SUR PLUSIEURS OUVRAGES DE GÉOMÉTRIE

JM, Du PIN se propose de publier un ouvrage qui aura pour titre : Développements de GÉ07

HETRIE RATIONNELLE ET ANALYTIQUE , fOUP SerS^ip

de suite aux Traités de Géométrie descriptive ef de Géométrie analytique de M, Monge.

Cet ouvrage sera le recueil de plusieurs Me* moires que l'auteur a composés sur des questions purement théoriques, et sur d'autres problèmes qui trouvent des applications utiles dans les arts , ' et particulièrement dans le service des ingénieurs. Avant de le faire paraître , il désire que les diffé-»rentes parties de son travail soient soumises au jugement de la Classe à laquelle il a présenté, dans une de ses dernières séances , trois de ses Mémoires qu'elle a renvoyés à notre examen. Les questions qu'il y a traitées sont relatives aux courbures des surfaces. Son objet principal est de rendre cette théorie plus élémentaire , et surtout d'un usage plus facile dans les nombreuses applications dont elle est susceptible. Ce qui importe en effet , dans les arts, c'est de pouvoir

ramener la solutîoa des problèmes à des constructions graphiques faciles à exécuter^ et c'est en cela que les procédés simples et uniformes de la géométrie descriptive sont d'une si grande utilité à toutes les classes d'ingénieurs.

Dans le premier de ces trois Mémoires, M. Dupin rappelle touts les théorèmes connus sur la courbure des surËaices, et sur les contacts du second ordre. Il parvient à les démontrer par des considérations géométriques , et sans aucun calcul. Il y ajoute ensuite d'autres théorèmes qull a découverts , et qui sont pour la plupart remarquables par la simplicité de leurs énoncés.

Les cercles osculateurs de toutes les sections normales que Ion peut faire en un point donné sur une surface , ont leurs centres sur la normale en ce point ; mais comme leurs rayons sont en général inégaux , et quelquefois tournés en sens opposés , il s ensuit qu ils ne peuvent pas appartenir touts à une même. sphère; mais on sait paf l'analyse, et M. Dupin démontre sinthétiquement que touts ces cercles sont tpujours oscula^ teurs des sections normales d'un même ellipsoïde, ou plus généralement d'une surface du second degré dont un des axes coïncide avec la normale au point donné. Cet ellipsoïde est osculateur de la surface donnée dans touts les sens autour du

point du coAtact ; et pour détçnoinçr la courbure

de cette surface , il sujffit de considérer celle de l'ellipsoïde à son sommet. Ainsi^ dans une surface quelconque ^ comme au sommet d'un ellipsoïde , les directions de la plus petite et de la plus grande courbure, à partir d'un même point, sont à angle droit. Ce sont les seules directions suivant lesquelles les normales consécutives puissent se couper, d'où il résulte les diverses propriétés des lignes de plus grande et de moindre courbure que l'un de nous (M. Monge) a le premier fait connaître ; et enfin l'on en peut aussi conclure le beau théorème d'Euler, d'après lequel les courbures de toutes les sections normales autoui* d un même point , se déduisent facilement des deux courbures principales.

M. Dupin considère, en particulier, les surfaces du second degré qui ont un centre. Il donne une construction simple et facile à exécuter, pour déterminer en chacun de leurs points , les directions et les grandeurs des deux courbures principales , et généralement de toutes les autres sections normales.

Revenant ensuite à la théorie générale des courbures, il démontre uu théorème dont l'énoncé est assez compliqué, mais dont il tire deux conséquences importantes.

Il en conclut d'abord que si deux surfaces se touchent dans toute l'étendue d'une lignç

courbe I tout plan tangent à cette ligne coupera les surfaces suivant deux courbes qni auront en^ tre elles un contact d'un ordre immédiatement supérieur a celui de ces surfaces. Lorsque , paf exemple , un cône embrasse une sphère ^ il a avec elle , dans toute Tétendue d'un petit cercle, un contact du premier ordre. Or, tout plan mené par une tangente à ce cercle, coupera le cône et la sphère , suivant deux courbes qui se toucheront au second ordre ; de sorte que la section de la sphère sera le cercle osculateur de la section co^ nique.

La seconde conséquence que M. Dupin déduit de son théorème , c'est que si deux surfaces ont un plan tangent commun en un point , et que deux sections faites par un plan normal passent par une droite tracée sur ce plan tangent ; ces sections ayant enti^ elles un contact du second ordre , il en sera de même par rapport à toutes les sections obliques faites par des plans passant par la même droite ; il en résulte donc que la sphère qui contient le cerc^ osculateur d'une section normale fistite dans une surface quelcon* que , contient aussi les cercles des sections obliques faites par des plans qui passent par la même tangente ; ou autrement dit , si un plan tourne autour d'une droite tracée sur le plan tangent à une surface , toutes les courbes suivant lesquelles

il coupera cette surface , auront leurs cercles de courbure sur une même sphère. Le théorème qui lie les courbures des sections obliques à celles des sections normales est dû à Meusnier ; en le joignant à celui d'Ëuler que nous avons cité ^ il en résulte que les courbures de toutes les lignes que l'on peut taire passer sur une même surface , et par un même point , sont liées entre elles ^ de manière que la plus grande et la plus petite étant connues en grandeur et en direction^ toutes les autres s'ensuivent.

