Mémoire sur la distribution de l'electricite dans une sphere creuse electrisee par influence;

Mémoire sur lu distribution de Télectricité dans une sphère cre électrisée par influence ; par M, Poisson.

ht U: r/ y } .

roruxo I

Nous supposerons que celte sphère creuse soit formée d’une matière conductrice de l’électricité, et que l’épaisseur de sa partie pleine soit partout la même; et nous désignerons par a le rayon de la surface extérieure, et par b celui de la surface intérieure, de sorle que a — b soit cette épaisseur constante. Si l’on place en dehors et en dedans de ce corps d’autres corps électrisés, en nombre quelconque, il se formera une couche électrique très-mince à chacune de ses deux surfaces, et le problème que nous nous proposons de résoudre est de déterminer : i° l’épaisseur de la couche fluide en un point donné sur l’une ou l’autre surface;

2 ° les attractions ou répulsions exercées par celte sphère, sur un point

donné déposition , en dehors ou dans la partie vide intérieure.

Soit r la distance d’un point quelconque M de l’espace au centre de la sphère que nous considérons, 9 l’augle compris entre la ligne qui joint ces deux points et une droite fixe menée par le même centre, 4, l’angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan fixe mené par la seconde, de sorte que r, 0 et 4 soient les trois coordonnées polaires du point M. Supposons que les angles 9 et 4 deviennent 9' et 4' relativement à un point M' de la surface extérieure dont le rayon est a , et 9" et 4 /// par rapport à un point M" de la surface intérieure dont le rayon est b ; soit p' la distance de M à M', p" la distance de M à M", et par conséquent

p'* = r a — 2 ar (cos 9 cos 9' -f sin 9 sin 9' cos (4 — 4 / / ) + a> *

p"* =r î — 2 br (cos 9 cos 9" -f sin 9 sin 9" cos (4 — 4 // 1 + £*.

Représentons par a,' l’épaisseur de la couche fluide au point M', ou plutôt le produit de cette épaisseur par la densité du fluide électrique, lequel produit sera régardé comme positif ou comme négatif, selon que 1 électricité en ce point sera vitrée ou résineuse; représentons de même par Ç>" l’épaissenr de la couche électrique au point M" : si l’on prend les intégrales

J % J~yr a* sin 9' dl’ d \', s ‘ a ^ ^ ^4">

depuis 9' = 0, 9 // =ro, 4 / = 0 * 4 //==0 * jusqu’à 9 , = t, 9" = t, 4 /;= 2r, 4 " = 27r > on on déduira ensuite, par la différentiation, les composantes des actions exercées par les deux couches électriques sur le point M. De plus, en appelant E l’excès du fluide vitreux sur le fluide résineux, contenus dans ces deux couches, lequel excès sera toujours égal à la quantité donnée d’é-

So ClKTÉ Philo MATiQrE.

Avril 1824.

lectricilé qui aura été communiquée â la partie pleine de la sphère, on aura

E = a' jja' sin 9' di' d\' + b'fft" sia 9" dY d\"-, (i)

les intégrales étant prises entre les limites indiquées.

Soit encore V la somme des particules électriques que contiennent les corps placés en dehors de la sphère creuse, divisées par leurs distances respectives au point M, et prises avec le signe -f ou le signe —, selon qu’elles sont vitrées ou résineuses; désignons par U la même quantité relativement aux corps placés dans l’intérieur de celte sphère; les différences partielles de ces deux fonctions de r, 9 et 4> prises par rapport à ces coordonnées de M, exprimeront les composantes des actions exercées sur ce point par ces deux sortes de corps; si donc on fait, pour abréger,

<p = V -f- U -J- a a j'j -- 1 sin 9 ' d) ' d 4 ' -f b x JJ —-— sin 9" dû" d^'\

ce seront les différences partielles de cette quantité <p, qui exprimeront les forces totales appliquées au point quelconque M. Mais pour réduire en série chacun des quatre termes qui la composent, il faudra avoir égard à la position du point M, et satisfaire, dans tous les cas, à la convergence de ces séries.

