^.MC

r.(CH

dans lesquelles S représente la longueur de la demi -diagonale oblique des faces du rhomboèdre primitif, C est l'angle aigu que ces faces font avec un plan pei'pendiculaîre à l'axe vertical , E est le supplément de l'angle au sommet formé par la diagonale oblique avec l'arête culminante opposée 6; a est l'angle obtus que les rhomboèdres directs font avec le plan perpendiculaire à l'axe, et ■ a' l'angle aigu que les rhomboèdres inverses font avec le même plan (fig. 98, pi. III); par conséquent, G H- a est {'inclinaison donnée immédiatement pai" l'observation d'un rhomboèdre direct sur la face primitive correspondante, et C -h a' est l'angle compris entre un rhomboèdre inverse et la face primitive opposée; comme les cristaux n'ont en général qu'un seul sommet, il est rare que ce dernier angle s'obtienne directement, mais il est toujours facile de le déduire de celui qu'on mesure entre le rhomboèdre dérivé et la face e' adjacente.

Réciproquement, si Ton connaît la notation d^un rhomboèdre direct ou inverse, les angles a et a! se calculeront: au moyen des formules :

(3) tang a =

[k] tang a!

(l — 2Z)C0tC'

(9 r— i)cotc

Le symbole d'un rhombpèdre quelconque est aussi lié à celui de son inverse par la relation :

(5) r = 2pL,

Enfin, le signe des rhomboèdres tangents ^éra.

pour les rhomboèdres directs, e

pour les rhomboèdres inverses, e ^^

Les formules relatives aux rhomboèdres situés sur les angles* culminants de la forme primitive sont aussi simples que les précédentes,. et elles s'établiraient avec la même facilité.

On peut également calculer la notation des faces nommées pla-- 'gièdres par Haily en fonction d'une de leurs incidences, et réciproquement. On sait, en effet, que toutes ces faces appartiennent,

soit à la zone p s e\ soit à la zone e* s é^^ s étant la face rhombe commune aux deux zones. La position de ces zones une fois déterminée, il existe plusieurs méthodes qui donnent les longueurs interceptées par les plagièdres sur les arêtes de la forme primitive, lorsqu'on possède l'inclinaison de ces modifications sur une des faces de leur zone.

L'une des méthodes les plus simples consiste à employer les équations suivantes ;

notation de Miller, ces nombres seront donnés par I3 relation:

et les quantités m et n se déduiront du rapport:

dans lequel tt e^ et tt p représentent l'incidence du plagièdre sur la face verticale et sur la face primitive cpi font partie de la zone. 2° Pour les plagièdres situés au-dessus de 5 . on aura :

3° Pour les plagièdres de la zone e' s e\ situés au-dessous des, :s équations seront :

4" Pour les piacièdres situés au-dessus du rhorabe :

TDomDoeare e- est inaïque par le iriangie a m m et le prisme hexagonal e' par les triangles n e" e™ et n' e e'. Il est facile de voir que le rhombe s, pour se trouver à la fois dans les deux zones, p droit e' gauche, et e' gauche e' droit, doit être représenté par le triangle e" n q dont le symbole peut s'écrire indifTéremmeot. dans le système de Lévy, {(t d' b') ou [b' d' d'). Tous les plagièdres de la zone e' s e*, devant couper la face e' suivant des lignes parallèles à am ou nq, seront exprimés par des symboles de la forme [b' d' d") ou [b' d.' d'); le premier indiquera des plagièdres inférieurs au rhombe, pour toutes les valeurs de x plus petites que -. Pour x = o, ia modification sera exprimée par le signe [b' rf' d°) qui est précisément celui du second prisme d\ tangent aux arêtes latérales; pour x= - l'expression (6" d^ (/') représentera le prisme hexagonal e' figuré par les tfiangles e e' n et n e" e" : si la valeur de j; dépassait -, on retomberait sur les plagièdres de la zone p s e', dont nous parlerons tout à l'heiu'e, et comme l'expression (i' d' d"") peut s'écrire {d' d" b'), pour x ::^oola troncature se réduirait au triangle n e' e" compris dans une face du rhomboèdre primitif.

Le second symbole (i* d' rf') se rapporte encore à des plagièdres

inférieurs, si x est plus petit que -; pour x = - on a [6' d' d'), qui est précisément le rhombe représenté par le triangle n q e" : toutes les valeurs de x supérieures à - nous donnent des plagièdres supérieurs au rhombe; si x^ a , le plagièdre [b' d' d') se confond

avec le rhomboèdre e' , et si j: =^ m>2 , l'expression [b' d' d') indique des troncatures situées sur l'arête d'intersection des faces p et c'; lorsque m devient égal à oo, on retombe, comme tout à

plan coupant la face p, par exemple, suivant la ligne e' n, menée par l'angle latéral e" et par le milieu de l'arête culminante a e', ce pian rencontrant d'ailleurs l'arête latérale e' e* en im point quelconque de sa longueur; le symbole général de tous ces plagïèdres sera donc de la forme {d' d' 6"), x étant un nombre quelconque plus petit que Tunité; si x était égal à i, on retomberait sur le prisme hexagonal e'; toutes les valeurs de x plus petites que - indiqueront des plagièdres supérieurs au rhombe, toutes les valeurs comprises entre - et i se rapporteront, au contraire, à des plagièdres inférieurs.

Il est d'ailleurs facile de voir, comme précédemment, que pour les valeurs extrêmes x = o et x = oo on a un triangle n e' e" compris dans la face rhomboîdale p', ou un plan parallèle à l'arête latérale e' e" et coupant la face p suivant la ligne n n" : le symbole de ce plan pourrait donc s'écrire d}; c'est le solide auquel Haùy a donné le nom de dodécaèdre méiastalique.

