PAR M. RENARD

L Un physicien célèbre de nos jours, doni les recher* cbes se sont dirigées principalement vers les phénomènes électriques, frappé de TinsuflSsance de la théorie des deux fluides pour expliquer ces phénomènes, a émis la réflexion suivante : u Nous sommes loin de présenter n la théorie des deux fluides, telle que nous Tavons exn posée, comme le dernier mot de la science. Elle n est n pour nous, qu*un moyen commode de lier les faits n entre eux, et de nous permettre de les grouper sous n quelques lois plus générales.... Les phénomènes élecn triques dépendent très-probablement de Taction corn- ' tt binée des particules de la matière et du fluide étbéré n qui remplit Tunivers. n (De la Rive, Traité cTéleciricité théorique et appliquée, tome I^% page 151). Cette opi-

nioD, déjà fonnuiée par beaucoup d'aulrts physietena, Ta toujours été d*uiie roaoîére timide et n*a pâa été poussée jusqtie daas ses couséquences. Le pbyaicieii mèsaéf dont je vieoa de citer les expressions, semble regretter, dans le second volume de soii iwhrrage (page 947), de s*é(re trop avancé dans lé premier. Partant de ce fdit qu'il n*y a pas de lumière électrique dans le vide pàrfiul, et qu elle se monlre toujours là où il y a de& particides matérielles, il conclut : u 11 me parait diffloile Il d'admettre que rélectricité poisse agir diredtemeiit it sur rétber, de manière à y produire dès ondulaiiofis n lumineuses, n Cette difficulté ne me semble pas serieuse. Elle prome seuleuient que, si les phénomènes éledriques sont dus à des vibrations de Télher, ces vi« brations peuvent exister indépendamment de celles qàl produisent la lumière et la chaleur. Peutnétise les premières ont-elles* lieu dans le sens longittidinM, tandis que les autres seraient transversales , comme on est porté à le croire d'après les &îts connus de la polarisa** tien de la chaleur et de la lumière. Une partie«de malé^ riefle plaoée sur le trajet de ces vibrations fongitudinales les fransfornierait partieHemeht en vibrations transver^ sales et par conséquent deviendrait Inmineilse. Sans rien p^gtlger sur cette question qui a besoin d'être établie sur des feîts, et après l'a^orr dégagée de Tobjeetion pré^ cédente, il convient de chercher à réloâder par on^ étude approfondie des divers phénomènes dus à rélectricité. Tool d'abord, il m'a paru convenable de te-

— no —

prendre les travaux de Poisson sur k distribution de rélectricité à la surface des corps, travaux qui ont si puissamment contribué à faire prévaloir la théorie des deux fluides. G*est ce que je commence de faire dans ce premier mémoire.

J*admettrai que chaque corps a pour le fluide éieotrique une capacité déterminée. Il sera pour moi à Vélat naturel, s*il en renferme ce qu*il en doit avoir naturdlement; il sera éleotrisé positivementf 8*il en renferme plus, et électrisé négativement, s*il en renferme moins. Je supposerai du reste que la constitution du fluide électrique est la même que celle des fluides élastiques ; qu'il peut agir de la même manière sur la matière pondérablcy et que ses molécules s'attirent suivant les mêmes lois.

J'admettrai aussi que, s'il existe une différenee d*miensité électrique, ou de tension électrique entre deux éléments infiniment voisins, il passé de Fun de ces élé- ^ments à l'autre une quantité d'électricité inversement proportionnelle à la distance des éléments, et directement proportionnelle : 1^ à la dififércnce des intensités; 3^ à la surface des éléments ; 3^ à un coefiicient particulier, le coefficient de conductibilité électrique. Cette hypothèse, analogue à celle sur laquelle Fourier a fondé la théorie de la chaleur, e$t du reste appuyée sur les expériences de Coulomb.

n. Expression du fluoç électrique. -^ D'après cela, si

nous désignons par t Fintensité ou la tension de Télec- Incité en un point quelconque du eorps, par « )*aire d*un élément infiniment petit, par n la normale au centre de cet élément, et par K le coefficient de conductibilité électrique, nous aurons poui' Texpression de la quantité d*électricité, qui traverse Télément dans Tunité de temps, c'est-à-dire, pour Texpression du flux élee^ trique :

an dn

m. Equation différentielle de Féquilibre de Félectrî-^ cité en coordonnées rectangulaires. — Considérons dans rintérieur du corps un élément de volume dx dy dz. D'après Texpression (1) du flux électrique, la quantité d'électricité qui traverse l'élément dy dz est :