Supposons en premier Heu que le point M appartienne à la partie pleine de la sphère creuse; ou aura alors r <(aet^>ù, et, par conséquent, en séries convergentes :

H-— Y '* d-— Y', + etc.,

■ = — + — Y", + — Y", + — Y 1 ', + etc.;

les coefficients Y,, Y' a , Y' Jt etc., étant des fonctions de la quantité cos 9 cos 9 -f sin 9 sin 9 cos (4 — 4 )» ct h-s coefficients Y",, Y a , Y 3 , etc., représentant les mêmes fonctions de cos 9 cos 3 ' -I- sin 9 sin 9 ' cos (4 — 4 )• Si donc nous faisons, en général,

Jj'x Y'j sin 9’ t/9 d\' = A i( JJ ’ Y." sin 9 ’ dï' d\' ®i» ( 2 )

i étant un nombre entier ou zéro , nous aurons

fi JL sin 9' rf9' = — A 0 -f JL A. + Jl A. + -^-A, + eto, J J p f ci a a a 3 a 4

JJ sin 9" d 3" d\" =

B 0 H-— B, -J- — — B 2 H—-j* B 3 4 etc.

p* /pi rp 1 *

Comme les points d où émanent les forces extérieures sont plus éloignés que le point M, du centrede la sphère creuse, et qu’au contraire les

centres des forces intérieures sont plus près de ce centre que le point M, il faudra, pour la convergence des séries, que les quantités Y et l relatives à ces forces, soient développées, la première suivant les puissances croissantes de r, et la seconde suivant ses puissances décroissantes; ainsi nous aurons

V = V 0 4 rV, 4 r a V 2 4 ** 3 V 3 4 etc.,

U = — Uo 4 — U, + -4- ü, 4 ü, 4 etc.;

les coefficients, dans ces deux séries, étant des fonctions données de 9 et 4'» à l’exception des premiers V„ et U 0 qui seront des constantes aussi données. La quantité U„ représentera l’excès du fluide vitré sur le fluide résineux, contenus dans la totalité des corps que l’on a placés dans 1 intérieur de la sphère creuse, excès que nous représenterons par L' : cela resu te c e ce que la limite de U par rapport à l’accroissement de r, qui est ici Je

premier terme — ü. de son développement, doit être égale, parla nature de cette fonction, à cct excès de fluide divise par la distance v. Le point M étant donc situé dans la partie pleine de la sphère creuse, la valeur de <p qui s’y rapporte, sera

*=rV, + aA 0 + r (V. + A.) +r’ (V, -f- -i h) + ^ (V, + ^A 3 ) 4 etc. -f -l(u 0 + b * B„) + — (U, 4 b z B.) 4 ^ (U, 4 V' B 2 ) 4 — (U 3 4 B,) 4 etc.

Or, la condition connue de 1 équilibré électrique dans cette matière conductrice consiste en ce que la force totale qui agit en chacun de ses points doit être nulle, ce qui exige que cette valeur de f soit une constante par rapport aux trois coordonnées r, G et 4 du point M; donc, en appelant C cette constante arbitraire, il faudra qu’on ait V o 4 rt A 0 = C,

et que le coefficient de chaque puissance positive ou négative de 1 , soit égal à zéro dans la série précédente; d ou 1 on conclut généralement

i étant un nombre entier ou zéro. Ces dernières équations feront connaître les valeurs de toutes les quantités A,, A a , A 3 , de. , B 0 , B,, i- 3 ’ J! c ’ Quant à la valeur de A 0 , elle sera donnée par l’équation (»)• enet, comme on a Y' 0 = 1 , Y" 0 = 1 , il en résulte

A. = j'f'z' s in 9'' di' d\>, R„=:f)é" si» 3 "

J équation (ij est donc la même chose que E = a’ A 0 + b' B 0 ;

donc, à cause de 6 ’B 0 = — U 0 = — E', qu’on tire de la seconde équation (3), on aura

ce qui pourrait aussi servir à déterminer la constante C, s’il était nécessaire de la connaître.

Maintenant représentons par x et G ce que deviennent x r et G" quand on y fait 9' = 9" =9, 4/' = 4 ," = 4 / » en sorte que x et G soient les épaisseurs des deux couches électriques, aux points qui se trouvent sur un même rayon de la sphère creuse, dont la direction est déterminée par les angles quelconques 9 et 4'. Toutes les valeurs de ces angles étant comprises depuis 9 = o et 4/ = o, jusqu a 9 = z et 4> = on aura, en vertu des équations (a), et d’après une formule connue, (*)

01 = (A„ + 3 A, + 5 A* + 7 A, + .. + (21+1) A* + etc),

+ ( 2 * -f 1 ) Bf + etc ) ;

B,, etc., leurs valeurs tirées

mettant donc pourA 0 , A It A at etc., B 0 , B des équations (3) et (4), nous aurons E + E' i f

“ = — ;^ 3V . + 5<*V, + 7 «-V, + ... + ( 2 i + 3)«*V i+1 etc.