Il est évident, d'après ce que j'ai dit précédemment sur les rappoits qui existent entre la notation rhomboédrique de Miller et celte de Lévy, que si, parmi les longueurs a v w ou u' v w', on a soin de compter celles qui ont le même signe algébrique sur les deux arêtes de même espèce qui concourent avec ime troisième arête d'espèce différente, à chaque angle solide latéral de la forme primitive, les expressions [b' d' d'), [b' d' d") ou [b' d' d'] pourront toujours se ramener à l'une des formes (6* rf' d"), {b' d' d'\ [d' d^ b') que je viens de discuter.

Si maintenant, étant donné le signe cristallograpbique d'un plagièdre quelconque, on voulait trouver son inclinaison sur une des faces de sa aone, on pourrait avoir recours aux relations

' nn peut poser

tang^i

[tt e- — TT ;.) = tang ~ {p e') . ^

au moyen de la dt

'-{p^)=2'-(ne'-h-T7p};

;mi-somme et de la demi-différence des

angles

ir e' et ii p, on poi

urra donc déterminer chacun d'eux.

a" Pour les piagièdres supérieurs, on posera

tang^

(ip— (e-) = tangl(pe').^.

relations d'où l'on

pourra conclure les valeurs de (p et de

' 3" On aura de

même, pour les piagièdres inférieurs

de la 1

zone e' se', dont le

symbole général est {a v w), «' = — -

formules suivantes

1 »angl(

Je"— le=) = laDgj(8'c').j-^-

1 d'où l'on tirera les valeurs de a; e' et de x e'.

lang-(Te' — t e') =;lang-(e' c') ■ -, .

on connaîtra t e' et t cV

Mes observations m'ont fait voir tpje les faces plagièdres de zones différentes, mais d'angles égaux, étaient plus coninuines qu'on ne l'avait remarqué jusqu'ici ; it peut donc être utile , lorsque l'on connaît une de ces faces, de déterminer immédiatement le symbole de son inverse; cette transformation se fait facilement, au moyen des formules suivantes, qui se trouvent page 85 de la traduction française du Traité de Cristallographie de Miller :

p=2(k-^l) — h, 9=^ a (Ah-/) — A, r=2{k-hk) — l:

h, k, t sont les coefficients d'une face plagièdre quelconque, et p. If, r ceux de la forme inverse de cette face.

Les autres faces du quartz , que j'ai nommées faces isolées , parce qu'elles ne font pas partie des zones principales dont j'ai parlé jusqu'à présent, sont toujours comprises au moins dans une zone formée par deux faces de position bien déterminée; leur signe cristallograpbique s'obtiendra donc en général par un calcul forr simple, au moyen de leur incidence sur une de ces faces.

Quant aux zones qui, à cause de leur multiplicité, jouent un rôle très-important dans la cristallisation du quartz, on peut les déterminer, soit au moyen des procédés algébriques donnés par Miller dans sa Cristallographie, soit par une construction géu-

tion à une comparaison de triangles semblables dérivant immédiatement de la position des faces sur les arêtes de la forme primitive.

Pendant l'impression de mon mémoire, j'ai rencontré le cristal de quartz ligure ci-contre, qui porte mie nouvelle face dont la position nous fournit un exemple remarquable de ces zones approximatives dont j'ai précédemment signalé plusieurs fois l'existence probable.

En effet, la face G, quoique assez étroite, est brillante, et permet de mesurer ses incidences avec une exactitude suflisante pour qu'on puisse en répondre à 1 oou 1 5 minutes près; quant au rhomboèdre e ' , qui forme zone avec la face e ' de gauche et la modification nouvelle G , il est tellement net qu'il n'y a aucune hésitation possible sur son symbole ; la zone e' G e ' elle-même se vérifie sur le goniomètre avec la plus grande précision.

Or, les symboles rhomboédrique et hexagonal de G, qui satisfont à cette zone et qui donnent les incidences calculées les plus voisines des incidences mesurées, sont:

t = {d- d^ b') e = id' d' b-) /. == [d' d^' b') G = {d^'d^ b')

G = [d" d'~- b') et (i' b" A").

En examinant la position qu'occuperait cette face sur la projection sphérique fig. IV, on voit que, sur le cercle de zone e' r ' , on pourrait à peine distinguer cette position, du point de

rencontre des zones e^ e^ et pe\ et Ton est conduit à admettre la réalité de cette seconde zone. Cependant , si Ton cherche les signes rhomboédrique et hexagonal qui satisferaient à la fois à ces deux zones f on trouve :

G = (rf" rf" 6") et (6' 6^ h^y

Le signe rhomboédrique est donc beaucoup plus compliqué que

i il celui qui satisfait seulement à la zone e* e ' , les deux signes hexagonaux sont aussi simples Tun que l'autre . De plus, les angles calculés correspondant aux seconds symboles sont assez éloignés des an^es mesurés directement, poiu* qu'on ne puisse pas les considérer comme compris dans les limites des erreurs d'observation , de sorte que , malgré l'avantage qu'il y aiu^ait à voir la face G déterminée par rintersection de deux zones, toutes les probabilités sont en faveur d'ime seule zone exacte et du symbole assez

simple G = (rf** d** 6"), avec une seconde zone très-approchée. Voici du reste la comparaison des incidences mesurées avec celles qui se déduisent des deux espèces de symboles.

Angles observés.

Angles

calcules.

{dr d^' 6');

pG i4i® 4o' environ.

pe' '— Il

Ge' —