«— % cb. K ^; celle qui sort par l'élément opposé, est:

dy dz

L'excès du flux entrant sur le flux sortant, est donc r

dx dy dz. d lu. — J

dx lies excès correspondants pour îés autres faces de Télément, perpendiculaires à Taxe des y,, et à l'axe des z, seront :

dx dy dz. — ^ , dx dy dz^ — .

Or la somine de ces trois excès doit être nulle, puisque rétat électrique est supposé stationnaire. Nous avons donc :

<*^ d« + — dT" + — dr- = °'

ou simplement, dans le cas où Iq corps est homogène :

du d^i d^i

Remar(}uons que ces équations sont applicables à Téquilibre dynamique du Ouide électrique tout aussi bien qu*à Féquilibre statique, puisqu'elles ne supposent qu'une cbose, c'est que le corps est à un état stationnaire, soit de repos, soit de mouvement.

Si nous désignons par ti, v, w, les cotnposants de la vitesse moyenne du flux, suivant les trois axes, les quantités d'électricité qui traversent les faces dy dz, dx dz, dx dy, dans l'unité de temps, auront aussi pour expression :

su dy dz, et; dx dz, tuo dx dy.

' Par la comparaison de ces quantités aux précédentes,

on déduit pour les valeurs de u, v, w, à chaque instant :

di ds dt

cet

Par suite la vitesse du flux dans sa propre diredîof), est :

et celle direction est ell^méme déterminée par les équa< lions :

Cos. or =

Cos. i3 =

Cos. 7 =

IV. Eqtuitiom différentielles de F équilibre de Vélectricitéj ou coordonnées polaires. — Soit L la longitude» > la latitade, r le rayon vecteur d'un point quelconque du corps; de sorte que l'expression de rélément de volume correspondant à ce point, devienne r cos. X dL. r dx. dry ou r' cos. ,X dL d\ dr, et que les faces de cet élément qui forment le sommet où les coordonnées sont les plus petites, soient :

il = r rf> rfr, «^ = r cos. > dL dr^ «j = r- cos. l dL d\.

Le flux d'électricité qui entre par la face » est :

r d\dr

r cos. X dL Ajoutons à celte expression, sa différentielle par rap-

— H4 — port h L ; nous obtiendrons pour le flux qui sort par la face opposée : \

dXdrl dt \ dL ) \

— K — d ^ ,. ^ dh. J

COS. X \ dh dL

Excès du flux entrant sur le flux sortant :

dL d\ dr

COS. X dL

Répétons pour les autres faces, ce que nous venons

de dire pour la précédente. Il viendra :

, Pour la face w, :

Flux entrant : r cos, IdLdr r — K'— jr ) • Flux sortant par la face opposée :

(k^co8.>)

rfL dr / — K -^ cos. > ^ — ^ ^— rfX.

rf ( K -^ COS. X j

Excès : dLdXdr

Pour la face u, :

Flux entrant : r- cos. X rfL dX

Flux sortant :

COS. X dL dX I -^ K rï -T -^ — ; L d^-J

' dr dr

— HB —

d Excès idLd^dr cos. \ —

Exprimons que la somme des excès est nulle, ce qui nous donne à l'équation :

^ 'co8,»l dL * COS. X d\

OU cette autre, si le corps est homogène :

cos.^X dL' "^ COS. > dX

+ Jr '''

Equation, que Liaplace a écrite^sous la forme :

<»)r:i7 + 5? + — ir-^'^

en posant sin. X = p.

Si nous désignons par Ui, t^., u^i, les trois composantes de la vitesse moyenne du flux, perpendiculairement aux trois faces u, &>,, us, nous obtiendrons, etk raisonnant, comme dans le cas des coordonnées rcctaa-^ gulaires :

' e r cO». y

m L AÎ

, K dt

et par conséquent :

>pi-Mb^ai^i

'^ * '"''m-^ièy "

équation qui donne la valeur de la vitesse dans sa propre direction.

