VA
296 INTEGRATION GRAPHIQUE.
En divisant par e' et en adoptant les mêmes notations qu'au numéro 298, on a :
Cette expression contenant un trop grand nombre de variables , nous supposerons n = 0 , alors h' = h; prenons dans
ce cas le rapport inverse \/ rr?; on
Cette expression contient quatre variables, mais les variables 1 , n', TT satisfont à une relation , le rapport -j— est fonction de deux variables et peut s'obtenir par un tableau
graphique ; on obtiendra alors le rapport i/ — par la formule (5) qui peut s'écrire :
V h" 2 Au lieu de construire un tableau particulier donnant les
rapports — ou \l r^, il est préférable d'indiquer ces valeurs
sur les tableaux des lig. 141 et 143, qui servent à déterminer les dimensions des murs; nous devons considérer séparément les deux solutions.
300. Première solution. — Éliminons de l'équation (6) la variable n au moyen de la variable ii (298), on a :
INTEGRATION GRAPHIQUE. 297
Les trois variables du second membre satisfont à l'équation (2) du numéro 298; si on élimine Tune des variables , 71 par exemple, on trouve :
ul+~[\-l)
Si on construit d'abord un tableau particulier, en choisissant des lignes des u et des ). de manière que les lignes des
-— soient les plus simples possibles, on pourra reporter ces
lignes des %- sur la flg. 141 en opérant comme si l'on copiait
un dessin par la méthode des carrés ; les carrés sont remplacés ici par des quadrilatères n'ayant pas la même forme sur les deux figures, mais la méthode est la même. L'une
des lignes peut se tracer facilement, c'est la ligne — = 1,
on trouve les trois droites :
Les autres courbes sont compliquées, on peut simplifier leurs constructions en traçant au préalable des courbes auxiliaires ; l'équation ( 7 ) peut s'écrire en introduisant une variable auxiliaire a :
Construisons d'abord les courbes :
Pour y arriver, on porte d'abord sur une épure provisoire t: = ?/ , i< = ^ , les lignes des a sont des droites ; on les reporte sur la figure 141.
INTEGRATION GRAPHIQUE.
Ayant construit les lignes des a, on considère a comme une nouvelle coordonnée et on construit les courbes :
On porte d'abord sur uneépure provisoire .3? = /, y=\l j-jj '■> les lignes des a sont des droites convergentes ; reporte les lignes jj- sur la figure 141 et le problème est résolu.
ÎJIO. Seconde solution. — Éliminons de rér4uation (6) (308) la variable n' au moyen de la variable v (299); on a:
En éliminant la variable - au moyen de l'e'iuation (2) du numéro 299, on trouve :
vl+j{l--y)
Les lignes des -rrr sont difficiles à construira au moyen de
cette équation ; pour \/-^ = — 1, on trouve cependant
trois droites :
Il est préférable de suivre une autre voie; en introduisant une variable auxiliaire a, l'équation ('7) devient :
INTEGRATION GRAPHIQUE. 299
Construisons d'abord les courbes :
Pour cela, portons d'abord sur une épure provisoire 7: = ?/, V = œ;\es lignes des a sont des droites ; on les reporte sur la figure 143. Ayant construit les lignes des a , on considère a et}, comme nouvelles coordonnées et on construit les courbes :
On porte d'abord sur une é[<ure provisoire x = l,y=\ — , les lignes de a forment un système du iiremier degré; on reporte les lignes des jj^ sur la ligure 143 et le [)roblème est résolu.
311. lliir triangle. — Calculons d'abord la liauteur limite H d'un triangle à parement intérieur vertical ; on a :
D'où Rf = ^ = ::I H.
Cette formule n'est autre que la formule ( 1 ) du numéro 303 qui donne la hauteur limite d'un mur qui ne supporte que son poids.
Considérons deux murs triangles de hauteur égale à l'unité , le premier à parement intérieur vertical, le second avec fruit intérieur n' ; les pressions maxima sont données respectivement par les formules
9 p •> pf
INTEGRATION GRAPHIQUE.
Soient H et h les hauteurs limites de ces deux formes ; on a:
En divisant ces deux équations membre à membre, on obtient, en remarquant que Pw = P'W :
Le rapport py-peut se calculer daus chaque cas; mais on
Il H peut aussi indiquer les valeurs de ^zjrou — sur le tableau de
la figure 141 qui parmet de déterminer les dimensions.
L'équation (9) peut s'écrire :
ou si e=l, -'= 1, \/-r- = ?i -f n' (1 + ^). En introduisant les variables i< ou y (301 ) , on a
ou
On construit les ligues des .rj- en suivant la même marche
qu'au numéro précédent , c'est-à-dire en mettant ces équations sous la forme :
l+Tt
et en construisant au préalable les lignes des a. § 4. Murs à gradins intérieurs.
