Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini

Le travail que nous publions aujourd’hui, et qui est consacré à l’étude des fonctions entières, se divise en deux parties. Dans la première nous exposons, en les complétant et en les précisant sur quelques points importants, les résultats généraux obtenus jusqu’à présent dans cette théorie *), nous bornant toutefois, pour la plupart des cas, aux fonctions de genre fini. Nous nous sommes constamment efforcé, dans notre exposition, de choisir les méthodes les plus naturelles et les plus élémentaires, et de présenter les raisonnements et les calculs sous une forme aussi simple que possible. Nous espérons avoir contribué par là à faciliter dans une certaine mesure l’accès de cette belle théorie, qui est certainement appelée à jouer dans l’Analyse un rôle des plus importants.

Nous nous permettrons de signaler les parties suivantes de notre exposition qui nous semblent mériter une attention particulière, soit pour les résultats établis, soit pour la simplicité des démonstrations.

A l’aide d’une inégalité tout à fait élémentaire (n° 2), qui n’est d’ailleurs que la généralisation d'une autre dont on s’est servi antérieurement pour le même but,

l) ICayant pas l’intention d'écrire un historique complet, nous nous contenterons de citer les travaux suivants, qui marquent les progrès successifs de la théorie qui nous occupe:

H. Poincaré : Sur les fondions entières (Bulletin de lu Soc. math, de France, 1883).

J. Hadamard : Essai sur l’étude des fondions données par leur développement de Taylor ( Thèse, Paris 1892).

„ : Elude des propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction consi¬

dérée par Biemann (, Journal de Mathématiques, 1893).

E. Borei. : Sur les zéros des fondions entières (Acta mathemalica, t. 20, 1897).

,. : Leçons sur les fondions entières (Paris, 1900).

Citons encore un théorème important de M. S CH OC ( Comptes rendus, t. CXXV, 1897), ainsi qu’une thèse allemande: Ueber die Théorie der Hadamard' schen Funkiionen etc. (Gottingen 1898), par M. v. Schaper, élève de M. Hh.bert,

nous arrivons à démontrer (n° 3) en quelques lignes les résultats de MM. Poincaré et Borel concernant la limite supérieure du module d’un produit de facteurs primaires.

Au n° 6, nous donnons une proposition nouvelle qui constitue un complément essentiel d’un théorème de M. Hadamard, et dont la démonstration n’est pas sans difficulté. Cette même proposition nous permet plus loin (n° 20) de généraliser notablement les résultats connus relatifs à la détermination du genre d’une fonction entière donnée par son développement de Taylor.

Afin de trouver des limites inférieures pour les modules des zéros d’une fonction entière dont le module maximum croît moins vite qu’une expression donnée, nous avons eu recours au beau théorème établi par M. Jensen *), théorème dont nous donnons une démonstration très simple * 2) <n° 8), en le rattachant aux principes les plus élémentaires 'de la théorie des fonctions analytiques.

Les considérations des n08 12—14 servent à préciser beaucoup les résultats de MM. Hadamard et Borel relatifs au rapport qui existe entre la croissance d’une fonction entière et la densité de ses zéros 3), ainsi que les propositions de M. Borel sur les fonctions à croissance régulière.

Enfin nous développons, aux nos 16—18, une méthode à la fois élémentaire et exacte pour étudier la croissance d’une fonction définie par une série de Taylor. +)

Dans la seconde partie de notre travail, nous cherchons à préciser davantage les résultats de la première, en resserrant autant que possible los diverses inégalités que nous y avions établies, et en calculant effectivement les valeurs des constantes qu’elles renferment. Nous y arrivons dans bien des cas, soit à l’aide des expressions asymptotiques que nous a fournies la théorie de Cauchy pour certains produits infinis, soit par une étude approfondie des inégalités tirées du théorème de M. Jensen. Cependant le temps malheureusement trop court que nous avons pu y consacrer, ne nous a pas permis de poursuivre jusqu’au bout toutes les recherches que nous avions en vue, et pour certaines questions importantes, dont la solution définitive semble présenter des difficultés considérables, nous avons dû nous contenter de quelques indications sommaires. Nous espérons toutefois que les résultats déjà acquis par nous, et les méthodes qui nous y ont conduit, ne seront pas sans utilité pour ceux qui désirent pénétrer plus loin dans cette théorie.

b Acta mathematica, t. 22.

2) Au moment d’achever l'impression de notre Mémoire, nous nous sommes aperçu qu’une démonstration tout à fait analogue a déjà été donnée par M. J. Petersen ( Acta mathematica , t. 23).

3) Cf. la note de la p. 24.

B Cf. la seconde note de la p. 36.