AM

Construisons la spirale I^Q qui serait la caractéristique dans la solution conoïde ; nous prendrons AQ comme première tangente et nous obtiendrons la seconde en menant par Q une parallèle à la droite NP de la figure 146. Appliquons cette construction aux caractéristiques 1, 2, 3, 4; nous pouvons tracer les tangentes successives de la caractéristique M en utilisant l'épure circulaire ; nous pouvons ensuite déterminer les pressions aux points obtenus, soit en suivant les caractéristiques qui partent du point A, soit en suivant la caractéristique M; nous avons obtenu les mômes pressions, jusqu'au point (M, 4); au-delà de ce point, la vérification ne se produit plus, aussi, nous avons pris un arc plus petit AG sur la caractéristique 4, puis un arc encore plus petit sur la caractéristique 5. Nous avons, en résumé, appliqué la méthode générale, mais nous avons évité la fausse position, par la détermination de la courbure. Les quadrangles qui complètent la solution pseudo-conoïde ont été construits par la méthode ordinaire.

La construction de la solution déterminée par la caractéristique 8 et le contour apparent AT présente une petite difficulté au point T. Les caractéristiques B, C, D, Ë, coupent le contour apparent sous un angle constant complémentaire de l'angle du frottement ; on serait tenté de croire qu'il en est de môme de la caractéristique 1, qui passe par le point T. Je dis, au contraire, que cette caractéristique I prend au point T la direction des caractéristiques de la solution linéaire de butée commandée par un plan libre horizontal. En effet, construisons la limite relative d'un massif infiniment petit autour du point T. Supposons d'abord que la pression sur le contour apparent, à une distance infiniment petite du point T, soit infiniment petite du premier ordre ; on doit remplacer cette pression par sa limite relative, qui est proportionnelle à la distance au point T ; on trouve donc une solution conique ayant T comme sommet et AT comme contour apparent ; les caractéristiques sont convexes vers le sommet ; la nappe est donc limitée vers le bas par un contour apparent du second système. Or, ce contour apparent n'existe pas ; les caractérisques du second système divergent en se dirigeant vers la région du point T et ne peuvent pas se couper pour former un contour apparent.

Il faut donc rejeter comme impossible l'hypothèse où nous nous sommes placés et en conclure que la pression sur le contour apparent est infiniment petite, d'ordre supérieur au premier par rapport à la distance au point T. Dans ce cas, la pression sur le contour apparent devient nulle aux limites relatives ; on trouve donc la solution linéaire commandée par le plan libre TA ; on en conclut que la tangente à la courbe I au point Test une caractéristique de cette solution linéaire. Les courbes D, E, ont la courbe I pour limite ponctuelle ; mais elles présentent, prés de leurs points de rebroussement, des arcs à forte courbure, dont les longueurs sont d'ordre supérieur au premier, et qui disparaissent, non seulement aux limites absolues, mais aussi aux limites relatives ; aux limites relatives, les caractéristiques deviennent des droites parallèles.

Pour confirmer ce résultat, nous avons construit le diagramme des sous-pressions qui agissent sur la voûte ; nous avons obtenu une courbe qui tend à toucher le plan AT en un certain point. Cette courbe ne détermine pas le point de contact avec beaucoup d'exactitude ; pour l'obtenir avec plus de précision, on se donne une fausse position du point (I, 11) ; on peut tracer la caractéristique I, en la remplaçant par deux tangentes dont on connaît les directions ; on obtient la position juste lorsque la pression sous la voûte est égale à zéro.

On construit alors sur la caractéristique 13 la dernière solution qui est limitée à la courbe d'éboulement. Ou peut évidemment construire la courbe d'éboulement et les caractéristiques jusqu'au mur vertical et représenter par deux diagrammes les pressions normales et taugentielles qui se produisent sur ce mur. Par une double intégration graphique, on déterminera la résultante de ces pressions ainsi que la résultante des pressions sous la voûte.

