Septembre

«4.9 Octobre. . . 1 ,8

NoTembre. 16,8

Décembre. 4,0

-^ ïi97 — 0,61

6 (discord.)

Les latitudes sont assez bien représentées; mais les longitudes laissent évi demment des erreurs dont la marche affecte une certaine régularité. II et probable que si les équations (5 ), (6) et celles qui en sont déduites avaient et complétées par les termes dépendants des forces perturbatrices , ces résultat seraient sensiblement modifiés.

Je dois dire ici, comme remarque, qu'avant d'effectuer les calculs qu viennent d^étre présentés , j'avais déjà obtenu une orbite d'Iris par la roêm méthode , à cela près que je n'avais pas tenu compte de l'effet des perturbs^ tîons lunaires sur les coordonnées de la Terre, et que j'avais calculé Iq dérivées du premier ordre de ces coordonnées par les formules (ix). Les ré sultats auxquels j'étais parvenu ne donnent pas, dans les comparaisons plus de o'',5 de difFérence avec celles qui précèdent. J'ai préféré donne pour exemple un calcul dans lequel les valeurs des coordonnées de la Terr et de leurs dérivées se trouvent à l'abri de toute objection.

42. Dans beaucoup de circonstances , on pourrait se contenter de Texac titude avec laquelle les éléments du n° 41 représentent les observations Comme la planète devait réapparaître vers le mois d'août 1848, quelque moments avant le lever du Soleil , à une faible hauteur au-dessus de l'ho son , il importait de donner aux éléments le plus de précision possible , a de la reconnaître immédiatement. L'aurore suivant d'assez près le lever de l planète , il fallait pouvoir consacrer le court espace de temps disponible , noi aux recherches , mais aux observations.

J'ai donc été conduit à essayer une nouvelle approximation. A cet effet

j'ai applique la méthode d'interpolation de M. Cauchy aux erreurs du tableau précédent, que j'ai représentées par deux nouvelles séries. Mais toutes les sommes subordonnées et différences , qui dépendent du femps seulement , se Uoiivant calculées dans la dernière approximation , je n'avais à calculer que le A/, à}y^, . .; Sj, S'A/, S" A'/,. . ., et à substituer leurs valeurs dans les formules du n*^ 25 , qui donnent a , 6, c , . . . . Il m'a suffi de pousser les développements jusqu'à S*' A'/ pour les longitudes, et jusqu'à S'A/ pour les latitudes, inclusivement. Recommençant avec les longitudes, latitudes et leurs dérivées corrigées par les formules (xxxvi), les calculs des n*»» 58, 99 et 40^ en y conservant les mêmes données relatives à la Terre, j'ai iéteou les éléments suivants, qui ont été présentés à l'Académie dans la I séance du 28 août 1848 :

! Éléments de l'orbite d'Iris.

Aiiom.moy.,lei7,3oct. i847,t. m.deParis. 810*42' 7",o7

longitude du périhélie 4' ^6 28, 61 ) comptées de Téquin.

longitude du nœud ascendant aSg 45 35, 91 )moy,dui7,3oct. 1847.

Inclinaison 5 28 i5 , 66

Aïigle (sin = excentricité) 13 21 55, 79

Moyen mouvement héliocentrique diurne,. 962", 9331

Voici comment ces éléments représentent les positions normales :

DATES

EXCÈS DES POSITIONS OBSERVl'.ES

NOMBRE

•n lo&fitiide.

en latitude.

des obserTatioDt.

Août 1^,8

Septembre. 7,1

'4.9 Octobre... t,8

a6,3 Novembre. 16,8 Décembre. 4»o

6 (diseord.)

•le me suis servi de ces éléments pour chercher la planète vers la. fin du ^ois d'août 1848; et aussitôt que Tétat du ciel a permis de voir les petite» «toiles dans la région qu'elle occupait , je l'ai reconnue très-près du lieu assi-

gné parle calcul. L'observatiort suivante a été présentée à rAcadémie, dans séance du 1 1 septembre de la même année :

Iris: 1848, le 2,636oo septembre, t. m. de Paris; A =7^ 59"* 23», 06; D=: + 19*» 16' 59", 6.

