SA

le rapport des pressions est renversé.

On remarquera l'analogie qu*il y a entre la question qui nous occupe et celle du ressaut varié (66). Comme dans le ressaut varié, f)n ne peut pas se donner arbitrairement les accroissements finis des deux fonctions inconnues ; on peut se donner Aw, maison doit déterminer convenablement le rapport des pressions. Dans le ressaut varié, nous avons trouvé deux valeurs de la vitesse de l'onde ; nous trouvons ici deux lignes de propagation de la discontinuité finie. Dans les deux cas, le choix de la solution est imposé par les conditions initiales.

160. Formules. — Reprenons, pour fixer les idées, le cas de l'augmentation de pression de gauche à droite et proposons-nous de calculer le rapport des pressions au point M. Nous avons trouvé

p SB

nous avons aussi

Su == oD'o' -- -^^^ = BCI = AGI.

Dans les triangles ASC et BSC, on peut écrire les proportions

sm SA

AC sm /

sin (^ — i -T Su)

AC sin t

On en déduit le rapport SA : SB, et par suite

p^ cos (^ — Su)

p " cos {i -\- Au)

Il nous reste à (calculer l'angle i. Dans le triangle ASC, on a :

"se

sin i

cos Au

or, on a aussi

= sm » ;

on a donc :

sin i = sin ^ cos Au (48).

On peut vérifier que les formules (47) et (48) sont générales, si on tient compte des signes de i et de àic.

Dans la solution MN', c'est la caractéristique du second système ([ui présente une déviation angulaire Au en passant de gauche <â droite de N'M ; Tangle échange de signe; la formule (47) est toujours applicable, mais la formule (48) devient

sin * ^ — sin o cos Au (49).

Nous pouvons aussi déterminer la ligne de discontinuité M N en (Calculant les angles ,3 et ,3' qu'elle fait avec les deux caractéristiques M R et M R'. Si nous mesurons les angles par les arcs correspondants de répure circulaire, on a

3 = D'oA = 4" ^''C ^'À' 3' « Bo'D' -= ~- arc Bl)'.

On en déduit :

.3 + ?' = Au (50),

[i - ?' = cp - i (51).

1(51. Discontinaité évanouissante» — Donnons-nous encore les fonctions p et u le long d'une ligne OML (fig. 103), supposons que (îM et ML déterminent deux solutions régulières GMR et MKL, mais,

contrairement à ce qui précède, suppo- ^ sons que c'est en se déplaçant de droite L M j;i vers gauche (jue l'on obtient un Airtposi-

tif; les caractéristiques MR et MK forment alors un angle

RMlv -- 2^^ f Au.

Construisons une solution pseudo- (îonoïde RMR', sur MR et M, telle que

l^'ig. 103.

RMR' -- ^n.

— ti7.^ —

Nous pouvons alors coustruire -une solution ordinaire sur les caractéristiques MR' et MK qui Ibrinent un an^^le égal à %<i. Le point M est la projection d'une caractéristique du second système ; la pression p sur M R et la pression jo' sur M K' satisfont à la relation

Nous aurions pu construire la solution pseudo-conoïde KMK' ; le point M est alors la projection d'une caractéristique du premier système, et l'on a

Nous écarterons cette solution en nous imposant une chute de pression.

Mais une autre ambiguïté apparaît ; nous pouvons remplacer la solution pseudo-conoïde RMR' par une ligne de discontinuité finie MN ; nous pouvons même poser

^u = u' — H -=- (?/,, — n) + (u^ — ff'J +

et obtenir n discontinuités finies. Toutes ces solutions sont physiquement possibles. Nous allons démontrer que, parmi toutes ces sohitions, c'est la solution pseudo-conoïde qui donne la plus grande chut^ de pression.

Remplaçons l'équation (47) par une équation différentielle ; à cet effet, faisons varier n/ ou au; supposons que i est déterminé pour chaque valeur de ii' par l'équation (49) ; on trouve, en prenant les différentielles logarithmiques des deux membres de Téquation (47) (»t en réduisant ensuite le second membre au même dénominateur,

dp' sin 2 Au . di + sin 2i . du'

p' cos* Au — sin* i

En difîérentiant l'équation (49), on obtient :

cos i di =^ — sin cp sin Au du'.

Cette équation permet d'éliminer di de la précédente ; on trouve, en utilisant l'équation (49) et en effectuant quelques réductions,

-J-- -- 2 taug i du'.

Cette équation est applicabte au cas de n discontinuités finies ; pour la preniiépe discontinuité, on fera varier n' de u à ?^. ; pour la seconde^discontinuité, on fera varier u' de u, à u, et l'on prendra

sin i = — sin z> cos (w' — %,)

et ainsi de suite. Or, la valeur absolue de rang:le i est toujours plus petite que Tangle «p ; on a donc

^ > — 2 tang » du\

P En intégrant de i^ à u\ on trouve

log ■^-- > — 2 lie tang z,

ou bien

f ^ ,, — 2 i\u . tang cj

Cela démontre que la pression p' que Ton obtient par une ou n discontinuités finies est plus grande que celle que Ton obtient par la solution pseudo-conoïde, c'est donc cette dernière qui donne la plus grande chute de pression.

Signalons en passant que les résultats précédents peuvent être mis sous la forme d'un théorème d'analyse. On pose

sin î = — sin G cos \ii ;

on a

u' cos {i — Au) -« 2 (71 ~ u') tang cp

tù cos (^ -K Au)

Le premier membre de cette dernière inégalité représente un produit de termes dont un seul est écrit ; le signe d'inégalité devient un signe d'égalité quand tous les An convergent vers zéro.

Je dis maintenant que parmi toutes ces solutions possibles, la solution pseudo-conoïde est la solution stable. En effet, nous pouvons supprimer la discontinuité en M, en modifiant infiniment peu les conditions initifiles ; il suffit de supposer que les fonctions varient

très rapidement sur une longueur infiniment petite, voisine du point M. On rend ainsi impossible les solutions discontinues ; il en résultt^ que ces solutions sont instables. Il faut du reste remarquer que la discontinuité brusque n'existera pas en fait : si, par exemple, le profil d'un mur est polygonal, langle n subit en chaque sommet un accroissement brusque ; mais, en pratique, Taréte vive sera plus ou moins arrondie et la solution continue s'impose si elle est physiqiioment possible.

