aa i.3.5 , v
H- 7 /» Zt-7—7 /« 3 « 3
, Celle suite est dans le même cas que celles des n. os 4 et 8 , et elle est toujours plus convergente que la progression z : ~ : etc. , quelle que soit la valeur de e ,
et quelles que soient les limites de l’intégrale, pourvu qu’elles soient renfermées entre z = 1 — e et z= 1.
En supposant e = ~ et en intégrant depuis z = i —<?=i jusqu’à z = i , c’est-à-dire depuis zz = -| jusqu’à iis= 0, on a , même en supposant ct a = — e 2 \ y
* r. 3 ... r 3 r (i- +’u) 1 u 1 du
-+-cc^ * 2.4... 14 111 :J ( 1 -h 2 nu+it 1 )i/ mu + u
I r. 3 ..29 f5 f* (H -u)*u*du
/T, .Vf .—n* T~ m • /7— -:-==<0,00000000000000007.
(c-4-eXl-t-a ) 2 . 4...30 ^ (i-4-2/îK-hw l ;^/mw-4- tt 2 5 '
partant les sept premiers termes donnent dans tous les cas sept décimales exactes , et les quinze premiers termes en donnent quinze.
1 3 . Pour calculer les termes du développement précédent , on a
(r ^riCÿudu /°(’i-4- w )
•2 n iiM-if') 1 y *»«/-+- 7/2 J \/™
t v 2 7 11 du
r ( 1 -h 2 JUH-u 2 )[/ mu+u? J [/mu+u-
~ zn f
En posant donc
* ( 1 -\-uyu dtc
X 1 -+- 2 .nu-\-u*)\/ mu-i-iL *
P (i-f -u'?u du
J ( 1 -^ 2 nu^u l )y tnu+u*
r udu p .
^ [//KK-r-a 2 ^ 5
du, p
./ ==G(ry;
y ’* (i-\-uJu du
(i-h 27 iu-+-u 2 )l/mu+u* "
%)— ^ r Cp—^J~~ 2n • g — fy/>—>) ?
FAR M. fcIDONE.
G (/J a ) = h- aB^,) + B w .
Les valeurs de sont connues par ce qui précède, et celles de Iï( 0 ) et de II (l) sont données par les intégrales
y ^> (i->ruydii
= const. — 2.log. (l/ni+u-i-l/Ti)
[/c-f-cc l-t-z+fl—ctju “1
a \/z( l —&) j r\/( I— tt)(i -i~e)(m-bii)-h‘l/~( c — a ) lt n ,
\/ 1 —«.•+•( i -t-ajn
y r> (l+K)WK
( C ° nSt ’ w
~ ("* -+- log. (y /w-t-w-f- l/d)
^ ^ \/il\il -*
|/ l+CL’h(l—’U)u
a (î—*)l/2fi— ct)(i-i“e) . f-j/ ( I—et^i"f-e^m-»-/i!^-+-p // 2f r e—«K^u-n
|/1— u-^fi-^aju
dans ces deux intégrales on a Si nz =~——, on
- c ° nst - +3 io§ - (
aNj/ i-t-e ^/z(^l-4-e / )[^7î-f-Mj-4-2À'W-+-2M|/ / ( i -4-c)(niu-l~u").\^
k ^ \/ (i-4-uy-t-c&fi — u) a *
\/ (\'4ru) 1 -*-U?(\—uj
2cM[/T^e ___ ^/{/ (h — i )(ï■4-e)(m-*-u)-\‘[/ 2 .(k—e)u
«Mj/i-f-e
— . arc. tang.f — —
[/' \(Jt-hiJ(i ’*~ e )(ni’+‘uJ : -^-\/ / s.(k -t~e)iv
arc. tang.
( \-\-uJ~udu
- = const. -+- \/mu~\-u?
— (m -:) log. ([/\/ic
j »+g | Q r k(i^e)(m-J n uJ-\~ r iJai~» r dM\/(\ + e )(mu-i-u -) -,
2 a\C I—ct 2 jM-H3aN]l/t-*-g tana ^f/i— e>^-|
fl-ï-a^ |/e=-l-fit 2 ° [/ (h-t-\)(i-ire)(ni\‘u)’^r\/z(h^ejij
cc[C I—a l jM-f-2aN]{/' i+e /<^L'—«K
— — • arc. tang.
où l’on a fait
A* = i-4- ct a *, A* = e 2 -h ce 2 ; j\I 2 = //£ -f-e *- N 2 = AA — 6 — et 2 : d’après cela on aura
yJ (i —*
(i+t'zDl/fi—i'Xi—ç**) C lw +" e JC l +* 3 )
kï 7 >-l n (°)—r mU (o
T.VR M. BIDÔXE.