En pratique pour faciliter la construction , on substitue des retraites successives à l'inclinaison régulière du parement intérieur ; si les retraites ont une faible hauteur , il est inutile de faire un nouveau calcul ; mais pour des raisons particulières , on peut être amené à adopter des gradins de grande dimension ; dans ce cas on doit calculer directement les épaisseurs des différents tronçons; on peut aussi calculer le mur triangle ou trapèze et les transformer en murs h gradins en conservant le même coefficient de stabilité.
31 '^. Trnnsfoi'uialion du uiiir triangle en mur à gradins». — Soit (tîg. 150) SDL le mur triangle ; on veut le transformer en un mur à gradins de telle manière que pour la section inférieure de chaque gradin le moment résistant soit le même que celui du mur triangle.' Nous remarquerons que par la transformation les bras de leviers ne seront diminués que d'une quantité très petite que nous pouvons négliger ; nous savons qu'une pareille hypothèse (298j ne donne pas lieu à une grande erreur ; d'après cela , il faut transformer le mur triangle de manière à conserver le même poids résistant. Cette transformation s'effectue rapidement grâce à l'intégration graphique. Montrons, par exemple , comment on calcule le troisième tronçon ARKS ; on doit avoir :
poids (SDHK) = poids (SDML).
Mais par hypothèse on a calculé les deux premiers tronçons de manière que l'on ait :
poids (ADCB) = poids (ADNE).
Retranchant, membre à membre, la seconde inégalité de
302 INTEGRATION GRAPHIQUE.
la première , retranchant en outre des deux membres le poids SABF, il restera l'équation de condition :
poids (FCHK) = poids (FBENML).
On peut calculer le second membre de cette équation par une intégration graphique. Soient ZZ' l'axe du diagramme des inclinaisons, YY' la ligne des pôles pour le calcul des poids des maçonneries , XX' la ligne des pôles pour le calcul des poids des massifs de terre; les bases d'intégration varient en sens inverse des poids spécifiques :r' et tt, on obtiendra les lignes XX' , YY' en i)ortant à une échelle quelconque : Ox -^ n', 0|3 = 1.
Le poids FBENML est représenté par M'L ; la ligne intégrale comprend : 1" la ligne FN' intégrale de BE dont la direction est donnée en 1 1 sur le diagramme des inclinaisons ; 2° la ligne N'M' intégrale de PNML dont la direction s'obtient en 22; on remarque, pour obtenir cette dernière inclinaison, que l'ordonnée moyenne 02' du massif de maçonnerie PERL donne lieu à la même intégrale qu'une hauteur 0'2' de terre.
Le premier membre de l'équation de condition est l'intégrale du massif FCHK, la ligne intégrale estla droite FH' dont on obtient la direction en 33; en menant l'horizontale M'H' on détermine le point H' et par conséquent l'épaisseur du troisième tronçon. Cette méthode donne des dimensions trop faibles, mais l'erreur est inappréciable.
•t 1 3 Transioritialion du luiir trapèze en uiurà gradins. — Si on d(!termine pour une certaine hauteur, les dimensions d'un mur trapèze ou rectangle DABC (fig. 151), on obtient immédiatement les dimensions d'un mur de hauteur quelconque en faisant varier ces dimensions dans le rapport des hauteurs (292). Il s'agit alors de déterminer un mur à gradins de telle manière que , pour un nombre quelconque de gradins , le poids résistant soit le même que celui d'un mur trapèze de même hauteur ; on obtiendra ainsi un petit excès de résistance, parce que les bras de levier du moment résis-
tant vont augmenter. Supposons que l'on ait calcule les deux premiers tronçons de telle manière que l'on ait : poids (ADCB) = poids (ADNE).
On doit calculer le troisième tronçon de telle sorte que :
poids ( SD H K ) = poids ( S D M L ). Retranchons la première égalité de la seconde , retranchons en outre le poids ( AE PS) , on obtient l'équation de condition : poids I PEBCHK) = poids (PNML).
Le second membre est représenté par M'L , la ligne intégrale P M' est parallèle à la droite 1 1 du diagramme des inclinaisons. La ligne intégrale PH' relative au premier membre, comprend: 1" l'intégrale de PEBF, ligne parallèle à 22; 2° l'intégrale FCHK , ligne parallèle à 33. En menant par M' une horizontale, on détermine le point H' et par conséquent l'épaisseur du troisième tronçon.
a 1-1. Méthode dîreele— Montrons d'abord comment on vérifierait la stabilité d'un mur donné. Il faut d'abord calculer les moments sollicitants pour différentes hauteurs de mur (flg. 152); la poussée sur une hauteur h est représentée par le "poids d'un prisme triangulaire abc de base ab = h et de
hauteur bc = h tg« ~ ; celarésulte de la formule q= j ^^^g*- .