Nous aurions pu expliquer de la manière suivante pourquoi la solution qui se produit est précisément celle qui donne la plus grande chute de pression. Supposons un massif de terre limité par GM et reposant sur un mur de soutènement MR'. Nous devons chercher la solution déterminée par la caractéristique MR et admettant le mur comme contour apparent. Au point M, la direction de la caractéristique du second système varie brusquement de MR à MR' ; cela revient à se donner un accroissement fini, Au, mais la variation de la pression est une inconnue du problème. Nous avons trouvé une infinité d'équilibres limites; on i)eut admettre comme évident que si la résistance diminue insensiblement, les terres finiront par adopter l'état d'équilibre qui est le i)lus favorable à la stabilité du mur et qui constitue le véritable équilibre limite précédant l'éboulement des terres. Cependant cette démonstration n'est pas complète ; elle revient à appliquer le principe de moindre résistance de Moseiey ; ce principe n'est pas démontré, il n'est même pas énoncé d'une manière précise.

Les mêmes considérations s'appliquent à la butée des terres ; c'est encore la solution continue, quand elle est possible, qui a la priorité ; mais elle ne donne plus la moindre mais la plus grande résistance.

162. Construction de la ligne de discontinuité. — Reprenons le cas d'une ligne de discontinuité finie MN (fi^. 102).

Nous avons montré comment on détermine la tangente au premier point; nous devons indiquer comment on peut tracer approximati- A'ement la courbe. Si d'abord nous négligeons les petites quantités du second ordre, nous pouvons appliquer la même méthode que celle qui nous a permis do déterminer la marche d'une onde finie {Tl\ Remplaçons un petit arc de la courbe inconnue par sa tangente MN ; la ligne de discontinuité doit être tracée dans la solution GRM complètement connue et dont elle enlève une partie. Au point N on connaît p eluk gauche de la ligne NM ; on en déduit une relation entre les fonctions p\ u^ au même point N dans la solution inconnue ; c'est la relation qui résulte des équations (47) et (48). Tirons la

cariicLêristi(|ue PsK en lu reinplarant jnir sa taii^^eiUo en F dont la direction est connue ; en suivant la caractéristique FN nous trouvons une seconde relation entre p' et it\ Cela permet de calculer ces quantités. On en déduit une nouvelle tangente au point N de la ligne de discontinuité à laquelle on applique la même méthode et ainsi de suite. Au degré d'approximation que nous avons admis, les deux équations à résoudre peuvent être considérées comme linéaires et le point (;?', id) de l'épure des pressions se trouvera à l'intersection de deux droites ; on sait comment on trace la droite qui représente réquation de la caractéristique (117) ; pour ce qui concerne l'équation (47) on se donne deux valeurs de ?/' et l'on trouve deux points que l'on joint par une droite. On peut perfectionner les opérations en remplaçant les arcs MN et FN par des cordes auxquelles on donne des directions moyennes entre celles des tangentes extrêmes.

On peut aussi remplacer les arcs de courbes par deux tangentes égales ou approximativement égales, comme nous l'avons fait déjà pour les caractéristiques ill8). On donne à l'arc MN une certaine courbure ; on pourra se rapprocher de la courbure véritable en s'inspirant des résultats acquis ou en appliquant la première méthode. On peut alors déterminer p' et n! par l'épure circulaire ; on commit, en effet, au point N, la direction de la ligne de discontinuité et de l'une des caractéristiques : on peut en déduire le nouveau pôle des facettes et le rapport des pressions. On trace alors la caractéristique NF dont on connait les directions des tangentes extrêmes et en suivant cette caractéristique en partant de F, on doit retrouver en N la même valeur de ;/ que celle que l'on a déjà obtenue. Généralement on trouvera deux valeurs dilférentes ; en prenant une courbure un peu différente pour MN, les points (p\ tC) décriront deux courbes qui par leur intersection détermineront les valeurs (cherchées. On pourra toujours se placer assez prés des valeurs inconnues pour que ces courbes puissent être remplacées par deux droites.

163. FonnaHon d'ane discontinuité finie, — On provoque la formation d'une ligne de discontinuité finie en créant cette discontinuité à la surface qui limite le massif de terre ; c'est ce que nous avons supposé précédemment. Mais une ligne de discontinuité finie peut aussi se produire dans une solution continue et même régulière ; il suffit pour cela que les caractéristiques d'un système enveloppent une courbe. Reprenons l'exemple du numéro 120 (fig. 80). Les caractéristiques du second système enveloppent une courbe dont le point le plus élevé S est un point de rebroussement ; les deux braniîbes de cette courbe forment deux contours ai)pa!'ents ; la

-2tl-

siirface qui représente les pressions se compose de trois nappes : une nappe supérieure venant de droite, une nappe inférieure venant de gauche, une nappe intermédiaire limitée par le contour apparent. Cette solution continue est physiquement impossible ; nous devons y substituer une solution à deux nappes séparées par une discontinuité finie.

Nous reprenons (fig. 104) la caractéristique du premier système EFGHK que nous empruntons à la figure 80 ; EY est une caracté-

Fig. 104.

ristique rectiligne du second système; KX est un axe de symétrie. Au lieu de tracer la caractéristique LMNPR, comme nous Tavons fait dans la figure 80, en nous donnant arbitrairement EL, nous prendrons un sdgment plus petit El de manière que la caractéristique passe par le point le plus haut S du contour apparent. Voici comment on peut arriver à ce résultat : la figure 80 permet de déterminer plus ou moins exactement ce point de rebroussement S et de trouver le nouveau segment El qu'il faut choisir. Les propriétés suivantes permettent de reconnaître si la caractéristique passe au-dessus ou au-dessous du point S.

