II. 12. 13. 14. Ib
|r«ligne: asrB4t i-fe. . . .
2« Domioicalet
3* Leur chilTie alphabétique
Îf 28. . . t 21 32i3r.8O.29.28 b* Le rang des termes Miccetalfs.| I 2. 3. 4. b
Il 8*agit maintenant de trouver le chiffre de la Dominicale, de 3* ligne, pour une année donnée, de !■* ligne , mise sous la forme 4s + b. Or, on voit facilement qu'on ne considérant , dans Tannée bissextile , que le moindre chiflQre, celui dos dix derniers mois, on a :
Pour la V trancbede Ss=0:rs:at2 = 4Stbt2sSt4Stbt2s£bSîbt2 poarla2c - deS = I : r=rat3 = 4Stbi i =St4Sf bt2== bSf b t2 poorlaS* - (leSes 2:r = at4s:4Stbt4=Sf 4Stbt2s=bStbt2
et Ton aura indéfiniment :r = bStb4 2.
La 4* ligne étant une progression par différence décroissante de 1 , dont le 1*' terme est 7 n + ^ ; son tormc du rang r, est Dominicale + 7n, ou simplement : Dj = 7n + 4 — (r- l) = 7n + 4 — 5s — b— 1 «7n + 3 — 5s— b... formuk2, en se rappelant que, pour Tannée bissextile, on arrive au moindre des deux chiffres.
Dans certains auteurs, on trouve la formule : D' = 7 n -h 3 — a — ^±\ ; et la notation
s'employer dans une équation; mais si Ton remplace a par sa valeur 4 s-f-b, la formule devient notre formtjUe^ :
( —\ ne peut
\4 Jq
Pour employer noire formule 2, il faut donc totijoiirs lînjtlrc l'année a sous la forme 4 s -H b.
Pour 1863 = 4 x 465 + 3, on aura Di = 7 n + 3 — 2328 = 7 n — 2325 = 7 n — 7 x 333 + 6 = 6, F, pour les Russes el les Grecs.
Pour 1864, B = 4 X 466 4- 0. on aura Di = 7 n +
3 — 2330 = 7 a — 2327 =7n-7x333 + 4=4 ou D, 2* Dom. , la 1" élant alors E, et c'esl E D pour les Russes el les Grecs.
Nous retrouverons ces Dom. par les formules suivantes: 64*. Le nombre 5 i pouvant ainsi devenir très grand , nous allons faire une aulro suppostlion. et mettre a sous la nouvelle forme ; 7 l + c; d'où 4s + b = 7t + c.
Introduisons t dans la formule 2, an lieu de s, mais sans avoir de fraction ; on a :
La formule 2, mutlipli<ÏG par 4, devient : 4D' = 4x 7n + 12 — 4 x5s — 4 b, et remplaçant
4 X 5 s ou 5 X 4 s par sa valeur en t, on a r
4Di— I2 = 4x 7n — 5x7t-5c + 5b — 4b=!4 X7n— 5x 7t-5c-(-b = 7(4n — 51)— 5c+b.
Heprésentons l'indcHerminée 4 n — 5 1 par un seul nombre m, et I'od aura 4DJ — 12 = 7m — 5c + b.
Le premier membre étant un multiple de 4, le deuxième doit l'ôlre aussi . et unecertainefonci ion de b et de c ; faisons donc4(Di-3) = 7m— 5c+b=4(Bb+Cc+7 p),et B devra convenir à toute valeur de b, et C à toule valeur de c.
Faisons d'abord b=0 pour ne conserverque C; on aura: 7 m — 5c = 4Cc + 7i)' 7 m ■±,7p'=c(4 C+5), m + p' =c X — = —
4C + 5 or m + p' est un nombre t'oliiT, il faut doiicque^ — = —
soil aussi un nombre entier, ce qui exige que Ton ait : C = 4ou4 + 7p; Faisons maintenant c = o» pour no conserver que B,
el Ton aura :
7m-hb=4Bb±7p%7mHF'7p' = b(4B— 1),
m 4- p' = b X =— ; or m -h p' est un nombre entier, le deuxième membre doit donc Tètre aussi , ce qui exige que l'on ait : B =» 2 ou 2 + 7 p. L'équation cidessus en B et en C deviendra donc •
4 (Di — 3) = 4 (2 b -i- 4 c ± 7 p), d'où DJ = 2 b -h 4 c + 3 + 7 p , formule 3, dans laquelle b el c se déduisent du millésime seul, par une opération mentale : 6 de 4 s + b, c do 7 l + c.