En intégrant deux fois la ligne ac , on aura d'abord la poussée et ensuite les moments sollicitants (105). Pour vérifier la stabilité du joint AB , construisons deux intégrales successives AC , AC" du massif ADCB ; menons la tangente à l'intégrale seconde au point C" et prolongeons-la jusqu'en E; on sait (107) que c'est le lieu des moments du poids résistant ; l'ordonnée AE est donc le moment résistant du mur. Lo moment sollicitant est l'ordonnée ed ; le coefïicient de stabi-
\E lité est^ ; on doit avoir : ecl
AE = 2cd
Pour calculer les dimensions d'un mur de cette forme , on détermine successivement les différents tronçons en commen-
304 INTEGRATION GRAPHIQUE.
çant par le tronçon supérieur; montrons, par exemple, comment on calcule le troisième tronçon. Par hypothèse, les premiers tronçons sont calculés exactement; dès lors en passant du joint AB au joint SK, il faut que l'accroissement du moment résistant soit double de celui du moment sollicitant. Portons SG = 2/'^, double de l'accroissement du moment sollicitant ; par suite du déplacement du centre des moments de A en S , le moment du poids résistant des tronçons supérieurs au joint AB subit une augmentation égale à l'accroissement MN de l'ordonnée de la droite EC" ; donc le moment du poids S A BC H K doit être égal à SG—MN = S G'. Traçons les deux intégrales successives S' H, S H" du massif SABCH ; par G' menons une tangente à l'intégrale seconde; le point de contact H" détermine l'ordonnée HK et l'épaisseur du troisième tronçon. On peut dessiner assez exactement l'intégrale seconde pour pouvoir y mener la tangente G'H" ; mais il faut déterminer le point de contact avec précision ; à cet effet, on mène sur le diagramme des inclinaisons de l'intégrale seconde, la droite Ou. parallèle à la tangente G'H''; on obtient ainsi l'ordonnée de l'intégrale première, le point H', et par suite le parement intérieur du troisième tronçon. On peut aussi déterminer l'abscisse du point H" par la construction géométrique suivante. Le côté BH' de l'intégrale première a pour équation 7/ = ax, si on prend comme origine des coordonnées le point F où cette droite coupe SG ; l'arc correspondant de l'intégrale seconde est une parabole qui prolongée coupe l'ordonnée SG au point F' que l'on obtient aisément par le polygone circonscrit F'IB" ; F'G' représente la surface d'un triangle de base x et de hauteur ax, donc :
C'est , d'après cette équation , que l'on doit déterminer x.
Cf.X'^
Si a; était connu, on construirait — — d'après la méthode générale qui permet de construire un polynôme (253); on
prendrait PP = |- , P Q = 1 , QR = ^ ; on mènerait PRL , puis L G' perpendiculairement à P L , on aurait : F'L = — x^', F'G = -^,
De cette figure on connaît F'P = — ; car si on i)rend la base d'intégration des maçonneries comme unité de longueur, on a a -= hW , d'où F'P = ^- . Si on décrit sur PG comme diamètre une demi-circonférence on obtient le point L, la droite PL , et par suite l'épaisseur x = QR du troisième tronçon.
§ 5. Murs de soutènement avec contreforts.
315. illiirs avec coiitreforLs extérieurs. — Soit(fig. 153) ABCD le plan d'une certaine longueur d'un mur rectangulaire ; A D est l'arête de rotation autour de laquelle on évalue le moment résistant ; on est naturellement conduit à augmenter les bras de levier, en reportant la matière à une plus grande distance de l'axe des moments ; on obtient la forme KLEFGHIM : c'est le mur à contrefort extérieur. Pour un même poids de maçonnerie , ce mur est plus résistant ; pour une même résistance , il est donc plus économique. Il est difficile de calculer l'épaisseur du masque : la maçonnerie travaille comme dans une plate-bande ; sa résistance dépend en grande partie du mode de construction. M. l'ingénieur Foy (1) propose de donner aux contreforts une largeur de 1 mètre et de les espacer de 4 mètres ; il admet une saillie des contreforts égale à l'épaisseur du masque. Il nous semble que ces chiffres sont trop absolus ; la distance des contreforts doit évidemment dépendre de l'épaisseur du masque ; aussi nous admettrons simplement que la largeur du contrefort soit le
(1) Nouvelles annales lie construction, 1865.