La caractéristique qui passe au-dessous de S présente deux points de rebroussement ; en ces points, l'équation difi^rentielle de la caractéristique se réduit à

dp = 2p tang ^ du ,

car la courbure étant infinie, on a :

Sur répure des pressions, la courbe qui correspond à cette caractéristi-que ne présente pas de points singuliers ; aux points qui correspondent aux points de rebroussement, on- a :

=- 2 tang cp

pdu

équation qui exprime que la courbe (p, u) touche une des spirales de la famille

p ^Ce^''^ ^*°»?

ou forme avec le rayon vecteur un angle dont la cotangente est le double de la tangente de l'angle du frottement. Les points de rebroussemenis divisent la caractéristique en trois segments ; dans le premier et le troisième, on a :

dp = 2p tang (f du -\- H dy^, dp

la courbe (/>, ic) Ibrino avec ses rayons vecteurs un angle plus petit que les spirales. Dans le second segment, on a :

dp,

--3 — < me

pdu

< 2 tang cp ;

la courbe (p, u) forme avec ses rayons vecteurs un angle plus grand que les spirales ; cet angle passe par un maximum.

Lorsque la caractéristique passe au-dessus de S, on a toujours :

> 2 tang p ;

pdu

la courbe fait toujours avec ses rayons vecteurs un angle plus petit que les spirales.

On peut aussi construire la courbe (y, u) en projetant les points de la caractéristique sur les rayons vecteurs correspondants de l'épure des pressions. Nous avons représenté cette courbe sur la figure 104 par un trait pointillé marqué par :

la caractéristique est marquée par :

la courbe {p, u) par :

1 2 3 5 4 ft 5 6. ^

Pour une caractéristique passant au-dessous de S, on trouverait deux points de rebroussement où Ton aurait :

la courbe (p, u) a deux tangentes horizontales ; y passe par un minimum et un maximum. Pour une caractéristique passant par S, ces deux points se confondent en un seul ; on a une tangente horizontale inflexionnelle ; c'est ce que nous avons obtenu sur Tépure.

A partir de la caractéristique du premier système qui passe par le poiut S, le problème doit être posé autrement qu'au numéro 126. La solution déterminée par les caractéristiques IS et lY est conservée dans une certaine étendue comprise entre la caractéristique lY et une ligne de discontinuité SAC ; il s'agit de construire cette ligne et en môme temps de construire une solution sur la caractéristique S6 pouvant se raccorder à la solution précédente par cette discontinuité finie. Il faut deux fonctions arbitraires pour déterminer une solution ; si on se donnait la ligne de discontinuité SAC, on déterminerait immédiatement les fonctions peiu et la nouvelle solution serait complètement connue ; en laissant la ligne SAC indéterminée, on peut se donner une nouvelle fonction arbitraire ou se donnerfla caractéristique S6.

La ligne de discontinuité finie est le prolongement de la caractéristique du point S ; il est facile de démontrer qu'il y a contact entre ces deux courbes. En efl'et, au point S il n'y a pas encore de discontinuité finie ; en se déplaçant infiniment peu, on obtiendra d'abord une discontinuité au infiniment petite ; l'épure circulaire indique que dans ce cas la ligne de discontinuité forme un angle infiniment petit avec Tune des caractéristiques.

Donnons-nous la courbure de l'arc SA et remplaçons-le par deux tangentes égales. Nous connaissons le point A du plan, la caractéristique 7A qui passe par ce point et les courbes (p, u) et (y, u) qui correspondent à cette caractéristique. Projetons le point A en a' sur la courbe (y, u) ; nous trouvons immédiatement le point a de la courbe (p, ti) ; nous déterminons le pôle a de l'épure circulaire, en menant Da parallèlement au rayon vecteur Oa de l'épure des pressions. Il s'agit d'appliquer les constructions relatives à la discontinuité finie et de chercher, pour la nouvelle solution, les points qui correspondent au même point A dans les courbes (y, u) et (p, u) ainsi que dans l'épure circulaire. Nous désignons ces nouveaux points par des lettres grecques ; le point qui décrit la courbe (p, u) saute brusquement du point a au point a. ; le point qui décrit la courbe (y, te) saute brusquement du point a' au point a' ; enfin le pôle de l'épure circulaire saute brusquement du point a au point a. Menons dans l'épure circulaire aM parallèlement à la tangente en A à la ligne de discontinuité ; tirons la droite RNM et portons l'arc NM en aa. Les prossions p' et p du point A sont unies par la relation

p' RN

p RM

les directions des nouvelles caractéristiques sont données par le

pôle a. Menons Ox parallèlement à la droite Da de l'épure circulaire ; nous déterminerons le point a de la courbe (p, u) par la proportion

Oa RN

Oa RM

Nous pouvons alors tracer l'arc AB en le remplaçant par deux tangentes égales ; la tangente en A est parallèle à la droite aD' de l'épure circulaire, la tangente en B est parallèle à Ob^ le point b étant déduit du point B au moyen du point V de la courbe (y, u). Si la courbure donnée à l'arc SA est la courbure juste, on pourra déduire le point b du point a par l'intégration graphique de l'équation de la caractéristique AB. Nous ne trouverons pas évidemment cette solution par un premier essai ; nous trouverons d'abord deux fausses positions du point a et deux fausses positions du point b ; enjoignant ces deux dernières par une droite, nous déterminerons la position juste du point b sur la courbe {p, ti) déjà tracée ; nous en déduirons la position juste du point a par une interpolation proportionnelle ; on vérifiera enfin les opérations par la construction définitive.

Connaissant la caractéristique BA et la caractéristique B6, on construit la caractéristique A 8 9 10 par la méthode générale ; la courbe (y, u) qui y correspond est

le point d'inflexion 5' de la courbe précédente n'existe plus ; il est remplacé par une lacune a' a! qui correspond à la lacune a a de la courbe {p, u).

La même méthode permet de construire l'arc AC de la ligne de discontinuité et la caractéristique du premier système qui passe par C ; la courbure de la ligne de discontinuité devient insensible ; les pôles c et 7 relatifs au point C diffèrent à peine des pôles relatifs au point A.

On continuerait le tracé de la ligne de discontinuité par le même procédé ; elle finit par couper la caractéristique EY et^ enlever une partie de la solution linéaire.

164. Discontinnité double. — Donnons-nous les fonctions peiu sur une ligne BAC {f\g, 10.5) ; nous supposons que la^'ligne BA com-

mande une solution régulière ABD, que la ligne AC commande une

solution régulière AEC, mais qu'en passant, au point A, de la première à la seconde solution, les fonctions petu subissent des accroissements finis choisis arbitrairement et ne satisfaisant pas à la condition nécessaire pour obtenir une discontinuité simple.