Soit e Tangle que cette direction fait avec le rayon vecteur r, nous aurons :

w, dr (**)•

rMl— /»')\dL>/ H \dfij \drj

V. Applications. 1® Cow oTtin condueiet^ indéfini ho* mogène. — Supposons qu'une sphère de rayon a, et ayant son cenlre à Torigine des coordonnées, soit électrisée positivement par exemple^ et que la tension de Féléctricité à la surface soit égale à s i. Il est évident que cette électricité se distribuera de la même manière dans tous les sens, de sorte que son intensité, en un point

— il7 —

quelconque du milieu, ne dépendra que de la distance de ce point à Torigine des coordonnées, ^équation (8) devient alors :

d'où Ton déduit par une double intégration :

dr v r

0c et ft' désignant des constantes arbitraires. Pour les détern^iner^ il suffit d'observer qu'à l'infini, l'intensité du fluide électrique est égale à l'intensité c^ du fluide naturel du milieu, et que pour r =^ a elle est égale à Cl, ce qui donne :

Par la çubstitution de ces valeurs dans les équations

précédentes, celles-ci deviennent :

dt a(tx — Co)

dr r'

Si DQua oOftveQons de prendre pour unilé la densité du fluide naturel du milieu indéfini, c'est-à*âire, de tm€i f • s» 1 1 r.expression i -*- a^ représentera, suivant qu'elle ser» plug grimde ou plus petite que zéro, l'iatensite du fluide excédant, soit en plus, soit en moins, c'està^ire, du fluide positif ou du fluide négatif. Nous représentions dorénftvant cet excès t -- • , simplement par s

et Texcès it — s^ par i,. Les. équations précédentes se transformeront alors dans les suivantes :

ac,

Par conséquent F =

La première de ces équations nous montre : que Tintensité du fluide positif ou négatif, en chaque point du milieu, est proportionnelle à Tintensité de la source électrique, et inversement proportionnelle à la simple distance du point au centre de la source.

La dernière : que le aux électrique, en chaque point du milieu, est directement proportionnel à Tintensité de la source, et varie en raison inverse du carré des distances. Quant h la vitesse moyenne des molécules du flux dans le sens du rayon vecteur, la troisième des formules (10) nous donne t

c'est-i-dire que telle vilesse varie en raiim inverse de la dislance au cenlre de la source.

% Nous venons d*examiner le cas d'un centre unique d électricité. Voyons le cas de plusieurs électrodes.

Théorème. — Si Félectricité arrive dans un conducteur indéfini par plusieurs centres, la tension du fluide,

en un poini quelconque du milieu, est une fonction linéaire des tensions qui existeraient en ce point sous Tinfluence séparée de chacun de ces centres.

Soient f|, c/ les densités de deux sources électriques dont les coordonnées sont''(a^ b, c), (a', b\ c'), soient e, é, les tensions des mêmes sources, si elles existaient séparément. Sous Tinâuence de la première agissant seule, la tension en un point quelconque dont les coordonnées sont ar, y, z, dépendra de ces coordonnées et sera proportionnelle à e. Elle sera par conséquent de la forme e F {x, y, z)^ F (x, y, z) étant une fonction qui vérifie réquation (3), satisfait aux conditions relatives aux limites et devient égale à Tunité pour x = a,yz=zb, z = c. Sous rinfluence de la seconde électrode seule, la tension du même point aura pour expression e^ f (x, y, 2r), la fonction f(x, y, z) devenant égale à Funité pour X s=ia',y = b\ z = &, et satisfaisant du reste à réquation (3) et aux conditions relatives aux limites. Or d*après les propriétés connues des équations linéaires, la valeur

sera encore une solution de réquation (3). Elle vérifie du reste la condition relative aux limites. Donc, si pour les points (a, b, c), (a\ b\ c'), elle devient égale à f ^ , l' i , elle sera la solution générale. Posons donc :

t,=e-\re^ f{a,b,c), .'.=<?F(<i^,6'„c'0 + e'.