Nous sommes arrivé à cette formule 3 en recherchant la démonstration des formules de Gatiss, dont nous ferons mention à la fin de ce chapitre.
65*. La table des 35 calendriers de Francœur donne ces Dominicales Juliennes de Tan l"*' à l'an 1582; mais nous avons vu que la Réforme Grégorienne a changé la succession régulière des Dominicales. Pour les années postérieures, dans les pays qui n'ont pas adopté la Réforme, il faut placer ces années dans la période de 532 ans, à partir de Tan 1" (26); ainsi pour 1863, par exemple, on a 1863 == 3 X 532 + 267, et il faut prendre la Dominicale de 267 qui, dans la susdite table, est F, comme nous Ta donnée la formule 2.
Et par la formufe 3, pour 1863 = 4 x 465 + 3, et
= 7 X 2 66 H- 1, on a b = 3. c = 1 elencore Di = 6 H- 4 + 3 — 7p= 13 — 7 = 6 ou F.
Pour Tannée 28 et ses multiples, on a b et c == o, el la formule donne bien Di := 3 ou C pour Dominicale des dix derniers mois, on D C pour les deux Dominicales.
' De la [hmiakalt Gnijorienne.
66*. Nous avons d^jii dit (35) que par la suppression des 10 jours, par le passage du A octobre au J5, la Dominicale de G élait devenue C, et que son chiffre urait ainsi augmenté de 3 unités, il Tant dune d'abord ajouter 3 au chiffre de la Dom. Jul. pour avoir la Dom. Grég.; et comme on supprime certains jours bissextils, il faut encore ajouter 1 à la Dom. Jul. pour chacune de ces suppressions. Nous avons nommé N' ces bissextiles (55), et donné leur série; si l'on r<^préscnteparD(la Dom. Grég., par D' la Dom Jul , on aura d'abord : Dk = D» + 3 +N' ~ 7 p, formule i.
Cherchons, par exemple, la Dominicale Grégorienne
de 1863; sa Dominicale Julienne (59) esl N» 24, ou F ou 6;
avant 1863, ît y a deux bissextiles supprimées, celles de
1700 et 1800; et l'on a eu ci-dessus : N' = 2, on a donc :
D« = 6 + 3 + 2 = H ou 4, D.
On trouve dans Rivard (page 20) une table des Dominicales Grégoriennes depuis l'an 1582 jusqu'à l'an 5699; et dans la table de Francœtir, ces Dominicales jusqu'à l'an 2200, el pour 1863 c'est bien D.
Puisque nous avons trouvé la formule 3 pour la Dom. Jul., nous pouvons l'introduire dans la formule 4 de la Dominicale Grégorienne, et celle-ci dcvii'ndra :
D» = 2 b -h 4 c + 6 + N* - 7 p.. formule S.
Pour 1863, par exemple, nous avons eu h = ^f, c = 1,
El De = 6-1-4-1-6 + 2— 7p = 18 — 14 =4 ou D.
67*. Nous avons ensuite (56) considéré les deux chiffres des centaines , représentés par k, et mis k — 16 sous ta forme 4 s* + b-, ce qui nous a conduit à N' = 3 s' -f h', et la formule 5 devient :
D« = 2b + 4c-|-6+ 3 s'-»- b' — 7 p... formule 6.
Pour 1863, k = l8.k — 16 = 2= 4 s' -+- b', s' = o. b' = 2. N' ou 3 s' + b' = 2,
D«dei863=6 + 4 + 6 + 2- 7p = i8- 14 = ou4D.
Pour 3400, dernière année de noire Grande Table des Pâques (16), on aura :
b==o.c=5,k=34,k~16r=18=4s'+b'd'oùs'=4.b'=2, N'-=l4,etD«-=20+6+14==40— 35=5ou E, conrinne dans notre grande table, el comme dans Rivard (p. 20).
De la Marque dM années et des mois,
68*. Voici ce que porte l'article 46 de notre Mémoire sur le Calendrier musulman (Bachelier, Paris, 1857) :
« /.a table chronologique de CArl de vérifier place tou- » jours un chiffre à côté de la date d'un 1^^ mubarrem » (ou du l" jour de l'année musulmane); c'est la marque » ou le caractère de Tannée arabique , et nous devons en « faire connaître la signification.
D Les astronomes nomment caractère de Tannée ou du » mois, la férié ("ou le jour) qui commença Tannée ou » le mois {Dictionnaire des dates). Le P. Petau emploie » toujours le mot latin character; mais les auteurs français » nomment plus généralement ce V^ jour ou le chiffre » qui le représente : la marque de Tannée ou du mois. • ('Voir calendrier de Francœur, p. 275.)