Nous satisferons aux conditions du problème en imaginant une solution continue auxiliaire et en reliant cette solution auxiliaire aux .deux autres par deux solutions pseudo-conoïdes.

Soient respectivement (p, ?/.), (/?', u') les valeurs des fonctions inconnues au point A pour la solution ADB et la solution ACE ; soient (p", u") les valeurs de ces fonctions au point A de la solution auxiliaire. Nous posons :

a =- DAF -= u'' — u, fJ = HAE ^u' — u\ Ces deux inconnues satisfont d'abord à Téquation

On a ensuite dans les deux solutions pseudo-conoïdes :

Fig. 105.

log

— 2 a tang cp.

= 2 p tang 7).

D'où l'on tire une deuxième équation entre les deux inconnues

log

2 (P — a) tang ©.

En résolvant ces deux équations, on obtient :

log

A tang « P'

log

4 tang tp

La première solutiou pseudo-conoïde est déterminée par la caractéristique AD et la caractéristique projetée en A; on peut construire la caractéristique AF. La seconde solution pseudo-conoïde est déterminée par la caractéristique AE et la caractéristique projetée en A ; on peut construire AH. On construira ensuite une solution ordinaire sur les caractéristiques AF et AH, et le problème sera résolu.

Il faut cependant, pour que la solution théorique soit physiquement possible, que les angles a et ^ soient positifs ; il faut pour cela que Ton ait

— 2 Aw tang ? < log S— < 2 au tang a..

On déduit de ces inégalités que l'angle Au doit être positif et que le rapport des pressions doit être compris entre les deux valeurs

± 2 At^.tang (p

Ces deux valeurs sont inverses Tune de l'autre; il doit en être ainsi cai* on passe du cas de la plus grande chute de pression à celui de la grande augmentation en se déplaçant dans l'autre sens.

Pour la plus grande chute de pression, on a

p' log -^ ^ — 2 Aw.tang ©.

a =« Au,

Supposons que la pression p' diminue encore ; on a :

log — < — 2 A?^.tang f, P

a > lu,

On a alors la dis])osition de la figure 106 ; l'espace EAH est

occupé par trois solutions diflTérentes ; il faut remplacer la seconde solution pseudo-conqïde par une discontinuité finie. On a alors :

log

= — 2 {u" — u) tang <p

cos (i — u" 4- u') coB (i -|~ u" — u!)

sin i ^ sin <p cos {u" — u')

En éliminant/?" et i, on trouve une équation transcendante en u" ;

il vaut mieux utiliser Tépure des pressions et Tépure circulaire.

En} partant du point (p, u) on trouve que le point (p", u") est sur une spirale logarithmique ; en partant du point (p', u'), on trouve que le point (p", m") est sur une courbe que Ton construit par points en se donnant différentes valeurs de u" ; le point (p", w") se trouve à l'intersection de deux courbes. On peut se demander si Ton peut faire décroître p' indéfiniment.Supposons que u" varie ainsi quep' etp" ;

différentions les équations précédentes ; nous reproduirons par la

seconde équation des calculs analogues à ceux du numéro 161 ; nous

trouverons

Fig. Î06.

dp'

== — 2 tang <p du".

dp"

2 tang i dv!\

=- — 2 (tang <jp + tang i) du".

La fonction p' est indéfiniment décroissante ; mais il faut remarquer que la ligne de discontinuité tourne] avec AH et finira par sortir des Umites du massif.

Lorsque Tangle Aw est négatif, l'un des angles a ou ? est toujours

négatif; il y a donc toujours une discontinuité finie. Il peut aussi y en avoir deux. On a alors la disposition de la figure 107 ; les formules deviennent :

cos (i' — u" + u')

cos (i' + w" — u')

cos (i — w" 4" «0

cos (i + u" — u)

sin i' =

= sin <p cos (w" — w')

sin i —

— sin © cos (m" — îc)

En éliminant p", t, i', on trouve une équation transcendante en w" ;

il vaut mieux utiliser répure des pressions et répure circulaire.

On trouve le point (p", u") à l'intersection de deux courbes que Ton construit par points. Il peut être utile de remarquer que dans le cas de deux solu ti ons pseudo-conoïdes et dans le cas de deux discontinuités finies, la valeur de w" est comprise entre les valeurs ti et u', tandis que la pression p" est plus petite ou plus grande que les deux autres pressions. L'inverse se présente quand il y a une discontinuité finie et une solution pseudo - co noïde.

Fig. 107.

165. Propagation d'une discontinuité dotible. — Lorsque la discontinuité double ne donne naissance qu'à une seule ligne de discontinuité finie, on construit d'abord la solution pseudo-conoïde et l'on trace la ligne de discontinuité finie par la méthode exposée au

numéro 162. Le problème devient plus compliqué lorsque la discontinuité double donne naissance à deux lignes de discontinuité finie AX et AY (ûg, 108). Remarquons tout d'abord que ces lignes doivent être tracées dans deux solutions complètement connues et dont elles enlèvent une partie. La solution auxiliaire comprise entre ces lignes n*est pas déterminée par deux fonctions arbitraires, mais par deux conditions qui les remplacent. Si on st^ donnait la ligne AX,

soit une fonction arbitraire, la solution, auxiliaire serait complètement déterminée ; donc toutes les solutions qui peuvent être reliées à une solution connue par une discontinuité finie dépendent d'une seule fonction arbitraire ; elles sont dans les mêmes conditions que si Ton donnait une des deux fonctions arbitraires qui déterminent la solution la plus générale. La solution auxiliaire doit pouvoir être reliée à deux solutionsconnues par deux lignesde discontinuité finie ; elle est donc déterminée par deux conditions équivalentes à deux fonctions arbitraires.

Supposons le problème résolu et soient BC, CI), DE, etc., des caractéristiques alternativement du premier et du second système ; nous allons montrer comment on détermine les points BCD du plan et leurs correspondants de l'épure de pression ; nous

montrerons ensuite comment on détermine le point E et les autres

points des lignes de discontinuité.