— i20 — Ces équations donneront pour e, è'^ des valeurs linéaires en f t , c/. Il en sera par conséquent de même de E. Mais si la première électrode existait seule avec la tension c , , on aurait < = s > F (x, y, z) ; et si la seconde existait seule avec la tension «/, on aurait i' = g/ /* {p^y y> ^); <^6 qui nous montre que les quàntiiés ii, c/, sont elles-mêmes des fonctions linéaires de e, s'. Donc H en sera de même de E. c. q. f, d.

Ce que nous venons de dire pour deux électrodes se répéterait pour un nombre quelconque.

3. Gomme application de ce théorème» supposons que Télectricité arrive simultanément par deux petites sphères de rayons a et a\ et possède à leurs surfaces des tensions ti, 8i\ Soit 36 la distance des centres des deux sphères ; r et r' les distances d'un point quelconque à ces centres. En vertu de la seconde des équations (13), et du théorème précédent, la densité de réleCtricité positive ou i^égative en ce point, aura pour exprèssion :

ce, a', «", désignant des constantes. Pour les déterminer, il suffit d'observer qu'on a t = o pour r = oo , r' = oo ;

« = t, pour r = a, H = 26 -T- a ; f = f , ' pour r = 26 — a', r' = a' ;

ce qui donne pour «, «', «*, les valeurs suivantes :

2i — tt'

vl '

bu approximativement, si on suppose les rayons a et a! assez petits ))0ur pouvoir être négligés par rapport à 26,

A ce degré ^^approximation, la valeur de c devient :

ati , a^ t/

Ainsi : Quatxd les dimensions des deux sources sont très-petites nar rapport à leur distance, la tension de t électricité, en un point quelconque du milieu, est égale à la somme dçs tensiùhs dues à chacune de ces sources^

Si nous supposons le systèipe rapporté à trois axes rectangulaires ayant leur origine au milieu de la droite des centres, et si nous prenons cette droite pour axe des X, la valeur de e prendra la forme :.

ou cette autre fbrine approchée :

Donnons à « différentes valeurs, particulières ; l'une ou

Tautre de ces équations représentera des surfaces isoélcctriques ou d'égale tension, qui sont de révolution autour de Taxe des x. Les surfaces octogonales, dont les méridiens sont les lignes suivant lesquelles Télectricité se propage, ont pour équation générale :

(20) ^(^—*) I « (^ + ft> c

Pour déterminer la constante G, soit G langle que fait avec Taxe des x le rayon vecteur mené du centre de la petite sphère de rayon a, à Tun des points où cette sphère est coupée par la surface ; 6' Tangle que 'forme avec le même axe le rayon vecteur mené du centre de la sphère de rayon a' au même point. Il existera entre

• et o' la relation approchée :

a COS. $-\'ib COS. ft' =: 26, ou encore^ au même degré d*approximation :

eos. 0' es 1 .

On a d'ailleurs : C = «' cos. O' — « cos. e.

D'où : G = a — « COS. e.

Par suite Téquation (20) devient :

^ ^ ^ ■*• = «' — « coi. 5 (SM).

Les composantes du flux en chaque point, sont :

De là on peat facilement conclure la valeur même du flux et sa propre direction. Car on a :

F =5 H f V, ou en vertu de Féquation (S),

ou encore :

F=:\/F,^+Fj.« -}-F.«

En multipliant les numérateurs et dénomiaàteiirs des seconds membres des équations (6) par Km, on iAfileth dra ensuite :

, (24) COS. « =r ^, COS. p = -^, COS, 7 = ~,

formules qui donnent la même loi pour la composition des flux, que pour celle des vitesse!^, et dans lesquelles il n'y a qu'à remplacer F,, F^., F., F, par leurs valeurs particulières.

4. Examinons le cas particulier très-intéressant où ce' = a, c*est*à-direy où les deux sphères supposées de même rayon, sont électrisées de la même manière! Le^ formules (18), (21) et (22), deviennent :

Vv'(«-*/+y'+«' V/(a?+^)'+y'+«V

: Ces deux dernières formules nous donnent lieu de faire Qne observation importante. Si « est une quantité positive, c*est-à-dire, si les deux sphères sont éleetrisées positivement» le niduveniait de rélec^rioilé dans un plan quelconque perpendieidaire à la ligne d^ centres, tend à Téloigner de cette ligne^ les valeurs P^ et F. étant plus grandes. que zéro. Si au contraire les deux, sphères sont électrisées négativement, le mouvement a lieu en sens inverse et tend à accumuler Télec*-. tricité vers Faxe^ La même observation subsiste évidemment, si «' est nullement de même signe que « sans égale & oe.