208. Infltcence de Veau sw les sotts-pressions, — Supposons que la construction, dont il vient d'être question, soit établie au bord d'un canal ou d'un bassin,et que le niveau de l'eau coïncide avec le plan de la voûte. Supposons, en outre, qu'il se forme dans les terres une couche aquifère limitée à ce même plan. Nous avons vu que l'on doit, dans la couche aquifère, admettre le poids spécifique II' des terres plongées dans l'eau. Ayant représenté la pression en A (fig. 145) par une certaine hauteur h, on doit réduire le nouveau poids spécifique à l'unité et représenter la même pression par

j5 Ou obtiendra donc une épure semblable à celle que nous avons

U obtenue ; le rapport de similitude est le rapport des poids spécifiques

a dans Tair et dans l'eau. Il est évident que Ton peut conserver la

^ même épure, si Ton réduit l'échelle dans le rapport inverse. Nous

,j -avons représenté les centièmes de la hauteur des terres par l'échelle

verticale menée par le point A ; pour tenir compte de la présence j de l'eau, il sufiit d'adopter l'échelle plus petite que nous avons

représentée à gauche de la première.

; Il résulte de ces considérations que, pour une même charge de

terre, la présence de l'eau a pour effet d'augmenter la longueur AT dans le rapport des poids spécifiques, c'est-à-dire dans le rapport de 1.700 à 700 pour le sable léger. Les sous-pressions par unité de surface restent les mêmes aux points homologues ; car, si les longueurs qui représentent ces pressions augmentent dans le rapport de similitude, les pressions effectives reviennent à leurs valeurs primitives. On en conclut que Jia résultante des sous-pressions augmente dans le rapport des poids spécifiques. Les poussées sur le mur vertical varient suivant une loi plus compliquée.

209. Cow*be d'éboulement sous un plan oblique. Nous pouvons modifier les données du problème du numéro 207 en remplaçant le plan horizontal AB par un plan incliné A6' (fig. 144). Lorsque l'inclinaison de ce plan ne dépasse pas celle du talus naturel, on obtient toujours une courbe fféboulement tangente au plan; si l'inclinaison est plus grande, la tangente à la courbe d'éboulement est <l'abord la direction du plan libre qui donne une caractéristique du premier système parallèle au plan; si l'inclinaison augmente •encore, on rencontre certaines difldcultés que nous allons examiner.

Soit (fig. 147) AH le plan fixe chargé d'une hauteur de terre que nous représentons par une échelle des centièmes de cette hauteur. Nous avons donné au plan AH l'inclinaison des caractéristiques du premier système de la solution linéaire qui règne sous le niveau horizontal des terres ; cette solution se prolongera alors Jusqu'au plan AH et l'on obtiendra sous ce plan la même solution pseudoconoïde que nous avons construite dans le problème précédent, mais prolongée à gauche vers le haut. Ainsi, la caractéristique 8 de la figure 145 est devenue la caractéristique 1 de la figure 147 ; nous avons adopté une échelle plus grande et multiplié le nombre des caractéristiques du second système. Si Ton examine les caractéristiques 2 à 7 et les courbes correspondantes de l'épure des pressions, on voit que la pression décroit et passe par un . minimum en s'éloignant du point A suivant l'une de ces caractéristiques ; ce minimum devient nul pour une certaine caractéristique comprise

entre 6 et 7. On arrive au même résultat en examinant les caraclé-^ ristiques du second système ; on trouve une caractéristique b où la.

Fig. 147.

pression décroit jusqu'à zéro. Au point M, où la pression est nulle, la tangente à la caractéristique du premier 2>yâtéme a la direction du premier talus naturel. Les caractéristiques 6, 5, 4 forment un contour apparent qui passe par le point M ; les caractéristiques F, E, D, C présentent une inflexion suivie d'un rebroussement.

Nous avons résolu le problème en construîsaat la courbe d'éboulément MH déterminée par la caractéristique AM ; nous avons ensuite, à gauche du point M, construit une solution déterminée par les deux conditions de présenter une surface libre et de s'appuyer sur la

solution pseudo-conoïde par une ligue de discontinuité finie. La solution AMH est en équilibre, mais n'est pas la dernière limite des solutions en équilibre. Pour obtenir cette dernière limite, on devrait prolonger la solution pseudo-conoïde à droite de AM. On trouve que la caractéristique qui touche le plan AH au point A, sort des limites du massif ; on doit donc prolonger la solution pseudo-conoïde jusqu'à ce plan. Cette solution n'est pas identique à celle que nous avons construite ; elle est terminée vers le haut par un contour apparent qu'il faut remplacer par une ligne de discontinuité finie. Mais les pressions sont tellement petites sur ce contour apparent, qu'il est impossible, à l'échelle admise, de montrer la différence qui existe entre ce contour apparent et la courbe MH ; le problème est donc résolu avec une exactitude sufllsante.

A continuer.