Négligeons d'abord les petites quantités d'ordre supérieur au premier. On peut tracer la figure ABCD en remplaçant les lignes de discontinuité et les caractéristiques par des droites dont les directions seront prises au point A.Désignons par a, b, c, d, les points de l'épure des pressions qui correspondent aux points A, B, C, D ; cette épure n'est pas représentée. Le point a est connu ; les points ô, c, d se trouvent sur des lignes presque droites que l'on obtient par la construction relative à la discontinuité ; au degré d'approximation que nous avons admis, les trois points a, b, rf,sont en ligne droite et forment une ponctuelle semblable à la droite ABD ; il sufiît de tracer la ligne décrite par le point d ; le point b décrit une parallèle * k cette ligne. Donnons-nous la droite abd comme fausse position ; nous trouverons le point c k l'iiiterstK'tion des droites qui repré-

sentent les équations différentielles des caractéristiques BC et DC ; mais, en général, ce sera une fausse position du point c qui ne se trouvera pas sur la ligne des positions du point c qui résultent des lois de la discontinuité finie. En faisant varier la direction de la droite abd, la fausse position du point c décrira une| seconde ligne qui déterminera la vraie position de ce point. 11 sera nécessaire de perfectionner la construction par la méthode dçs moyennes.

On obtiendra une exactitude plus grande en tenant compte directement des quantités du second ordre. Donnons-nous, comme fausse position double, les courbures des arcs AD et AG : on peut déterminer les fonctions inconnues le long de ces arcs et tracer les caractéristiques DC et CB en les remplaçant par deux tangentes égales dont les directions dépendent de la fonction u ; on connait alors les points a, ô, c, d de l'épure des pressions. Partons alors des points B et D des deux épures ; appliquons la méthode générale ; nous trouverons un nouveau point (C, c') à l'intersection des caractéristiques BC et DC'. Les points c et c' sont deux fausses positions d'un même point ; on obtiendra la vraie position en faisant varier les deux courbures, données arbitrairement aux lignes de discontinuité, jusqu'à ce que les deux positions coïncident.

Soient : c (fig. 109) )a position

K/^ ~ ~ > > '" juste, (m, m') (n, n') (p, p') trois

/\ /Jr^'v fausses positions. Nous supposons

/ ^ .^i\ / ^v ces trois fausses positions assez

/^^^^ / Y ^^ voisines de la position juste pour

^ \ / \ /[ A ^^ pour admettre que les vecteurs

\x. VL.- -^4> - ^^ y cm et cm' sont des fonctions

,,• / Ny' '\ / \ y^ linéaires des erreurs commises

\ — '^'C~-A'^— ^^ ^^^ ^'^ courbures ; il en résulte

\ / \ 7 fC que les coordonnées des points

\ / ^ ' " ^ m et m' satisfont à deux équa-

^ /'^ - ' " tions linéaires ; les coordonnées

'^ des points n et n' et celles des

Fig. 109. points p et p' satisfont à la même

relation ; les figures mnp et m'n'p' sont donc des figures affines et le point cherché c est le point double de l'afifinité.

Il est facile de démontrer que si l'on a deux figures correspondantes, on en obtiendra deux autres par une homothétie en prenant le point c comme centre de similitude et en adoptant un rapport de similitude quelconque. En effet, on a ;

on en déduit

Appliquons cette remarque aux droites mn et ?w'n' qui se correspondent ; nous trouverons deux systèmes de droites parallèles qui se correspondent et le point d'intersection a décrit une droite passant par c. Menons par p et p' deux droites respectivement parallèles à mn et à m'n' ; nous trouverons un second point a' de cette droite. Appliquons le même raisonnement aux deux autres côtés des triangles correspondants ; nous trouverons le point c . à l'intersection des trois droites « a', p P', y y'. Il en résulte aussi un théorème de géométrie que Ton peut étendre à Tespace à trois dimensions ; connaissant deux tétraèdres qui se correspondent dans une affinité, on trouve le point double à l'intersection de quatre plans.

Le point c est aussi le point qui satisfait à la condition mnc • npc p^nc

Cela résulte de ce que les centres des masses se correspondent dans une affinité, quand les masses des points correspondants ^ont égales oujdans un rapport constant ; cette propriété peut aussi s'étendre à l'espace.

Lorsque les premiers arcs AC et AD (flg. 108) des deux lignes de discontinuités sont déterminés, les arcs qui suivent s'obtiennent avec beaucoup plus de facilité. Ainsi, on trouvera l'arc CE en construisant la solution DCE déterminée par la caractéristique Cl) et une seule ligne de discontinuité ; on est ramené au problème du numéro 162. On construira ensuite la solution EDY, déterminée par la caractéristique DE et une ligne de discontinuité, et ainsi de suite.

166. Formation (ïime discontinuité doitble. — Nous avons obtenu une discontinuité double à la surface même du massif en y appliquant deux lois de pression différentes.

On peut se demander si une discontinuité double peut se produire au sein d'un massif de terre dans une solution continue. Reprenons la figure 107 ; au-dessous de la ligne CAB, nous avons obtenu deux lignes de discontinuité finie ; supposons que le massif se prolonge vers le haut et déterminons l'état d'équilibre de la partie supérieure en appliquant la méthode générale.

On reconnaît immédiatement, qu'au-dessus de la ligne CAB, les solutions pseudo-conoïdes sont physiquement possibles et que l'on peut construire une solution continue avec une surface libre ne présentant aucune dis(*.ontinuité apparente. En se donnant cette surface libre, on obtiendra donc deux solutions pseudo-conoïdes.

ayant un foyer commun A, qui se transforment brusquement en deux discontinuités finies. Nous avons appelé (/>", u") les valeurs des fonctions inconnues au point A pour la solution auxiliaire comprise entre les deux lignes de discontinuité et située au-dessous du point A ; en passant de la solution {p, ti) h la solution (;/', ?^"i, la caractéristique du second système subit une déviation brusque qui correspond à un accroissement négatif de ti; on a donc

En passant de la solution {p'\ u"} k {p\ u'), c'est la caractéristique du premier système qui est déviée dans le sens qui correspond à un accroissement négatif de ^^ ; on a donc

Pour le massif supérieur, on doit recommencer les calculs et Ton trouvera, pour la solution intermédiaire, les valeurs ip'" u"') au point A. En examinant le sens de la déviation des caractéristiques dans les solutions pseudo-conoïdes, on trouve

En résumé, les lignes BA et AG déterminent deux solutions régulières qui régnent au-dessus et au-dessous de ces lignes ; elles sont séparées par deux solutions auxiliaires différentes ; celle qui règne au-dessus du point A correspond à une dépression, celle qui règne au-dessous de ce point correspond à une surpression.