De ce que Tannée l'^" de Jésus- Christ a commencé par un Samedi ou férié 7, on a eu 7 pour marque; ou a pour formule des marques des années Juliennes : MideTànj = J -1 + ?J — ^"j —7 p.
Comme on sait d'ailleurs que, dans ce xiV siècle, le calendrier Julien est en retard de 12jourssurle calendrier Grégorien, el qu'ainsi noire 13 janvier ou M» -H i2 n'est que le 1" janvier ou M* des Russes ou des Grecs , on a :
M«=- MI— 12j = J - 1 + /J-^N — 12 - 7 p
= J — 1 H- /LzLl^ + 2 — 7 p; ce qui donne :
Ml 1863 = t862 + /l^N + 2 — 7 p = 1862 + 465
+ 'i - 7 p = 2!129 — 7 p = 5 jeudi, ce qui est exact.
On trouve duns plusieurs ouvrages cl dans les almanachs, la Dominicale de l'année, Dominicale donniîe par nos formules précédentes ; et celle Dominicale conduit facilement k la Marqw, comme le moQlre te ptttil tableau suivant pour 8 années conséculives :
N. doC» Ch. I An. Créi.
D(»iiijnica!o[
IWI
IMl
IM3
IMlB
CIBl
Mercredi
jOTji
Vendredi
Lundi
On voit que la somme conitanU de la Dominicale et de la marque = 2 ou 9, d'où M» = 9 — Di ou Di + Mi = 9.
Pour 1663. Dominicale = D ou 4. od a, etc. , Mi =' 9 — 4 = 5, jeudi, comme ci-dessus.
Reekenie iet P&qua toit Julienne* toit Grigoriettnet lur te calendrier; il d'ubord du Comput Ecciésitulique.
69*. Les almLDBcbs Grégoriens donnent chaque année le Comput EcdéiiasUqw , c'esl-A-dire : 1° le Nombre d'or('); 2° rEfMicle Grégorienne (*); et 3° la Dominicale Grégorienne (^); (ouïes choses nOceSi^atres pour trouver la Pâque Grégorienne sur le tableau du cateadrier des 365 jours , et que nous avons enseigné à calculer ; i' Quant à la PAque Julienne, le Comput donne le cycle lolaire ou des Dominicales, qui donne la Dominicale Julienne; VEpacte ancienne, nécessaire pour trouver la PAque Julienne , est ddus la colonne 1500 avant ta Réfor-
(') Rivsrd, p. 38, donne ce Nombre dV, de l'an I ii l'an 5699. (') Celle Ëpacte est donnée par la Table étendue de* Epactet, d'aprèa le N. d'or et dans la Théorie du Calendrier, de Francœur, (>) Et aussi dans Rivard, p. SO, de l'an 1583 i l'an 5699.
mation de la Table ilendue des Epacles ('); 5® enfin, le Comput donne Vlndiction romaine, qui nous est inutile, mais que le Dictionnaire des dates (11, page 118) fait connaître eonnme il suit :
« Indiction, période ou cycle de 15 ans^ nommée ainsi » d*un tribut que les Romains levaient tous les ans dans 9 les provinces, pour fournir à la paye des soldats qui^ » avaient 15 ans de service.
B Plus tard, on conserva le terme ô'indiclion; mais » Taccepiion en fui changée; il ne signifia qu'un espace » de 15 ans. Celte époque fut établie en Orient sous le » règne de Constantin. Ce ne lut que dans le vi* siècle » qu'on en fit usage dans la Gaule... Elle n'est plus d*usage » que dans les Bulles du Pnpc. » (\ouveau Dictionnaire des Origines,)
Les Papes la comptent du 1'' janvier, et sgoutent 3 au
millisime de Tannée; ainsi en 1863. c'est /i863 + 3\ ^ g,
Recherches des Pâquss Juiiennes.
70*. Commonçons par Tannée du concile : 325. Rivard donne le N. d*or 3 , el directement c'est
\ 19 Jr \19/r
Francœur donne : Dominicale C, comme nous la trouverions par la formule 3 (62).
Employons d'abord les Epacles anciennes :
Francœur donne cette Epacte : 22 ; et le N. d'or 3 donne aussi cotte Epacte par la colonne iSOO avant la Réformation.
