AS

MyAæ

COS a

A M, A# tg a

o E S (r2 S (sin 2p . cos p . w))

En remplaçant Mf et Mt par leur valeur trouvée précédemment, on trouve:

^\Amrtâ \VV

mt A# tg a

o E S (r2 2 (sin 2p . cos p . u))

A ml COS a a#

+ 2ir

mx sin a tg a kx

* E 2 (r2 2 (sin 2p . cos p . «)) d’où nous tirons la valeur de :

mt tg a

S(r2 2 (sin 2p . cos p

■^A / COS a

sin « . tg g

2 |Y2 2 (sin 2p . cos p

§ 6. — Calcul numérique du moment fléchissant à la clef.

Nous avons à calculer les différents éléments qui entrent dans cette expression.

Éléments indépendant de la puissance du vent.

Les moments I, par rapport à l’axe du plan médian, ont été calculés, tableau n° 14, en multipliant la surface des membrures d’extrados et d’intrados et 2^ parle carré des distances «eet v{,

de leur centre de gravité à l’axe du plan médian.

Dans le tableau n° 15 se trouvent les valeurs calculées de tg a

Nous en avons déduit pour la valeur du dénominateur de l’expression de m1 :

Jo W- . Olll ^

1 ' S^r2 2(sin cos p «

2° Éléments dépendant de la puissance du vent.

Ces éléments doivent être déterminés dans les deux hypothèses de vent avec surcharge et de vent sans surcharge.

Les moments mh et mv ont été déterminés en partant de la clef où ils sont nuis, et les moments dans les sections suivantes ont été déterminés par la formule :

M*+1 — Mn -h Fnx— P x .

Dans laquelle M„+1 est le moment cherché dans la section n-f-1, M,! le moment dans la section précédente n, Fn la force extérieure de la section n, P la force au montant situé entre les sections, n et n -j- 4, x la distance qui sépare les sections n et n - \- 1, x, la distance de la force P à la section n + 1.

Les valeurs ainsi calculées sont données dans le n° 16.

Les valeurs des moments mh et mv ont servi à calculer mf et mt à l’aide des formules précédemment établies :

mf = mh cos a — mv sin a, mt — mv cos a -f mh sin a,

dont les valeurs sont inscrites dans les colonnes 3 et 4, 9 et 40 du tableau n° 46.

Ces valeurs nous ont permis de déterminer celle du numérateur entrant dans l’expression mi :

yT /% j rnt tg g

' i] ^r2 S (w sin 2p cos p)

qui a été trouvée égale à 40 397 405, dans le cas du vent sans surcharge, et égale à 20 799 684, dans le cas du vent avec surcharge.

En nous reportant à la valeur du dénominateur trouvée au tableau n° 15, on a :

1° Dans le cas de vent avec surcharge :

2° Dans le cas de vent sans surcharge:

Dans le premier cas, le moment aux naissances est égal à mh -{- m, = 5 049 544 — 325 386 = 4 724 158.

L’effort horizontal aux naissances, qui sont écartées de 20 m, est de 236 208 kg.

Or, la poussée correspondant à ce cas étant de 384 791 kg , il y a un excès de force pour réaliser l’encastrement absolu que nous avons supposé, et la valeur trouvée pour le moment à la clef my peut être considérée comme admissible.

Il n’en est pas de même dans le second cas ; en effet, la valeur du moment aux naissances étant de

L’effort horizontal aux naissances serait . 353 193 kg

Or la poussée correspondante est de . . 263 435

et serait inférieure de 89 758 kg à l’effort horizontal : l’effort horizontal d’encastrement ne serait donc pas réalisé et la valeur de ml n’est pas admissible.

Nous allons déterminer, comme nous l’avons vu précédemment, le moment horizontal d’encastrement aux naissances par la condition que l’effort de traction soit dirigé suivant les tiges d’amarrage.

L’effort vertical de traction sur un appui est de :

7 ,?6Q 2M1 - 398 012. (Voir tableau n° 46.)

La charge verticale sur un appui est de :

Poids d’une demi-ferme 263 763 kg )

Réactions aux montants 8 et 9 67 918 kg ( — 370 966 kg.