, CherchcHis la valeur de œ pour laqudle ie flux, dans ce sais perpendiculaire à Faxe^ devient un maximum ou un minimum. Opérons sur F^, les calculs étant identiques pour F» .

'^^-.=-aK-»

da?» . V r

+ , -pr, — ^— I'

— ItS —

* rf F -

La valeur de —^ égalée à zéro , donne la solution

ar = 0. Cette scdutioii substituée dans la dérivée se^

conde, donne :

dx^ vV/y^ + ^' + * V

Or, on peut toujours prendre le rayon p = i/TTTX^ assez petit pour que la parenthèse soit pins petite que zéro. Par conséquent, aux environs de la ligne des centres, et au milieu de «cette ligne, on a :

s , ■ > o^ SI a est ^ 0»

-^<a, siae8t<o.

Dans le premier eas, le flux est un mîmmum, et dans le second cas, un maximum. Noos alfons tirer des cofi<* séquences de cette observation pour expliquer les attrac-* lions et les répulsions électriques des corps légers.

V application. Attractions et répulsions électriques*. — I. Quand une veine fluide, dont la densité est c, vientj avec une vitesse v, frapper contre une surfece plane, « perpendiculaire à sa direction, elle exerce^ comme on sait, contre cette surface, une pression qui a pour valeur :

et ai la normale à cette surface fait aveb la dure^on de kl veine, une angle e, la i^^sion est :

P S5 6 « t)^ cos» 0.

0*après cela, le flux électrique produit par une source de densité c , , exercera à une distance r sur un obstacle perpendiculaire è sa direction, une pression qui aura

pour mesure :

a ij K' K' au c,

Cette pression esi proportionnelle à rmlensité de la $ouree et varie en raison inverse du cube de la distance. Pour r =^ a, cette valeur de la pression devient :

Outre cette première action, exercée directement par le flux électrique, il en existe une autre occasionnée par rébranleuient que rélectricité non écoulée et qui n*est pas moînsen mouvement» produit dans la masse éihérée, ébranlement qui se propage, comme ies ondes sonoresi en conservant la même kmgnear d'ondulation. Si t« désigne la deinsité de la masse fluide, la mesure de cette pression sera :

' Ôr, la vitesse- v varie avec la distance, suivant la même loi qoe dans le cas du flux électrique, dar la force vive mv^ reste constante pendant toute la durée de la propagation, et la masse d*une couche fluide ébranlé^ dont la distance est r el qui est animée d*une vitesse v, est' proportionnelle à ^>. Le produit i^^ r' est donc wtystant, par suite t; varie en raison inverse de r. Ainsi V désignant la vitesse de Tébranlement par r = a, on aura :

vr =. \a ou V sa .

r Il en résulte par la valeur précédente de la pression :

Or, Mi^V ss « t4 V,V<ti désignant la densité du fluide à la surfaee de; la sphère, et Vi la vitesse moyenne de ses molécules.

Par conséquent P = » i. Vi' — (27).

Ainsr r celte seconde pression est proportioimeUe à Finiensilé de la source^ el varie en ratiKm inverse du carré des disUxnees.

A des distances un peu considérables du cenU*e de la source, la première action n*a que peu d'influence comparativement à là secondé, comme l'indique Texpérience. U nJea est pas^ de même à de tiés^petites. distanees oùr elle peut devenir prédominante*.

2. Supposons que le rayon de la sphère élecu*isée varie et devienne, par exemple,, deux,, trois, quatre /ois plus grand, la densité électrique restant la même & sa surface*. L'expérience prouve (Cùuhmb, Histoire de CÀcad^mie des Sciences, année i79i, page 688)^ que Taction produite sur un point situé à une même distance du centre, esl proportionnelle au carré des rayons des spkkères. Il est aisé de se rendre compte de ce résultat d*après b dernière des lois précédentes. Car, en supposant dans b formule (37) des valeurs constantes

aux quantités »«« V,% et r^, on voit que la valeur de P et proportionnelle à a^ .