Au-dessus du point A, la solution intermédiaire est reliée aux deux solutions ordinaires par deux solutions pseudo-conoïdes ; mais cette disposition n'est pas la seule que Ton peut admettre ; on peut, en effet, remplacer ces solutions pseudo-conoïdes par deux lignes de discontinuité finie AN' et AM'. Le problème devient alors indéterminé; on peut, dans une certaine mesure, se donner arbitrairement les caractéristiques AF' et AE' et même les solutions F'AM' et E'AN' ; les solutions M' AD' et N'AH' seront déterminées chacune par deux conditions. On pourrait aussi remplacer chacune de ces solutions pseudo-conoïdes par plusieurs discontinuités finies.

Nous avons montré précédemment que la solution continue physiquement possible a la priorité sur la solution discontinue ; si la surface limite du massif était réellement BAC, si le massif était situé

— ÔÎK) —

au-dessus de cette surface et s'étendait jusqu'à une paroi supérieure, on pourrait substituer, aux accroissements discontinus des fonctions inconnues, des accroissements continus sur une longueur très petite voisine du point A et montrer l'instabilité de la solution discontinue. Mais le problème n est pas posé de cette manière ; la surface BAC est une surface idéale, la surface limite est au-dessus ; elle peut être une surface libre ou une surface soumise à certaines pressions ; dans ce cas, la solution est stable lorsqu'elle varie infiniment peu pour une variation infiniment petite des conditions limites ; on reconnaît facilement que toutes les solutions obtenues plus haut sont stables ; ainsi, par exemple, la discontinuité N'A est stable, car si on substitue en N' une variation rapide à la variation discontinue, les caractéristiques du second système .se coupent, déterminent une enveloppe, ce qui démontre que la discontinuité finie se produit un peu plus bas. Parmi toutes ces solutions stables, il y en a cependant qui sont peu probables ; la solution continue exige que la surface libre soit calculée de telle manière que les caractéristiques convergent en deux foyers coïncidants ; il est infiniment peu probable qu'elle soit Jamais réalisée. La solution qui peut se présenter effectivement est l'intersection de deux lignes de discontinuité finie N'AN et M'AM en un point A. Il nous sera facile de démontrer que les accroissements de u et les rapports des pressions se propagent sans altération au-delà du point d'intersection, mais que les lignes de discontinuité sont déviées comme les caractéristiques.

En effet, nous avons trouvé au-dessous du point A :

Nous satisferons aux conditions du problème en prenant au-dessus du point A

car les rapports des pressions sur une ligne de discontinuité ne dépendent que de l'accroissement de l'angle u, nous conservons le même rapport sur N'AN et le même rapport sur M'AM ; nous avons donc au-dessus du point A, les pressions

n^ p - p -^^ P jj — P'

La déviation des lignes de discontinuités est rendue évidente par l'épure circulaire (fig. 107). Soient : o, o', o" et o'" les pôles qui correspondent aux valeurs u, u\ a", u"' ; les angles a et ? sont représentés par des angles inscrits dans la circonférence et ont pour mesure la moitié de Tare compris entre les côtés ; on a donc

Les points o" et o'" sont donc symétriquement placés par rapport au milieu de l'arc oo'. Suivons, par exemple, la direction de la ligne de discontinuité de seconde espèce ou N'AN ; la direction du côté N'A est donnée par o'"B' ; celle de AN est donnée par o"A' ou o'B' ; Vangle de ces deux côtés a donc pour mesure la moitié de Tare de o"'o' ; il est égal à a.

Reprenons la disposition de la figure 105 ; nous avons obtenu deux solutions pseudo-conoïdes au-dessous de la surface BAC ; on pourrait les remplacer par deux discontinuités flnies, mais on obtiendrait ainsi une solution instable. Construisons l'état d'équilibre d'un massif supérieur à la surface BAC ; on reconnaît facilement que les solutions pseudo-conoï4es sont physiquement impossibles, qu'il faut les remplacer par deux lignes de discontinuité finie et que les solutions partielles qui forment la solution du problème sont complètement déterminées. Mais si la surface BAC est une surface idéale, si le massif est limité par une surface supérieure libre ou pressée, la solution que nous venons de construire est instable, car il suturait de transformer la discontinuité finie en variation rapide mais continue, pour obtenir une solution continue. Il n'est donc pas possible de réaliser par un massif supérieur les pressions qui donneraient naissance à la disposition de la figure 105.

Entre les dispositions des figures 105 et 107, il existe un grand nombre de dispositions intermédiaires. Pour les déduire de la figure 107, nous ferons décroître le rapport p' à p en diminuant l'angle a et en augmentant p de la même quantité ; quand l'angle a sera égal à zéro, nous aurons une discontinuité simple. Au-dessus du point A, on peut prolonger cette discontinuité ou la remplacer par une solution pseudo-conoïde ; mais comme cette dernière réalise un plus grand rapport de pressions, il faut supposer deux solutions pseudo-conoïdes pour satisfaire exactement aux conditions du pro-

blême. Eu continuant à faire décroître le rapport des pressions, on trouvera une solution pseudo-conoïdè unique au-dessus de la surface BAC et l'on trouvera en dessous une discontinuité finie et une solution pseudo-couoïde de peu d'étendue. Ces solutions sont infiniment peu probables quand* on choisit arbitrairement une surface supérieure. Si la pression // continue à diminuer on trouve des dispositions impossibles à réaliser par un massif supérieur. En résumé, si Ton écarte les solutions impossibles et les solutions infiniment peu probables, on trouve que la discontinuité double ne peut être réalisée que par l'intersection de deux lignes de discontinuité simple.