Sur le calendrier lunaire perpétuel, mois de mars et avril, l'Epacte 22 est vis-à-vis le 31 mars, dont le Terme pascal est le 13 avril, lettre E, el après cette lettre, la
(1) Ri aussi dans la Théorie du Calendrier de Francœur^ de Tan i^r à Tan 158i2.
Dominicale C se trouve sur le 18 avril qui csL ainsi le jour de Pâques, comme le donne le calendrier N"* 38, indiqué par les Aeux colleclions des 35 calendriers. Cherchons la Pàque Julienne de Tannée courante 1863; son N. d'or esl /1863 4-Jn =, /1864\ = 2 (*), et ce N. d'or
\ 19 Jr [ 19/r donne TEpacte ancienne 11 par la colonne 1500 avant la Réformation ; nous avons trouvé sa Dominicale par la formule (3) (63).
Sur le calendrier perpétuel , l'Epacte ancienne 11 esl visà-vis le 12 mars, Terme pascal : 25 mars, lettre G, et la Dominicale F vient ensuite sur le dimanche, 31 mars Julien, c*est le calendrier n^ 10 qui a sa Pâque le 21 mars +10oule31 mars Jul.O. Ce jour esl le 31 mars+12=12 avril Grég. de 1863, et dans le calendrier N"* 15 de la présente année, ce 12 avril est bien un dimanche. Notre Pâque Grég. est le 5 avril, 8 jours avant celle des Juliens.
zr. Avant Tépoque de la Réformation Grégorienne, et la création du système des 30 Epactes^ on ne pouvait calculer la Pâque sur le calendrier lunaire qu*au moyen des Epactes anciennes, alors en usage; mais puisque V Equation des Epactes (44) a permis de placer toutes^ les années chriHiennes dans la Table étendue des Epactes^ de Clavius. on peut croire qu'il est possible de calculer aussi les Pâques Juliennes au moyen des E[)actes Grég. mêmes.
Nous avons essayé celte recherche sur les 3 années : 325 , 325 + 532 ou 857, et 857 + 532 ou 1389 , et nous avons bien trouvé une même Pâque, celle du 18 avril; mais nous avons essayé la même recherche sur les 3 an* nées : 1400, 1400 — 532 ou 868, et 868 — 532 ou 336, et
{') C'est nécessairement le même nombre d'or que pour 1863 Grég. (*) Nous avons trouvé celte même Pâque des Juliens dans notre Table des Pâques de Tan i à Tan 3400, mentionnée ci-dessus (art. 16).
nous avons trouvé pour 1400 le 11 avril, et pour les 2 autres le 18 avril, et celte dernière Pàque doit être celle des 3 années. Nous pensons donc qu'il faut s'en lenir h remploi des Epaetes anciennes.
Reehirche des Pâques Grégoriennes.
72*. {^our l*année Grégorienne courante : 1863, on a N. d'or = 2 comme ci-dessus.
L'année étant dans la colonne C de la Table étendue, son Epacte pour Nombre d'or 2 est xi , comme dans la collection Francœur.
Par la formule 6 (65), nous avons trouvé la Dominicale D comme la donnent Rivard et Francœur.
Sur le calendrier lunaire, TEpacte xi est vis-à-vis le 20 mars, Terme pascal : 2 avril , A ; la Pâque est ensuite donnée par la Dominicale D placée sur le 5 avril , comme l'exigent les deux collections des 35 calendriers qui donnent pour 1863 le calendrier N» 15, d'où la Pâque, le 15 avril — 10 jours.
Annonce des Formules de Gauss.
7i*. Nous venons de voir comment on peut toujours trouver sur le calendrier lunaire perpétuel, la date de la Pâque, soit d'une année Jul., soit d'une année Grég., au moyen de la Dominicale et de l'Epacte, celle ci étant donnée par la Table étendue des Epacles de Clavius, au moyen du Nombre d'or; mais on n'a pas toujours cette table à sa disposition : il est donc important d'arriver à la date de la Pâque, au moyen du millésime seul de l'année, et nous avons appris d'abord en 1824 par le Bulletin des sciences de Férussac, de ladite année, et retrouvé dans V Astronomie de Delambre^chtap. 38. art. 66) que l'allemand Gauss avait donné, mais sans démonstration, des formules pour trouver la Pâque au susdit moyen du millésime seul
IV. Rois, XXT, 27. a En la 37* année de la captivité de » Joacbfm, roi de Juda, etc. u
Ezécbicl, I, i. « En la 30* année lorsque j'étais an
ù milieu des captifs b
Ezéchiet, xxxiii, 21. « la 12* année de notre trans-
D migration ■>
4* Par les années du rè^ne des rois :