( L'étoile de comparaison , tirée de V Histoire céleste , est marquée sons 1 n° 2683 du Catalogue de M. Baily.)

La comparaison de cette observation avec le lieu calculé au moyen de éléments ci-dessus , donne :

Excès de Vohsen^ation sur le calcul:

en ascension droite , — 3* , 58 ; en déclinaison , -f- 22" , 7 .

Cette discordance est très>peu considérable, à une distance de dix mois demi de l'époque moyenne des observations qui ont servi au calcul de Ter bite , et huit mois et demi après l'époque de la dernière d'entre elles.

En se reportant aux comparaisons présentées dans ce numéro et dans I précédent, on est conduit à rechercher les causes qui peuvent avoir empêchi d'obtenir, dès la première approximation, l'exactitude fournie par la second^ et aussi cette dernière d'être plus grande encore. Nous sommes obligés di nous borner à de simples indications. Il a été dit plus haut , que les perturbaj tions omises dans les équations (5) et (6) sont une cause d'inexactitude d^ éléments ; nous devons ajouter que leur omission dans la comparaison avec le observations en est une autre cause. Mais, en dehors de celles-ci, il en e^ de plus importantes peut-être : ce sont les combinaisons des observations qu ont donné les positions normales. Par exemple , l'une des deux dernière observations du groupe de onze peut être présumée en erreur de 5 à 6 seconde en ascension droite. Celle de Paris a été omise dans ce groupe, à cause de ï déclinaison , qui était trop mauvaise; en la rétablissant , on aurait une moyenne plus forte d'une demi-seconde; si, d'un autre côté, l'observation de Hamboun du 19 septembre est supposée défectueuse et supprimée, la moyenne se trou vera de nouveau altérée d'une demi-seconde, en sorte que l'on ne pourrai garantir l'exactitude de la moyenne — 2", 78 à i seconde près, bien qu'elW résulte de onze observations.

Les observations du dernier groupe présentent des discordances bien pluî considérables encore, surtout dans les déclinaisons; et, comme elles ne son qu'au nombre de six, on voit combien la dernière position normale es incertaine.

Si Ton revient aux premiers groupes , dans lesquels les erreurs paraissent

varier très-lentement, on reconnaîtra qu^il ce faut ()oint considérer ces varùi* tioos comme pouvant être représentées par une droite unique, depuis lV|K»quo de la découverte jusqu'au 2 octobre. En effet, la courbe qui les i-epivsenie donne lieu , dans cet intervalle , à plusieurs inflexions qu'il était difticîle de découvrir tout d'abord : par suite , nos moyennes ont pu comprendre df« Qombres qui, abstraction faite des erreurs des observations, ne varient pas proportionnellement au temps. Nous avons cherché ù éviter cet ecueil« en «xaminant la marche des erreurs, au moyen d'une construction graphique « et groupant celles qui nous paraissaient satisfaire à la condition de varier piv • portionnellenient au temps.

Nous avons cherché aussi à espacer convenablement les moyennes; mais il faut reconnaître que , si ce but a été rempli aussi avantageusement qu'il et«iit possible, nous avons dû détruire une partie du bon effet de cet es)>acement« en attribuant aux moyennes, des poids proportionnels aux nombi^s des observations. Ainsi, les quatre premiers poids, et surtout le second, nous paraissent trop forts par rapport aux suivants; le dernier paraît aussi étix^ trop fort , eu égard à la discordance des observations.

Enfin, il eût peut-être suffi , dans les valeurs de a , ^, r, . . . , n^ 3tt, qui sont relatives aux longitudes, de s'arrêter à S'^A* j, au lieu d'aller jusqu'à

Quoi qu'il en soit, le résultat final ne nous semble pas trop laborieusement obtenu , surtout en envisageant le grand nombi^e des vérifications nuinériques qui se présentent à chaque pas, tant dans l'application de la méthode d'interpolation de M. Cauchy, que dans nos formules pour le calcul <ie l'orbite. J'avouerai même que je n'espérais pas , en employant pour la première fois une méthode qui laisse une certaine part à la sagacité du calculateur, obtenir un degré d'exactitude aussi satisfaisant.

