S S S ....F(ruieu, Rti etc
eu indiquant par ru} (>vi Rs en général l'une quelconque des k valeurs de x, des <j valeurs de y, des p valeurs de z etc., qui résolvent la congruence <P = 0 (mod. m ) ; en supposant toujours qu'on ne considère que les racines entières positives et moindres que 777.
La formule (28.) du Mémoire que nous venons de citer, prouve que si Ton appelle a la plus petite des racines positives de la congruence ax-\- b = 0 (mod. c), on aura
c l I^sia2uib--j)T <* = -^- + § S —~n
= — Vjr{l+cos2(Btf + A)— .... + cos2(c— l)(a* + i)— }.
Maintenant si dans la formule (I.) on fait F(z, y, 2 etc.) = F(x)
et qu'on intégre seulement par rapport à la variable x entre les limites x = 0, x = cs comme la congruence ax-\-b = 0 (mod. c) n'a plus qu'une seule racine x = a, (entre les limites x = 0, a? = c), il est clair que la formule (2.) donnera
- *2 ° F(x) {l -f cos 2 (c x + b) -J . . . . + cos 2 (c — 1) (ax + b) ~\ = F(a)
= f\± i°a?(l+co82(aj7-f-5)-J....-l-oo82(c— i)(ax + b)^. On peut simplifier beaucoup ce problème en observant que
l + cos2(a:r + £)-2-....4-cos2(c — \){ax + b)^
sin(2c — l)(ax-\-b) }-sin(cx-J-5) —
2sin(ax-{-b) —
d'où il résulte que
x=c {sin (2 c — l)(ax-\-b) — -{-sia(ax-\-b) — \
*=0 2sin(ax-\-b) —
= cl
c-l . l"=cSlD2x\b—2)T
u—1 sin
= cF(a).
Cette équation, qui subsiste toujours quelle que soit la forme (algébrique ou transcendante ) de la fonction F(x), est remarquable en ce quelle transporte à la détermination dune seule intégrale, et par suite à la résolution d'une équation indéterminée du premier degré, la détermination de l'intégrale comprise dans le premier membre.
Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que puisque la formule
c l i u=cSin2"(6 — T/T a = — g — H -n 2 - exprime la plus petite valeur entière
sm-
et positive a, de x, qui satisfait à l'équation ax-\-b = cy, on aura la plus petite valeur entière et positive (3, de y, qui satisfait à l'équation cy — b = axt en faisant
a-i i«=°siD2u(b+î)i;
«— i sm
et comme si b<^a la moindre valeur entière et positive àe y, correspond à la moindre valeur entière et positive de x, et qu'on peut toujours réduire l'équation ax-\-b = cg, a une autre équation dans laquelle 6<a,on aura alors
. ,. u=csin2w(& — ~\— . ,. 0=asin2w(&+^) —
u— i sin "— l sin
— lt>0 —
et par suite
, . uaTT a t . uc 71 "" a V a )'
»— 1 sin "— * sin
Cette relation a lieu entre deux intégrales définies dont on ne sait pas trouver la valeur
Pour appliquer les formules précédentes à quelques exemples, supposons qu'on veuille déterminer les coefficiens d'une équation algébrique de Torde n — 1 qui a pour racines successivement les n — 1 quantités
8in2(6„i)^K-lc„,2(,-|)^
• . an sin — n
. iaii
sin
8in2(/i — *)(*— 7r)-7 — V-1cos2 (n-\) (b-
sin2(rc — 1) — n
Four y parvenir nous chercherons les valeurs des sommes des puissances successives de ces racines, et puis nous en déduirons les valeurs des coefficiens de l'équation cherchée. Nous avons vu que la somme de toutes ces quantités est égale à 2 a + 1 — n, a étant la plus petite racine entière et positive de la congruence ax-\-b = 0, (mod. n). Maintenant pour avoir la somme des carrés de ces racines (c'est-à-dire la somme des carrés des fonctions circulaires que nous venons d'écrire) nous chercherons la somme de tous les produits de la forme a (3 : a et (3 étant deux des valeurs (entières et positives et moindres que n) qui résolvent la congruence « (a? + y)-f-2& = 0, (mod. n). En effet si Ion appelle N2 la somme de tous ces produits, elle sera donnée par la formule
2,T\°(Jf+)')+2*
N2 = — S 2 *y{l + (cos2- + /— lsin— V
. . . . + ycos [- / — 1 sin 2 s j
. /x=" / 2 a , - . . 2 7ry*+*\/>'-'1 f 2n , , t . 2s\«rf*\ + ^2ar(cosv + ^-l8m-j jy^cos- + ^-lsin-) J
. /x=" / 4» , « . 4jr\<~+iV;^n / 4" i /■ i • 4^\°r+6\
+ + etc.