3. Supposons que deux sphères éleelrisées se trouvent en présence Tune de Tautre. Trois cas peuvent se présenter : ou bien elles sont touies deux électrisées positivement, ou bien elles le sont toutes deux négatîvefhenry ou enfin elles le sont, l'une positivement, Tautre n^li* vement.

Dans le premier cas, chacune des deux sphères exerce, conlre le fluide environnant, des pressions qui ont même intensité suivant toutes les directions. Par suite elles éprouvent des réactions qui, se détruisant deux à deux, ne leur impriment aucun mouvemeni. Hais en B,

pour la sphère o, vient s^ajouter une pression due an flux de la sphère o\ De même en B', la sphère o' est soumise à une pression due au flux de la sphère o. De là éeartement des deux sphères. Il pourrait arriver cependant, si les deux sphères étaient trop près Tune de Fautre, que les réactions qu*elles éprouvent du milieu ^environnant, étant nulles, ou k peu près, aux environs des points les plus rapprochés, les réactions qui ont lieu aux points G et C, et qui tendent à les rapprocher^ fussent supérieures aux pressions dues aux flox qui tendent a les éloigner. De là un rapprodiemept au lieu d'un éeartement. Ces faits, dont le (fermer fiarait uue

anomalie dans la théorie îles deux fluuks, sonl vérifiée par Texpérience. >

Dans le second cas, celui où les deux sphères sont électrisé^ négativement, rélectrlcilé se perle vers leurs centres de toutes les parties environnantes. Or, dans rintervalle des deux sphères, Taffluenee esi maximum, comme nous Tavons reconnue précédemment. De. là écartemeni des deux sphéreâ. Si ces sphères étaient trop rapproehécâs pour que Télectricité put se précipiter entre elles, il y aurait évidemroent un rapprochement au lieu d*un écartemcnt. Tous ces faits, dont le dernier est encore une anomalie dans la théorie ordinaire, sont conformes à rexpérience.

Enfin, dans le cas où Tune des deux sphères o' est électrisée positivement, et Tautre o est électrisée négativement, n est d^abord évident que la sphère o' éprouve du milieu environnant des réactions qui sont égales dans toutes les directions. Mais en B' la réaction est diminuée de Taction due au Oax de la sphère o. De là entrainement de la sphère o^ vers la sphère o. Quant à celte sphère o, il semble au premier abord qu*elle doive être écartée de la sphère o' par la pression qu'exerce en B la flux élec^iqne émané de ceUe sphère q'. H en serait réellement ainsi, si la« sphère o était électrisée positivement comme dans le premier cas. Mais rélectrieitéy rencontrant en B une tension moindre que dans le mi-^ lieu environnant, et rencontrant d'aiHeurs une substance qui le pkis souvent est meilleure conductrice, s'y précî-^

— 130 ~ pile brusquement en laissant un iride derrière eiie. Presque au même instant, il se forme amour de h sphère o une atmosphère électrique, provenant de la mémo «ouroe o' qui rayonne dans tous les sens. Celle atmosphère, en se portant sur la sphère o, tend â la rapprocher de la sphère o\ d'autant plus qu^eUe y reneontre une tension électrique déjà phis considérable. H y aura done- rapprochement des deux sphères, tant que durera le même état de choses. Mais.all arrive que la sphère o flnisae par a'éliestriaer positivement, il y aura ensuite répulsion.

Gomme on le voit, le phénomène des attractions et des répulsions électriques s'explique très-bien dans" Thy* pothèse d'un seul fluide. .