P» S. — Nous prions nos lecteurs de vouloir bien nous pardonner les nombreux détails dans lesquels nous sommes entrés, et la répétition des mornes formules en plusieurs endroits de ce Mémoire. Notre but était, d'une part, de donner à ceux qui voudraient, pour la première fois, tenter des applications numériques, certains détails très- rares dans les ouvrages de théorie pure. D'un autre côté , nous tenions beaucoup à séparer des démonstrations te formules qui en font l'objet, et à présenter celles-ci dans Tordre des applications; dussions-nous être obligés de les reproduire plusieurs fois.

Ceux qui auront lu ce Mémoire et nos deux Mémoires sur les fttoiles

Additions i852. i3

doubles, poui'rnnt reconnaître qu'ils ont une base l'ondamentale coiuii'i l'emploi des dérivées des coordonnées observées, déduites de l'interpol'^C: Peut-être eût-il été convenable, à cause de cela, de les condenser en un se de manière à éviter la reproduction des pardes communes; mais ces Mémo ont été écrits à des époques différentes , et d'ailleurs , les conditions spécii des problèmes relatirs aun étoiles doubles et aux planètes nous ont paru as distinctes pour justifier la détermination que nous avons prise de les trai à part.

les etoàics tioutfit:. :l. i — .•- ■ 't '■" .. » . • .

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Nous avcntt dii ai r li t:. *fnL^i&ai •. K*.:iii-.r« i*. «^ ;. -■• -«^ «^ poQTraâeni., dans ot ca:^ unoar* <h r*b. J2i i''**T2t.> ~* jll. r« »^i&v ,.v raisons ^pi^ii -aam^ woêê^t. lke r ^uiurer'

En pc^emier kei^ & oc i ^arzf.-jt^ t:»» t^ gij'i*' xi- «#>k^*<'« . ^ >v -^* que leiu«B den>«ft> Kum « im.-.«r . n?**.*'^ •-*- " i?.- .•u>>»**'' k-.-^-s-s «It go AcscTH^ - poil' ton? A^rrs i»..i:i- t*^ '-"f-i. i-. *«^ c*.-;*' * »-•« ■» * luojonctioB lit ' ^«j.-* c^ir*- ^ ^ tf.: îm.i*...î-. . * * ->^ . »-. . «.-v .^ niules ^1 ne ifonmm. j'.'iiucfr- ^ -««t « j -«*• .^r*-j?- ox« u*<«rTr..--w*^ v «n. fait ipA eHaim ne^ a*?^ Quaiitii*'- ■ t' ' '\m %^*\'n a. .*«.*. .i>>^ -.

»IQe les d tmuB g- m rrtmiriicm: * i= '.ïje***. * s =- "wx.. r^ Nr . . n» ifflpossilnliifr aixoii» c" «iiit?!!!- r^ it^nafnkh a? * otihU

En aeoand ii*?i . i 1 4;ii c^ fîSLîuiiiitff" nu* i*i't '»» ivui-.*»» »»• x * nus formules . cl iamaw ti^d»* « & io^ u**- ûKLan-a^ /»* rt*^ jîv^^'n ♦< «s ♦vôv >». Si, efiectTveiiieitL. ! m. jMjuvar -m |jT»»-:uT*r. i uru ^iv*otv «l«l»>^^•*^ .t, -►.

ordres^ pn» l'aiiirit q»: pijattiui. «r «&. ii»enuiî?« ùs'^:"pf , iv>» t«»»»»»»»^x>ksx «vn-âpphcabies au uiicil a» «fieiiieu& 1 tcsu o/itu it M»<*lv*roK<* x <*-»»>\ ^ --\ <le fortes iiiciiiiaiMii& . ^'lutfntoiatiui. T»fînwîîrafî ^Iohk»nv. »,x \*»i,x»»v i\ (ieiivées dont od a i«s*uuii.