167. Discontinuité à la surface libre, — Les considérations qui précédent ne s'appliquent pas à la surface libre, car un point de la surface libre où la pression est nulle, ne peut être le foyer d'une solution pseudo-conoïde ; à la surface libre, les solutions coniques ou pseudo-coniques remplacent les solutions pseudo-conoïdes. Nous avons vu précédemment (153) que si le profil du terrain présente un angle fini, on ramène la question au cas d'un angle rectiligne en appliquant le principe de similitude. Chacun • des côtés commande alors une solution linéaire et ces deux solutions linéaires sont réunies par une solution conique déterminées par deux caractéristiques. Si l'angle de ces deux caractéristiques est plus petit que l'angle ordinaire (126 et 151), la solution conique est à trois nappes ; la nappe principale, dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet, recouvre deux parties des solutions voisines ; ces deux parties sont recouvertes par trois nappes différentes. Cette solution continue est physiquement impossible ; il faut construire une nouvelle solution conique reliée aux deux solutions linéaires par deux lignes de discontinuité finie. On détermine ces lignes de discontinuité par la méthode des fausses positions ; on se donne arbitrairement les directions de ces deux droites et on raisonne comme au numéro 165. En continuant le tracé de ces deux lignes de discontinuité, on n'obtiendra pas exactement deux lignes droites, à cause des petites erreurs commises dans la déterminatioii des directions initiales, mais l'influence de ces erreurs va sans cesse eu diminuant, on trouve une solution asymptotique à la solution exacte (123).

Nous avons dit plus haut que les caractéristiques de la nappe principale de la solution conique théorique étaient convexes vers le sommet ; nous allons trouver qu'il en est de même de la solution conique nouvelle comprise entre les deux lignes de discontinuité. Nous démontrerons, dans ce but, le théorème suivant : toute ligne droite de discontinuité menée dans une solution linéaire détermine

une nappe de solution conique dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet.

Soient, figure 110 : UN la ligne de discontinuité, SA, SB, les rayons qui représentent la pression en N sur la facette de discontinuité. Les deux pôles o et o' s'obtiennent en menant Ao' et Bo parallèlement à MN ; nous supposons que le pôle o correspond à la droite de NM et le pôle o' à la gauche de NM. Nous savons que les pressions p et p' à droite et à gauche de NM satisfont à la proportion

Fig. 110.

on a donc

Nous pouvons aussi construire deux solutions linéaires fictives sur MN en adoptant les pôles o et o' ou les angles u et u' ; nous pouvons prendre MN égale à l'unité et alors les pressions q et q' au point N dans les deux solutions linéaires sont déterminées par la formule (50) du numéro 132. On a

siii e — sin cp sin {2u — 6) cos cp

On obtient q^ en remplaçant u par

w' -= w -j- Aw.

On en déduit

g' — g = — 2 n tang <p sin Aw cos [zu -(- Aw — 0).

Les angles u et w' sont les angles formés par les droites Do et Do' avec Taxe horizontal Sa? ; les angles 2m et 2u^ sont les angles formés par les droites lo et lo' avec le même axe horizontal ; on en conclut

que la bissectrice de l'angle olo' fait avec Taxe horizontal un angle

2ti -+-2U

^ = 2tt + Au

et avec MN un angle

A' = 2w + Aw — e.

Posons

A = BAo' = Ao'o ^ A' +

la différence des pressions devient

q' — q = — 2 n tang ç . sin au . sin A.

Donnons-nous l'angle i ou la direction de la droite SB ; nous obtiendrons toutes les positions du pôle o' en faisant varier l'angle" A de zéro à tt. Cela est vrai quel que soit i. On a donc

Il y a cependant une exception ; l'inégalité devient une égalité quand le pôle o' vient en B ; écartons provisoirement ce cas pour l'examiner plus loin. Des deux inégalités qui existent entre p et p' et g et q\ on déduit

Supposons que la solution linéaire régne à droite de NM, on a

l'inégalité précédente devient

On a donc à gauche de NM une solution à forte pression ; or, c'est une nappe de première espèce ; donc les caractéristiques sont convexes vers le sommet (134) et la nappe n'est pas limitée par une caractéristique mais par un contour apparent.

On arrive à la même conclusion, si l'on admet une solution linéaire à gauche de NM ; on a alors

On trouve à droite de NM une solution à faible pression ; or, c*est une nappe de seconde espèce ; donc les caractéristiques sont encore convexes vers le sommet et la nappe n'est pas limitée par une caractéristique mais par un contour apparent.

Examinons le cas d'exception ; le pôle o' est en B, le pôle o en A ; ' les talus des solutions linéaires sont parallèles à AB ; la ligne de discontinuité est aussi parallèle a AB, elle se confond donc avec le talus ; si Ton suppose la poussée des terres sous le talus, on trouvera une seconde solution linéaire qui est la butée des terres au-dessus du talus, mais elle disparait complètement si l'on écarte les pressions négatives. Le cas d'exception n'existe donc pas et tout ce que l'on peut déduire des considérations précédentes, c'est qu'en menant une ligne de discontinuité faisant un angle infiniment petit avec le talus d'une solution linéaire, on engendre une nappe à contours apparents qui tend à devenir une solution linéaire quand son étendue se réduit à zéro ; les deux solutions linéaires sont les deux solutions qui sont désignéesjpar la poussée et la butée des terres.

On déduit de là que la discontinuité à la surface libre est toujours une discontinuité double ; en effet, s'il y a une ligne de discontinuité, il se forme une nappe sans caractéristique qui ne peut être reliée à une autre solution linéaire que par une seconde ligne de discontinuité finie. Nous avons vu qu'on peut se donner les pressions sur une surface idéale et déterminer la surface libre du massif qui peut les engendrer ; s'il y a une discontinuité finie dans ces pressions, elle peut s'éteindre ou se prolonger jusqu'à la surface libre ; dans ce dernier cas, il se formera une seconde ligne de discontinuité qui sera en quelque sorte une réflexion de la première sur la surface libre.

f.es considérations qui précédent peuvent aussi s'appliquer au cas de deux solutions coniques quelconques reliées par une ligne droite de discontinuité. Le rapport des pressions p' et p dépend de Am ; on pourra toujours se donner- des pressions assez fortes pour avoir deux solutions à foi'tes pressions ; on a alors des caractéristiques convexes vers le sommet à gauche de NM et concaves à droite de NM. Si les pressions diminuent, les courbures diminuent, et quand on a

on a une solution linéaire à droite de NM et des caractéristiques convexes à gauche. Si les pressions continuent à diminuer, on obtient des caVactéristiqnes convexes à droite et à gauche de NM, jusqu'au moment où l'on a :

On a alors une solution linéaire à gauche de NM. Si on diminue encore les pressions, qu obtient deux solutions à làibles pressions ; les caractéristiques sont concaves à gauche de NM et convexes à droite.

