Mémoire sur les transcendantes elliptiques . Deuxième partie. Par Mr. George Bidone. Lu dans la seance du 7 fevrier 1819

et insèi'è dans le XXIV rolume des Mémoires de £ Académie Royale des sciences, de Turin..

X.Jes formules que j’ai données sur les transcendantes elliptiques , et qui sont imprimées dans le précédent volume des Mémoires de cette Académie se* rapportent uniquement aux valeurs que ces transcendantes acquièrent lorsqu’elles sont fonctions complètes. Dans ces formules je me suis borné à ce que, dans tous les cas, elles donnent, au moins, sept décimales exactes de la valeur de la fonction , en conservant aux paramétres l’expression générale et indéterminée entre des limites assez étendues pour chaque formule particulière.

Ces formules présentées sous la forme d’intégrales définies , avec un petit nombre de termes, ne peuvent fournir le moyen d’avoir un plus grand degré d’approximation , ni faire connaître la loi que suivent les diffère ns termes qui les composent. Pour cela il faut nécessairement avoir les développemens des expressions différentielles qui

mettent en évidence la formation successive des termes de l’intégrale. Ces développemens outre qu’ils donnent la loi des termes , et le moyen d’avoir tel degré d’approximation que l’on veut, offrent encore l’avantage de donner la valeur de l’intégrale sous forme indéfinie , soit par rapport aux paramétres, soit par rapport à la variable.

Ayant de nouveau réfléchi sur celte matière, j’ai reconnu que l’on peut avoir des développemens qui convergent assez rapidement vers la valeur de l’intégrale , quelle que soit la grandeur du paramétre ; c’est-à-dire que les mêmes développemens peuvent servir pour toutes les valeurs du paramétre. Ce sont ces développemens que j’ai' l’honneur de présenter à la Classe dans ce Mémoire. La méthode est la même pour les trois espèces de transcendantes elliptiques. Les suites sont telles que la valeur de chaque terme, dans le cas le plus défavorable , est encore moindre que la neuvième partie de la valeur du terme précédent. La formation et le calcul des termes successifs dç ces suites s’obtiennent par les termes qui précédent dans les mêmes suites , de sorte qu’ayant calculé le premier ou au plus les deux premiers termes de chaque suite, on a les suivans par de simples opérations algébriques.

A la fin du Mémoire je donne les transformations dont j’ii fait usage pour avoir les formules relatives aux fonctions complètes.

PAR M. BIDONE.

De Vintégrale f - — ^ - J yi—

r. En développant le radical \/i— e *z* on a

maintenant en prenant l’intégrale entre des limites quelconques de z comprises depuis z = o jusqu’à z, = 1 e ,

il est facile de voir que les termes successifs du deuxième membre de l’équation précédente formeront une suite plus convergente que la progression 1 :e 2 (i—e) 2 : e 4 ( : e tc.

La quantité e 2 ( 1 —e) 2 est un maximum lorsque e = -i, et dans ce cas la progression devient 1 : 4 *• 4 : etc. : d’où l’on peut conclure que quelle que soit la valeur de e , et quelles que soient les limites de l’intégrale, pourvu qu’elles soient comprises entre z = cr et z = 1 — e , les termes du développement précédent formeront dans tous les cas une suite plus convergente que la progression 1 : L : 1 ;

2. En supposant <? = ~ et en prenant l’intégrale depuis z = 0 jusqu’à z = 1 — e = 7, on a