3^ applieaiion* Cas Wun eUipatâdè. -^ 1 . Supposons qu'un ellipsoïde conducteur soit, électrisé positivement, par exemple, et conserve son état électrique, cbercbons à déterminer l'expression du flux en chaque point de sa surface. Il est d'abord évident que. la surface extérieure est une surface isoèlecitique, c'esl-à-dire, ou \^ denfâté est la méone partout, cette surface n'étant susoepiîUd « que de résfetances normales; Gela posé, pour «déaouyrir la forme des surfaces isoélectriquQs à Tintérieur, il s'agit de trouver une foncûon « de x, y, z, qui satisfasse. à l'équation aux différentielles partielles ($), et qui devienne identique & l'équio^tion de la surfaee de l'ellipsoïde par une valwr particulière f i de f. Or, il est &ciie de vérifier que l'cquation :

dans laquelle fr et c sont des constantes qui représentent les demi-distances focales de Fellipsoide proposé, et >, une fonction de § que nous allons déterminer, satisfait à toutes ces conditions. Cette équation représente^ une série d^ellipsoîdes qui ont même centre et mêmes foyers que Tellipsoide proposé. En considérant > comme une fonction de t, ou c comme une fonction de >, nous obtiendrons par deux différentiations successives :

^ ^ JÎL. — ill £!î. /'i^Y —- *''^

Si "^ di' dx' dx^ ^ dX^' \dxJ'^ dX*' 1^' li ^ dx' dy* dy* ^ dX'^' \dy)'^ dx'* dy» * ijr ■" iIa' dy' da» *" dX-^' ^KdzJ'^'dx'' ciar» '

Et par suite, en substituant dans FéquaUon (3) :

du^/dxy /dX\^ /dX\^\ di/d^X d^ d*X\

Par la difierentiation de Féquation («), on obtient sans peine :

(£Ly. (^\\ (È.Y- s

en posant :

La subslitQlioo de ees mkxn inmlonae alors réqoaijon (3) dans la mmmte :

Ainsi, pourm que > soit une fonction de c, déterminée par réqnalion (S), Téquation (3) sera vérifiée par Téquation («). De plus pour une valeur de l égale au grand axe a de Fellipsolde, Féquation («) devient identique à réquation de la surface. Or, on pourra toujours

disposer des constantes que renrennera Fintégrale de réquation (fi\ de manière que pour 1 =? a la valeur de t soit égale à c, . L^équation (a) représente donc les surfaces isoâectriques de Tintérieur de TeUipsoîde. Une première intégration de réquation (fi) donne :

-r- == ' ■ , . j A r^ constantCj

cToà, e étant supposé plus grand que i.

La valeur de la «onslante A sera donnée par l'équation :

/« dx *

3. Jusqu'il présent nous avons supposé que l'ellipsoïde conserve intégralement $on électricité. H n'en est pas

ainsi dans la réalilé. Ronr. avoir rexprmmi dit flax»

— a» K -T- » il suffit de calculer Télénierit normal dn an

compris entre deux surfiices isoélectriques. Or, pour

cela, on a les équations :

dn = V^dx» + dy' + dzK d X rf — * I (^^^^"^ ^® '* normale).

Les valeurs de p et f « dont la signification est connue,

«ootioiégalesa-^ -r — , — ^. L;.> Deees

équations, on déduit sans peine :

et par suite :

^dt dk

« ac ou, en ayant égard à lajaleur précédente de — ■,,

" ■; .,^ - , .■■ . •- ■■< ^11 I " Il I. liai *

Aux trois sommets de Tellipsoide pour lesquels on a : (a? = 0, y = 0, z = V/a^ — c»).

les valeun du fin éfectrique A<f iemiettC :

Ainsi : Aux trois sommets éPun ellipsoïde, tes flux électriques sont dans le même rapport que les axes qui aboutissent à ces sommets.

Quant à la pression que le fliix exerce contre l'air en 8*éooidant| pression qui pour élément, de sor&ce m, a pour expression : P s= ci » v*, nous Tobtiendrons, en remarqnant que Ton a : F = ci » v,, d*où :

A*"''(Ji2-.6«)«"*'(a^— c«)«

Par conséquent :

Aux trois sommets, cette valeur de P devient :

Ce qui nous montre» qu'aux trtns ionimetê éTun etlipsaide, lespressims sont entre elles comme les carrés des axes qui aboutissent à ces sommets. Ce résultat est celui que Poisson a obtenu, en partant de Thypothèse des deux fluides.

Si Tellipsoîde est trés-allongé dans le sens de Tun des axes, la pression électrique pourra être très-faible aux deux autres sommets, et être très*forte .aux extrémités de cet axe. De là Texplication du pouvoir des poùUf.