INTEGRATION GRAPHIQUE.
tiers du vide qui sépare les contreforts voisins ; nous reviendrons tantôt sur l'espacement des contreforts. Adoptons ces proportions; égalons le moment de la figure KLEFGHIM à celui du rectangle ABCD; soient : e l'épaisseur du mur rectangle , e, =2x celle du mur avec contrefort , x l'épaisseur du masque ; on trouve 4 x (2^)* — 3^' = 4eS d'où :
On obtient l'épaisseur <?, par le tableau de la figure 138 de la même manière que l'épaisseur e ; il suffit de prendre l'épaisseur e, sur une ligne inclinée OK ; on obtient cette ligne en
portant OK = y t:t ou a7K = \/— •
On réalise une grande économie en remplaçant un mur rectangle par un mur à contreforts; l'épaisseur moyenne e de ce dernier est
'Ix
21^13 on réalise donc une économie de 30 pour cent.
Distance des contreforts. — Le masque MN P Q supporte la poussée des terres, il est soutenu parles contreforts; siMN et PQ étaient deux joints , le masque devrait avoir l'épaisseur du mur ordinaire et il n'y aurait aucun avantage à employer des contreforts ; nous supposerons les matériaux enchevêtrés de telle façon que si les piliers résistent , la rupture du masque ne puisse se produire que suivant les lignes moyennes MM', PP' faisant avec la normale au mur un angle 5 qui dépend du mode de construction. Le massif MM'P'P est sollicité par la poussée qui se developi)e sur la longueur M'P' égale à l — 2ir tang G. Dans le moment résistant du masque , il faudrait tenir compte des efforts nécessaires pour produire la séparation suivant MM' et NN'; nous en tiendrons compte en supposant que le moment résistant du masque soit celui du massif MNPQ. On a alors en exprimant le moment de la poussée des terres au moyen de l'épaisseur e du mur rectangle :
Ix^ == (/ — 2i3?tang0) e*.
Supposons tang 0=1, nous aurons
'2xe-
Nous avons trouvé a? = e y p- ; éliminons e de la valeur
de ^ , on trouve :
1= — œ, soit l='ix.
La largeur l' du contrefort est :
Le pilier a donc une Corme carrée. En résumé , on obtient l'épaisseur totale du mur sur la ligne OK(fig. 138); le masque a la moitié de l'épaisseur , le pilier a une forme carrée ; le vide entre deux contreforts est égal à trois fois l'épaisseur du masque : cela permet de déterminer immédiatement toutes les dimensions du mur.
Hauteur limite. — Considérons la partie du mur KLFGHIM ; la section horizontale de cette partie du mur a un axe de symétrie OX; nous pouvons donc, pour étudier les pressions, appliquer la première méthode du numéro 252. Nous avons représenté (flg. 154) la moitié de cette section, située au-dessus de l'axe de symétrie ; on trouve les trois intégrales ABD, A'B'D' , A"B"D"; les tangentes aux points D' et A' se coupent sur la verticale du centre de gravité 0 de la section; en divisant OA en deux parties égales (244), on trouve le centre de pression; il s'agit de déterminer l'axe neutre par tâtonnement. Si on prend Dd comme axe neutre, on mène la tangente D"(5' au point D" ; on porte cf (5' = 5'J"; on obtient le centre de pression en à. Pour l'axe neutre Bb, on trouve un centre de pression au tiers de A6. Le véritable axe neutre est compris entre Bô et Y)d ; si on essaie l'axe Ce situé au milieu de l'intervalle entre les deux précédents, on trouve que cet axe convient sans qu'il soit nécessaire de procéder à une interpolation. Supposons que le mur ait la hauteur
308 INTEGRATION GRAPHIQUE.
limite h , la pression eu A sera égale à la limite R' ; la pression
■p à une distance œ de l'axe neutre sera — œ, si û^ est la longueur Ac ; la pression totale est n'uk; on a donc l'équation :
■K'oih = — f xd(ù.
Remplaçons R' i)ar 7:'H, fxdoy par M , on trouve :
h M H ~ wa
La valeur du second membre est un rapport que l'on peut obtenir sans connaître les dimensions absolues de la section du mur dont la hauteur est égale à la hauteur limite ; nous pouvons obtenir ce rapport en traçant la forme de la section à une échelle arbitraire; la figure 154 a été obtenue de cette façon. On a : M =-- Ce'; le produit ua s'obtient par la tangente en D" , cette tangente est le lieu des moments de la section totale co ; l'accroissement de l'ordonnée de cette droite pour un déplacement d'abscisse égal à a est le produit oia; en utilisant une parallèle EF à cette tangente, on trouve Oia = Ff , d'où
h ^ Ce'
On trouve en effectuant une nouvelle division graphique :
h :pr- = mn.
Soit approximativement h = -r^ H.
On pourrait aussi trouver la longueur — = a' , d'où
Il — ^
ïl~ a '