Il existe enfin une relation approchée entre la solution théorique continue déterminée par deux caractéristiques et la solution discontinue .qui donne la solution du problème. Nous allons démontrer que si, dans une solution conique, on mène une ligne droite de discontinuité faisant un angle très petit avec Tune des caractéristiques rectilignes, on obtient une nouvelle solution conique qui diffère peu d'une solution construite sur cette caractéristique rectiligne.

Soient, figure 111 : MN la ligne de discontinuité, o le pôle de répure circulaire relative au point N pour la gauche de NM, o' le pôle de l'épure circulaire relative au même point N pour la droite de NM. Nous supposons que la ligne MN forme un angle très petit avec la caractéristique du second système ; cet angle p est représenté par AoT' ; on en conclut que Tangle p' ou Bo'T' est aussi très petit. Nous considérerons l'angle

Fig. m. Am= p + p'

comme une quantité très petite du premier ordre, et nous négligerons les quantités très petites d'ordre supérieur.

Nous avons trouvé (1(30)

sin i = sin <f cos Am ;

on en déduit

L'angle AST' est donc négligeable. On a aussi (160)

et par conséquent

At/

Le rapport des pressions est donné par la formule (47) qui est

p' cos (i — au)

p cos {i -\- Au)

et qui devient :

p'=p(l + 4 ? tang<p).

Si on suppose MN égal à l'unité, on peut écrire

g'^q{l + 4p tang cp).

Nous avons établi (136) des formules qui permettent de calculer les fonctions g, m, G dans les environs d'une caractéristique ; nous pouvons aussi résoudre le problème inverse : on donne g, u, Q ; on demande les valeurs Qo^ Uo, 0o qui correspondent à la caractéristique. La formule (58) du numéro 136 a été établie pour une caractéristique du premier système ; pour l'appliquer à une caractéristique du second système, il suffit de changer les signes de a et de n ; on a alors

n cos 4- g cos 2 a ^ (9 - Qo) -2q tang cp. (w - 7Q = ^^ (6 - 0o).

Nous avons supprimé l'indice zéro des coefficients, ce qui est permis à l'approximation que nous avons admise. Il nous faut deux nouvelles équations pour trouver les trois inconnues ; ce sont :

Wo + « — 9o = 0, qo=^U cos (9o — 2 a) == n cos [B — 2a—(9— 9o)].

Nous introduirons les différences en retranchant respectivement ces équations de :

Nous obtenons :

u^Uo = {Q—Bo) + P, (? — ?o) q — n cos (9 — 2a) — H (9 — 9o) sin (0 — 2a).

On trouve les trois différences par la résolution de trois équations linéaires ; on obtient

^^ ^^^ q^n cos (0 — 2a) -i- 2 g p tang 9 (0^- 9,) tang cp == 3^ ^ „ cos (0 - 2a)

Pour appliquer cette formule, à la solution engendrée par la discontinuité finie, on doit remplacer q par q' et ? par ?' ou ? pris en signe contraire ; on trouve que le numérateur ne change pas et que le dénominateur varie d'une quantité négligeable. On peut donc dire que 6 -^ 00 ne change pas à l'approximation admise ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut déduire de ce théorème que la solution conique qui s'appuie sur deux solutions linéaires par deux discontinuités finies diffère très peu de la nappe principale.de la solution théorique continue, lorsque l'angle des caractéristiques qui déterminent la solution intermédiaire diffère peu de l'angle ordinaire des caractéristiques de systèmes opposés.

168. Analogie av>ec le ressaut double, — Lorsque nous avons étudié la propagation d'une onde finie, nous avons rec(>nnu l'existence d'une relation obligée entre les vitesses à la base et au sommet de l'onde ; nous avons montré (67) que si cette relation n'existe pas, on se heurte w des impossibilités manifestes en admettant une onde unique. Cependant, on peut supposer qu'une discontinuité quelconque soit réalisée à l'instant t par un barrage et des manœuvres hypothétiques ; (on est en droit de se demander ce qu'il se passera dansjles instants suivants. Puisque l'onde unique est impossible, il faut en conclure qu'il se produira un phénomène plus compliqué. Nous ne l'avons pas étudié dans le chapitre précédent, mais nous pouvons^ combler cette lacune en appliquant au mouvement varié la théorie de la double discontinuité.

Soient (figure 112) (w, H') (?.//, H') les deux systèmes de valeurs qui

caractérisent la discontir. ,/ p nuité entre les deux axes

hydrauliques CA et A'B ; '' ces deux axes commandent

/ des surfaces hydrauliques

7 représentées en plan par

^'' ^ CAD et ABE. Les caracté-

ristiques AE et AD sont de

T — I — f systèmes opposés, mais elles

/4^C\ ' /O' . ne déterminent pas une so-

^. I /y \ lution ordinaire, à cause de

la discontinuité qui existe au point A. Soit (?^", H") un système de valeurs intermédiaire à déterminer convenablement. Nous pouvons Fia, 112. construire une solution

pseudo-conoïde EAF sur les

deux caractéristiques AE et le point A fou A'A") considéré comme caractéristique d'aval. L'équation de cette caractéristique d'aval (50 et 70) est

du==0.

En séparant les variables, on a :

Posons

■^ (H);= r V / -f- du.

et remarquons que cette fonction croit dans le même sens que la variable. Nous déduisons de l'intégrale générale une intégrale définie entre les limites {u\ H') et (w", H") ; nous trouvons :

Construisons de même une solution'pseudo-conoïde sur la caractéristique AD et le point A considéré comme la projection d'une caractéristique d'amont A A". U radical des formules précédentes change de signe, de sorte que l'on a :

I^es inconnues u" et ^|; (H") sont déterminées par deux équations ; en les résolvant, on trouve :

Sui)posons, pour fixer les idées, H plus petit que H' ; faisons varier la iliiîérence des vitesses, f^a fonction -^ varie dans le même sens que la variable ; nous ferons donc croître H" en faisant croître u — u' on vu faisant décroître l'accroissement

Posons