>istiel, cl prenaitt piiuT nt,t à*^ a ik ùrotie k b»c^iH»îk^ 's<' ïnn^m* **i xV *^^ s ap|uireiit«, de&ark: que m» dKOiiDrv» r s'idcnriliont iy^w^WK** vv^f\*tyM i^vn^» > avec le» abscâtta j:, rt ii'«j puiascTit «irVcrer ^ïic f^i )<^t^N V|^-*s^\ Vma ^^' mettrons que J*t^K*qo*- f-ii'>isae sf»ii Tir«ubk*w»o«l oK'*\*;inv ^V K^ >n^s >^»'> y ^ mais, ocwBBe ks suites d'ofaser^atioRS WKvîortïON vh^ x«4>Nn^4 I^^x ^V\n> >* n ^

miner loiiiesk» dérivées D«e8S«res «•<!>*» ^»VH'^t^>'*^>^'^^>^^H^*^^*^^^ * ^^

dans rinterpolation ks positioas obscrxvc* M*«t ^^ >>^n^vx V^ ^n^hv>v>hn n>^is ^ \

série interpolée des & eUnl diffcixHiti^x» jvjir ^^1p^s^H ,>^^ i> »^*^^>x >^ N n s >^^>^ ' ^ «

rintervalle embrassé par les observations , donner des valeurs de la dcri vcv

dx qui soient égales , au signe près, à celles de la dérivée — • Notons, to «tei

Ce»

dû

que p étant essendellement positif, le signe de -^ sera négatif avant lac

jonction y et positif après. Or la première équation (5) montre que •

djc s'annule avec x, ou que la variation de — est nulle à Tépoque de la a

dx jonction. 11 en résulte que les deux valeurs de —5 à Tinstant qui préo

et à rinstant qui suit la conjonction , sotit égales et de même signe. La vdh

de cette dérivée ne peut d'ailleurs être supposée nuHe, car alors le sate)

se précipiterait sur Fétoile principale, et l'orbite apparente se réduirait à

point. Mais les valeurs absolues de a: et de p étant identiques , celles de lei

rfp . .

dérivées le sont pareillement; les deux valeurs de — ? aux instants qui pr

cèdent et suivent la conjonction , doivent donc anssi être égales. £n vertu

ce qui vient d'être dit, elles sont de signes contraires; il faudrait donc que

série qui représente les valeurs de p , étant différentiée , change brusqueme

de signe à l'instant de la conjonction sans passer par zéro, ce qui est ina<

missible.

. . . dû , La solution de continuité que l'on rencontre ici dans la dérivée ~- répor

à celle que présente l'angle de position. Celui-ci varie, en effet, brusquemei de 180 degrés. On évite cet écueil au moyen des coordonnées rectangulaire! comme nous le faisons dans le deuxième Mémoire. A la vérité, on pourrai! dans ce cas extrême, admettre des valeurs négatives de p, en n'assignai: aucune limite aux angles \\ mais ceci aurait besoin d'être discuté, et, d'ail leurs, ne s'appliquerait point aux cas où l'inclinaison ne serait pas exacte ment de 90 degrés, lesquels doivent se rencontrer bien plus fréquemment.

Supposons maintenant l'inclinaison un peu différente de 90 degrés. L dérivée de p ne présentera plus la même solution de continuité que tout [ l'heure; mais de négative elle deviendra positive en passant par zéro, e subissant un accroissement trcs-rapîde. Les angles de position , dans cett< circonstance, subiront un pareil accroissement. Les expressions en séries de< angles de position et de la dérivée des distances devraient donc pouvoir varier très-rapidement dans le voisinage de la conjonction , et leurs variations présenter les caractères d*une solution de continuité d'autant plus prononcée qii?

linaison s'approcherait plus de 90 degrés (*). Or de tels résultats sont difles, sinon impossibles, à obtenir avec sécurité au moyen de l'interpolation. Pour couper court à ces difficultés , je n'ai pas cru pouvoir me dispenser présenter les formules du deuxième Mémoire , qui offrent d*ailleurs quelles avantages particuliers. T. V.