ïl ne sei ’ a P as inutile de remarquer, que le calcul des suites données aux n. os 3 , 7 et 11 étant plus aisé que celui des suites données aux n. os 6, 9 et i3, on aura dans plusieurs cas de l’avantage à augmenter la convergence de ces dernières suites , et à diminuer celle des premières; ce que l’on peut obtenir facilement, en changeant les limites de l’intégration. Ainsi, par exemple, en prenant à l’aide des suites des n. os 3 , 7 et 11, la première partie de l’intégrale depuis z=o jusqu’à z = 1 — e\ ces suites perdront de leur convergence , et en gagneront celles des n. os 6 ^ 9 et ï 3 , qui donnent l’autre partie de l’intégrale depuis z = 1 — e 1 jusqu’à z= 1. Il est pareillement visible que lorsque la petitesse des quantités e % et m le comporte, on peut dans chacune des suites précédentes étendre les limites de l’intégration depuis z.= o jusqu’à z = i.
i 5 . Je terminerai ce Mémoire en donnant ici lfes transformations d’où j’ai déduit les formules que j’ai publiées sur les fonctions elliptiques complètes. Ces transformations peuvent être utiles pour avoir des expressions abrégées de la valeur de -ces transcendantes , eu égard au degré d’approximation qu’on se propose , et aux diverses valeurs des paramètres et des limites de l’intégrale.
Les transformations, dont il s’agit, sont les suivantes , qu’il est facile de vérifier;
l8 SUR LES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES
]/(i— cw)(i—.■.') 2(i — e'z'Jl/ i—J ’ f2 — e'z'J' ’
|^ rx —e-vri—
__ ) 3 - 4 -gH~(^i-+- 3 eJz j f/ fi —<? z
iii-+-ezj|/ 2 ("i (i—ezXi —z) * j 3 -4-e-t-fi-t- 3 ejz j* ’
fc-t-e-t-f i+iejz'y Xx+e) i/“ Z/ ‘
r 1 fn-^fn-^)[ 7 H-e-hfi- + - 7 e>]* »
1 [4—ri4-3g*X[ '(i—ïfz*
t/r**—(i--eV)[4-(3^ i ) zl ] ‘ ' 1 ri-zyi4-fi-+-3eyz*}* 5
cette dernière transformation ne peut servir que pour des limites de 2, moindres que l’uni té.
En multipliant les deux membres des équations précédentes par i — e'z? , ou par , on aur ( a les transfor¬
mations relatives aux deux autres espèces de fonctions elliptiques. 11 est aisé de voir, qu’étant donnés la valeur du paramètre , les limites de l’intégrale, et le degré d’approximation qu’on se propose , on peut, entre ces diverses transformations, choisir la plus convenable ; et en développant le dernier radical qu’elle renferme ? on aura des termes exactement intégrables, et on verra fa-
PAïV M. BIDONE.
cilement le nombre qu’il en faudra prendre pour avoir le degré d’approximation que l’on s’est proposé.
16. On peut avoir d’autres transformations semblables , dont le dernier radical est composé de deux parties, l’une desquelles reste toujours très-petite par rapport à l’autre, quelles que soient les valeurs du paramètre et de la variable. Telles sont, par exemple, les suivantes :
[r-j-Q/ a fi 0 Z ] l/ t Cl/a — V « -*-cY z ( 1 z ) . dz
— fb'— myjdjr l/ m ÿ .
— mYJl/a.my-t-fa—m*Jy* * (1 — rriyj* '
où l’on a
111 1-4-e ’ y —mjz
Ces transformations , ainsi que les précédentes , peuvent être poussées aussi loin que l’on veut, à l’aide de l'équation identique
mais les expressions approchées qu’on en tire, deviennent plus compliquées à mesure que 5 par l’effet de ces mêmes transformations , le développement du radical offre une convergence plus rapide.