et par suite on aura
Ha = ^^.+
(si„2(i|)i V-1eo»2(„-f)iy
-f- etc.
et comme la valeur de TV, peut s'obtenir directement en résolvant la congruence a(x-\-y)-\-2 b = Q, (mod. n), on aura 4iV2 — n(n — l)2 = S2i («S3 étant la somme des carrés des racines de l'équation cherchée). Si l'on considérait une congruence à trois inconnues de la forme
a(x-\-y + z)-\-3b = 0 (mod. n), on trouverait la somme des cubes des racines, et ainsi de suite, de manière que l'équation
qui a pour racines les n — 1 quantités
sin
sin
an
. 2an
sin
sin2(«- 1) (& — J) i lT-1 cos2(«-l) (b - -|-) £
8in2(n— 1) —
aura tous ces coefficiens Alt A2i .... A„ly rationnels, qui seront déterminés par la résolution des équations indéterminées
ax + b — ny; 0 (a? +y) -f 2 5 -. nz; o(x-\-y + 2) + 3b = «« etc .... dont on sait trouver toutes les racines par les méthodes conuues.
On pourrait généraliser cette analyse, et chercher les coefficiens de l'équation dont les racines sont successivement <p (1 ), <p (2), . . . . <p (u) .... q> (n—l ) en indiquant généralement par <P(u) une intégrale définie de la forme
"S" F(x) (cos 2 n (a x + b) -J + vT— 1 sin 2 * (a x + à) -) ,
car les coefficiens de cette équation seraient donnés par les racines des
congruences ax-\-b = 0 (mod. n); a(x-\-y)-\-2b = 0 (mod. n); etc
C'est par des considérations de cette nature qu'on peut déterminer les coefficiens de l'équation qui a pour racines les quantités
2bn ibn -. ..bn
cos cos cos2(« — 1) —
\Smir) \Sm—) ^n(»l))
problème que nous avions proposé à la page 203. du premier volume des Mémoires de Mathématiques et de Physique. En effet on a
S x1 1 cos 2 u (ax ■+• b) j- y^ — 1 sin 2 u (a x + b) — I
3Cfc=0 l " " J
i . bun r bun\ sin 2 V — 1 cos 2
./sma utt\
et par suite, en considérant des séries de la forme
jV, = — S aru-Mcos ^^ — lsin — ) ....
. . . . + [cos2 (^)* + ^-lsin2 (^->]"+6}5
yv? = — 2. S rr 1+Icos \-\T — lsin — J
» *=oy=0 y ' v " n'
(In 2îtV>+6 i
cos J-/' — lsin — ) . ...etcj
. etc.
dont les valeurs seront données par les racines des congruences
ax-\-b~0 (mod./z); a(x-\-y) + 2b = 0 (mod. n), etc.; ou aura une équation de degré n — 1 dont tous les coefficiens seront rationnels,, et qui aura pour racines les quantités
. 2brt 2hn . Ali 4fc,t
sin V — I cos sin V — 1 cos
n n n tx
~~~ . . • . ClC
4inv) 4(sin^r)
d'où l'on pourrait déduire par des transformations connues, les coefficiens des équations qui ont pour racines des quantités exprimées généralement par
. 'Ibn Ibn sin cos
On vait quon pourrait multiplier beaucoup ces formules en différenciant par rapport à a. On aurait alors des fonctions circulaires qui contiendraient un sinus, ou un cosinus au numérateur; et une puissance quelconque de sinus ou de cosinus au dénominateur.
On sait que l'équation
±T^nx-i = 0,
a pour racines les quantités
cos — . cos — -. cos — , .... cos2(n — lj — : d'où il résulte