ü< + etc.

et, de cette manière, la distribution de l’électricité sera connue sur les deux surfaces de la sphère creuse. On peut remarquer : r que l’épaisseur de lu couche électrique sur la surface intérieure est indépendante des forces extérieures comprises dans V, et du rayon a de la surfaee extérieure- 2 ° que l’épaisseur relative à cette dernière surface ne dépend que de son rayonj des forces extérieures et de la totalité E -f E' du fluide appar-

cette dernière épaisseur serait constante, et elle aurait pour valeur :

l\za*

(*) Journal de CÊcoic Polytechnique, 19 * Cahier, page i45.

de sorte qu’elle resterait la même quelles que fussent l’épaisseur de la sphère creuse, et la disposition des corps électrisés, placés dans son intérieur : elle ne changerait pas si l’électricité passait par étincelle de l’un de ces corps dans un autre, ou dans la partie pleine de la sphère.

Considérons actuellement le cas où le point M est situé au dehors de la sphère creuse, et où l’ou a, par conséquent, r^>a et^>ù. Il faudra

développer U et —— suivant les puissances décroissantes de r, comme

dans le cas précédent; mais la quantité—— devra être aussi développée suivant ces mêmes puissances, et l’on aura, en série convergente,

-V = — + -4-Y', + —pY'» d—+ etc.;

d’où il résultera ^

(! —— sin 0' dû' d\' =-A 0 H-A, H-— A a -j-— Aj -J- etc.

JJ p' r r 1 r 3 r*

D’après cela, la valeur de <p relative à cette position de M, sera

- A 3 -f etc.

+ 1(U 0 + b- B.) + ~ (ü, + V B,) + ^ (ü,+ é* B,) + -L (0, + i'B,) + etc.

En veftu de la seconde équation (3), la seconde ligne de cette expression sera composée de termes nuis ; et en mettant dans la première, à la place de A 0 , A,, A,, etc., leurs valeurs, on aura

?=V + ÜH-^(«V, + -V, + ^V J +...+^V +etc.Y

On conclut de là que les actions totales exercées sur les points extérieurs, ne dépendront, comme l’épaisseur de la couche électrique à la surface extérieure , que du rayon de cette surface, des forces extérieures, et de la totalité du fluide appartenant à la sphère et aux corps placés dans son intérieur; elles seront indépendantes de la distribution de 1 électricité dans ces corps, et les mêmes, abstraction faite des forces extérieures, que si les deux fluides étaient réunis au centre de la sphère creuse.

Il nous reste enfin à considérer le cas où le point M est situé dans 1 espace vide que cette sphère contient. On a alors r b et a . Les

quantités V et —— devront être développées suivant les puissances croissantés de r, comme dans le premier cas; de plus, la quantité —— devra

cire développée de la même manière, et l'on aura, en série convergente,

et par conséquent

rr Q" i y y * 3

JJ— si " a " dy ' = J B ° + B ' + -jr B * + Bî + f tc ;

La valeur de <p relative à un point M intérieur, deviendra, d’après cela,

<P = V 0 -h <*A 0 + r(V,.+ A.) -f r' V a -j -A* + r 3 V 3 — r A 3 -J- etc.

+ L r + bB 0 + r B. + — B,

B, + etc.;

la première ligne disparaîtra en vertu de la première équation (5), et en mettant pour B 0 , B,, B a , etc., leurs valeurs tirées de la seconde équation (5), on aura

-Ut +etc.

ce qui montre que l’action exercée sur les points situés dans l’intérieur de la sphère creuse, ne dépendra que de son rayon intérieur et des forces intérieures. Si toutes ces forces étaient nullcs, il n’y aurait aucune action exercée sur ces points; de manière qu’un électromètre placé quelque part que ce soit dans l’intérieur de la sphère creuse, n’indiquerait aucun signe d'électricité, quelles que soient d’ailleurs l’épaisseur de cette sphère et la grandeur des forces extérieures. Comme un plan peut être regardé comme une sphère d’un rayon infini, il en résulte qu’une feuille métallique d’une très-grande étendue , et d’une épaisseur quelconque et partout la même, doit empêcher l’action de ces corps de se transmettre; ou , pour parler plus exactement, son action devra neutraliser celle de ces corps, de telle sorte que des corps légers n’éprouveront ni attraction ni répulsion , lorsqu’une feuille métallique sera interposée entre eux et des corps électrisés, pourvu que les uns et les autres soient très-éloignés des bords de celte feuille.