— au montant 12 39 2^5 kg )

La différence 27 046 kg représente l’effort de renversement vertical.

La traction horizontale sera égale à :

Ig a ” 1,381 818 “

19 573 kg.

L’effort de traction dû au vent excédera donc la poussée de 19 573 % et sera donc égal à: (Voir tableau n° 3.)

Le moment horizontal correspondant aux naissances sera de : 283 008 x 20 = 5 660 160,

. et le moment à la clef sera égal à

§ 7. — Calcul numérique des moments de flexion et de torsion dans les différentes sections.

Connaissant les valeurs de ml9 les formules (1 ) et (2) §4 ont servi à déterminer, en chaque section, le moment fléchissant Mf et le moment de torsion M( qui sont donnés dans les colonnes 5, 6 et 11, 12 du tableau n° 46.*

§ 8. — Coefficients de travail des membrures.

Nous avons ensuite calculé dans le tableau n° 17 les coefficients de travail des membrures d’extrados et d’intrados par la formule:

les valeurs de — étant données dans le tableau n° 44 pour l’extrados et l’intrados.

§ 9. — Efforts tranchants.

Les efforts tranchants ne sont autres que les sommes des efforts totaux du vent agissant de la clef à la section, qui sont donnés dans le tableau n° 43.

Ces efforts tranchants figurent dans la colonne 4 du tableau n° 48 et sont les mêmes pour l’extrados et l’intrados. C’est à l’aide de ces efforts tranchants et des moments de torsion que nous calculerons les coefficients de travail des contreventements.

§ 10. — Calcul des coefficients de travail des contreventements.

En opérant comme on le fait pour les poutres droites, nous projetterons les sections des barres de contreventement sur le plan vertical médian; cette construction est faite dans l’épure n° 8.

Ces projections figurent dans les colonnes 2 et 3 du tableau n° 18.

Le coefficient de travail qui en résulte s’obtient en divisant l’effort tranchant par la projection de la section, et les résultats en sont inscrits dans les colonnes 3 et 0 du môme tableau.

Mais les contreventements ont aussi à supporter les efforts dus à la torsion, lesquels peuvent se déterminer comme suit:

Nous avons vu, au § 5, que le déplacement produit par un moment de torsion dans une des faces est égal à :

P As __ rM,. As

~~ E2(sin2[*cos pu) ~ “ 1 ~ EH(7'2 2(sin2pcosPü))’

nous en tirons la valeur de P, l’effort agissant dans cette face,

p __ r M< S (sin cos p m)

~~ 2 (r2 2 (sin 2(3 cos p «) *

C’est cette valeur qui a été calculée dans le* cas du vent sans surcharges donnant les maximums et qui figure clans le tableau n° 18. Nous remarquerons que nous avons admis que la section tourne autour du centre O de la section, c’est-à-dire que nous avons pris la môme valeur de r pour l’extrados et l’intrados, et, par suite aussi, que P est le môme dans ces deux systèmes.

Les coefficients de travail ont été obtenus en divisant l’effort P par la projection des sections qui a servi aussi à déterminer les coefficients dus aux efforts tranchants.

En ajoutant ces coefficients à ceux qui sont dus aux efforts tranchants, nous avons obtenu les coefficients totaux.

§11. — Calcul des coefficients de travail du treillis-.

Le travail du treillis est tout entier dû à la torsion qui y développe des efforts considérables bien plus importants que les effets des charges.

Ces efforts ont été déterminés par la même formule que pour les contreventements :

r Mt 2 (sin 2p cos — 2 (r2 2 (sin 2pcosp <»>))'

Les valeurs de P, ainsi que les coefficients qui en résultent, sont inscrits dans le tableau n° 19.

§ 12. — Détermination des moments de renversement.

Nous venons de déterminer le moment horizontal qui se produit aux naissances par suite de la flexion de l’arc sous l’action du vent.

Le moment vertical que développe cette action en ce même point, est le moment de renversement. C’est ce moment qui est donné aux colonnes 2 et 8 du tableau N° 16 pour la section 0.

