croître la hauteur de la section de l'arc depuis la clef jusqu'aux naissances. L'effort normal ne serait pas plus grand dans le métal de ce pont si l'arc n'avait partout qu'une hauteur de o™,38o comme à la clef. Mais il faut que la solidarité produite par les tvmpans soit aussi complète que possible. En supprimant les raidisseurs de l'âme de l'arc, il conviendrait d'utiliser le métal ainsi économisé pour développer l'ampleur des pièces du tympan et de ses assemblages avec l'arc et le longeron.

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3l4 CUAPITRB V. — ARCS MÉTALUQLBS EN ARC DE CERCLE

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EFFET PE POIDS ISOLÉS. i 2l5

ARTICLE ni.

EFFET d'un poids ISOLÉ ET d'uNE CHARGE RÉPAllTIE SUR tJNE FRACTION DE LÀ LONGUEUR DE LA PIÈCE.

67. Effet d'un poids isolé. — Soit P' {fig* 19) un poids appliqué au point w! de la fibre moyenne AB, ayant pour abscisse x = x'. La répartition des charges n'étant plus symétrique, la valeur de P, réaction verticale de l'appui de droite, n'est plus égale à la moitié II du poids total de la construction. Elle est alors donnée par l'équation (8) du n° 52, dans laquelle m^ et x^, sont donnés par les formules [f) du même numéro, savoir :

jTj == I -— as.

Le moment M' est donné par la formule (i4) du n^ 33, savoir

(A) M' = m;— M" — (n — Z") jc,

dans laquelle M]^, moment par rapport au point O de la résultante des forces appliquées à OB, est égal à Pj/, et, M'', moment par rapport au même point O de la résultante appliquée depuis ce point jusqu'au point que l'on considère, ayai)t pour abscisse Xj est égal à zéro pour toutes

2l6 CHAPITRE ¥• — EFFET

les valeurs de x plus petites que af eomprises entre le point A et le point m, et à P'o/ pour toutes les valeurs plus grandes. La constante II, résultante des forces appliquées de O en B, est égale à P. Enfin, la quantité Z" est nulle pour les valeurs de x plus petites, et égale à P' pour les valeurs de x plus grandes que a/. On a donc pour les valeurs de M' entre A et m'

et entre m' et B

La valeur de l'intégrale m2 se réduira donc à celle de la partie de cette intégrale comprise entre — a et x^, et Ton aura

Dans les arcs surbaissés de section constante où I est constant et ds peu différent de dx, on a

nii

Il en résulte

Cette valeur se réduit à pour a:'==: o et à — F pour

x'= a, ainsi que cela doit être.

DE POIUS ISOLÉS. 217

Pour obtenir la valeur de Q, il suffira d'introduire les valeurs précédentes de TI et M'^ dans les intégrales

Les éléments de ces intégrales étant nuls entre les points A et m', leurs valeurs se réduisent à celles de la partie comprise entre ni et B, savoir :

— - zas.

Pour les arcs de forme parabolique et de section constante où ds = dx, I est constant et z[esl donné par l'équation

ip a^

on obtient

Nous avons trouvé (n® 52) dans les mêmes hypothèses,

2l8 CHAPITRE V. — EFFET

pour i^^, Zi, 02 "ôti/zi,

lap

' lOpH

La valeur de Q donnée par la formule (i) du n° 60 est donc

dans laquelle p- = — est le carré du ravon de gyration de

Aéê

la section constante.

Lorsque x^=^ o, c'est-à-dire quand la force P' est placée au milieu de Tare, on a

Si P' était réparti sur toute la longueur de Tare, on aurait, en vertu de la formule (D) du n° 60, U étant égal

quantité environ deux fois moindre que la précédente.