Il serait à désirer que les théorèmes que nous venons de démontrer fussent vérifiés par l’expérience. Pour que les résultats relatifs aux points intérieurs soient conformes à l’observation, il suffira que la surface intérieure du corps que nous avons considéré soit sphérique, quelle que soit d’ailleurs sa forme extérieure ; et réciproquement les propositions qui se rapportent aux points intérieurs, devront s’accorder avec l’expérience, lorsque ce corps sera une sphère renfermant un espace vide de forme quelconque. S’il était formé d’une poussière métallique, mêlée à une

substance non conductrice de l’électricité, à de la cire, par exemple, les équations de l’équilibre électrique renfermeraient un terme dépendant du rapport qui existerait entre le volume de la poussière métallique et celui de la cire, et ces théorèmes n’auraient plus lieu. D après la théorie du magnétisme, exposée dans mon Mémoire sur celte matière (*), ce mélange nous représente la composition des corps susceptibles d’aimantation; c’est pourquoi les résultats précédents ne conviennent pas: rigoureusement au magnétisme; mais ils devront d’autant moins s’écarter de l’expérience, que le rapport de la somme des volumes des éléments magnétiques au volume entier de chaque corps aimanté, s’approchera davantage d’étre égal à l’unité. Nous renverrons sur ce point au Mémoire cité, qui fera partie du volume de l’Académie des Sciences actuellement sous presse.

Les séries par lesquelles nous avons exprimé les valeurs de p, x et 6, peuvent facilement se ramènera la forme finie. En effet, la quantité V se compose de termes de cette forme :

jjr’ — 2 hr

cos 9 cos g + sin 9 sin g cos (v)/

II , h, g, k étant des quantités indépendantes de r, 9 et •»]/, qui pourront varier d’un terme à un autre; si donc on indique par la caractéristique 2 , la somme de tous ces termes qui composent la valeur complète de V, on aura, en l’égalant à son développement ci-dessus,

r* — 2 hr ^ cos 9 cos g + sin 9 sin g cos ( -^ — k ) ^ + h* J 1

= V 0 + rV, + r* V* + r* V 3 -f etc.;

d’où l’on déduit

£r* —- 2 hr ^cos 9 cos g -f-sin 9 sin g cos (-^ — k) ^ -f /i’ J 1

= 3 r V, + 5 r 9 V a -f- 7 r 3 V 3 + ... + ( 21 + 1 ) r V -f- etc.;

au moyen de quoi l’on aura E + E<

— 2 ahi cos 9 cos g -f sin 9 sin g cos (4'

(*) liullctin du mois de janvier dernier.

et la valeur de p, relative aux points extérieurs, deviendra H ~h

r I~a + 2 ha'

-j^cosBcosgr-f sin3 sin g cos(-^--Æ)^ + h' J *

De même si l’on désigne par IF, h', g', k ', ce que deviennent II, h, g, k, relativement à la fonction U, de sorte qu’on ait

v IF

£»’* — a h' r ^cos 8 cos g’ + sin 8 sin g' cos (^ —+ /i/’J *

= 7 ü ° + ^ U ' + ZI U - + ii + etc.;

on en déduira

— 2 /Fr

cos 9 cos g' + sin 9 sin g

' cos — k f )

la valeur de £ deviendra

= -H ü -+7 ü ' +7 Ü -+ ••• +—T-ü.+ etc.);

r I cosücosÿ' + sinâsinÿ'cos (-j.

et celle fie ÿ, qui sc rapporte aux points intérieurs, prendra la forme • II * T H '

eos 9 cos g ' -f sin 9 sin g ' cos (•j' — k

Lorsque les forces extérieures et intérieures émaneront de tous les points d’un ou de plusieurs corps électrisés, ou seulement des points de leurs surfaces, les quantités H et H' seront infiniment petites, et les sommes 2 se changeront en des intégrales définies. Si ces corps sont conducteurs de l’électricité , la distribution des deux fluides à leurs surfaces dépendra de leur influence mutuelle , et de celle de la sphère creuse, et l’on ne pourra faire usage des formules précédentes qu’après avoir déterminé cette distribution , ou l’épaisseur de la couche électrique en chaque point de ces surfaces; problème qui ne pourra se résoudre, dans l’état actuel de l’analyse, que dans des cas très-particuliers.