Cas du vent avec surcharge :

Le moment horizontal est de :

5 049 544 — 325 386 = 4 724 158 qui donne sur chaque appui un effort de. . , . 236 208 kg

Le moment vertical de renversement est de. . 5 339 292

qui donne sur chaque appui un effort de ... . 266 964 kg

Or, pour chacune des deux fermes, la poussée horizontale est de (voir les tableaux Nos 3 et A) . 384 791 kg

La réaction verticale est la suivante :

Poids propre d’une demi-ferme de l’arc . 263 763 kg

Réaction des tabliers et des palées aux montants

VIII et IX . 67 918

Réaction au montant XII . 39 285

Total du poids propre. . . . 370 966 kg

Réaction provenant de la surcharge :

Aux montants VIII et IX . 66 131 kg

Au montant XII . 60 984

Total de la surcharge. . . . 127 115 kg

Réaction verticale totale,

498 081 kg

La rotule du côté du vent tend donc à être appuyée sur son appui par une force verticale de :

498 081 — 266 964 = 231 117 kg et par une force horizontale de :

384 791 — 236 208 = 148 583 kg.

En somme, malgré l’effort du vent, l’arc tendra toujours à être appliqué sur son coussinet par une résultante de . 274 750 kg.

Cas du vent sans surcharge.

Nous avons pris pour moment horizontal la valeur de 5 660 160,

qui donne un effort sur chaque appui de . 283 008 kg

Le moment vertical de renversement est inscrit sur la colonne 2

du tableau 16 et est de . 7 960 244

qui donne sur chaque appui un effort vertical de. 398 012 kg Or, pour chacune des deux fermes la poussée horizontale est

de (voir tableau n° 3) . 263 435 kg

La réaction verticale est celle qui est due au poids propre et qui a été déterminée, dans le cas précédent, à. . . 370 966 kg

La rotule du côté du vent tend donc à être séparée de son appui par une force horizontale de :

283 008 — 263 435 = 19 573 kg et par un effort vertical de :

398 012 — 370 966 = 27 046 kg.

L’arc tendra à être séparé de ses appuis par un effort de traction de 33 380 kg, qui sera l’effort que subiront les tirants d’amarrage.

§ 13. — Calcul des appuis sous l’influence du vent et des charges.

Les rotules situées du côté opposé au vent auront à résister à la somme des efforts dont nous avons considéré les différences pour les rotules situées du côté du vent.

Dans le cas du vent sans surcharge :

l’effort horizontal est de :

384 791 + 236 208 = 620 999 kg; l’effort vertical de :

498 081 + 266 964 = 765 045 kg dont la résultante est de . 985 400 kg.

Cette dernière réaction est la réaction maxima que la maçonnerie peut avoir à supporter.

La plaque d’appui ayant une surface de 1,800 m X 4,400 m — 25 200 cm2, la pression qui se produira sous cette plaque sera

__ 40 fcg par centimètre carré, pression qui est acceptable pour la pierre extrêmement dure qui sera employée (pierre d’Étables).

La surface de la maçonnerie au-dessous de cette pierre de taille, c’est-à-dire à la tête de la maçonnerie courante de l’éperon, est de 2,400 m x 3,300 m, soit 79 200 cm2, ce qui donne 12 kg par centimètre carré, chiffre parfaitement admissible pour des maçonneries soignées.

Quant à l’appui en fonte, nous admettrons que le contact de la rotule sur le coussinet a lieu sur les 2/3 de sa surface. La largeur de la partie alésée du coussinet étant de 0,50 m et sa longueur de 0,70 m, la surface normale de l’effort sera de 350000 mm2, dont les 2/3 représentent 233 000 mm2.

Le coefficient de travail correspondant à la charge de 985 400 kg est seulement de 4,20 kg et pourrait être notablement augmenté sans aucun inconvénient.

Pour le support du coussinet, nous admettrons que les trois nervures placées directement au-dessous sont seules intéressées. Leur épaisseur cumulée est de :

et leur longueur 1 m.

La surface est de . 410 000 mm2,

ce qui donne un coefficient de . 2,40 kg

par millimètre carré, coefficient qui, pour un effort décompression, dans des pièces aussi courtes, est très faible.