Il nous reste à parler de la partie de son travail k laquelle M. Dupin attache le plus dlntérêt, et qu'il appelle la théorie des tangentes conjuguées. Pour concevoir ce qu'il entend par cette dénomination^ supposons qu'une surface soit donnée et qu'on lui circonscrive une surface développable qui la touchera dans toute letendue d'une ligne courbe : la tangente à cette ligne, en un point donné , et l'arête de la surface développable qui passe par ce point , sont ce que M. Dupin appelle deux tangentes conjuguées. Relativement à chaque point donné sur la surface , il existe évidemment une infinité de systèmes de semblables tangentes; touts ces systèmes jouissent de propriétés curieuses qui n'avaient point encore été remar" quées , et dont voici les principales.

I ^. Deux tangentes conjuguées sont réciproques

Tune de l'autre , c'est-à-dire , que si Tarête dWe première surface développable est tangente a la ligne de contact d'une seconde surface de la même espèce , réciproquement la tangente à la première ligne de contact sera l'arête de la seconde surface.

n^. On peut toujours tracer dans le plan tangent , en un point donné , une section conique qui ait ce point pour centre , et dont les systèmes de diamètres conjugués représenteront en direc* tion touts les systèmes de tangentes conjuguées; M. Dupin nomme cette courbe^ V indicatrice , parce qu'en effet il prouve qu elle indique , par sa nature , le sens des deux courbures principales de la surface ^ en chacun de ses points.

5^. Les deux axes de l'indicatrice ou les tangentes conjuguées rectangulaires^ sont tangentes aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

4^. Pour un même point d'une surface donnée^ le rayon de courbure de chaque section normale est proportionnel au carré du diamètre de l'indicatrice qui se trouve dans le plan de cette section, d'où il suit que selon que l'indicatrice est une ellipse ou une h3rperbole , la somme ou la différence des rayons de courbure des sections quî répondent à deux tangentes conjuguées , est une quantité constante égale à la somm? ou à la dif*

féi'ence des deux rayons principaux. L'un de ces deux rayons devient infini , et la courbure disparaît dans un sens , lorsque l'indicatrice se change en parabole ; ce qui arrive , par exemple , en tous les points des surfaces développables.

Dans le second et le troisième Mémoires, M. Dupin applique l'analyse aux questions qu'il a traitées dans le premier ; et , par son moyen , il développe sous un nouveau jour les démonstrations de plusieurs des propositions précédentes. Il forme l'équation de l'indicatrice pour un point quelconque d'une surface donnée; quand cette courbe est une ellipse , les deux courbures de la surface au point que l'on considère , sont tournées dans le même sens ; elles sont tournées en sens opposés , lorsque l'indicatrice est une hyperbole ; et, de cette manière, l'examen des diverses inflexions que la surface peut éprouver, par rapport au sens de ses courbures, se trouve ramené à la discussion fort simple des courbes du second degré. Dans le cas de l'indicatrice hyperbolique , Fangle des asymptotes £ait connaître le rapport des deux courbures principales. Il est droit, et l'indicatrice est une hyperbole équilatère en tous les points de la surface dont l'aire est un minimum entre des limites données ; car on sait que cette surface jouit de la propriété d'avoir, en chacun de ses points , ses deux rayons de courbures principaux ,

^gaux et diriges en sens contraire. On sait aussi que si une surface du second degré peut être engendrée par une droite ^ elle est susceptible d'une secçnde génération semblable , et qu'il y a toujours deux génératrices qui se croisent en chaque point. Or ,M. Dupin prouve que ces deux droites sont les asymptotes de l'indicatrice ; d'où il conclut que , sur un hyperboloïde , à une nappe et sur un paraboloïde hyperbolique , les directions de la plus grande et de la moindre courbure en un point quelconque , partagent en deux parties égales l'angle des deux génératrices et son supplément ; car c'est en effet la propriété des axes de l'hyperbole par rapport à ses asymptotes.

La plus grande partie du troisième Mémoire est employée à la détermination des points dans lesquels l'indicatrice est un cercle , et où , par conséquent , les courbures de toutes les sections normales sont égales. Ces points remarquables ont déjà été considérés par l'un de nous (M. Monge), qui \e^ a nommés des ombilics. Relativement à un point de cette espèce , l'équation des lignes de courbure devient identique , et leur direction semble d'abord devoir être indéterminée : c'est ce qui arrive effectivement en certains points comme aux sommets des surfaces de révolution. Mais M. Dupin fait voir qu'il y a d'autreé ombilics par lesquels il ne passe qu'une ou trois lignes de cour-

pth

bure , dont les directions sont déterminées , et il donne la raison de cette espèce de paradoxe.

Les recherches que nous venons d'exposer prouvent qu'au milieu des travaux dont il a été chargé , M. Dupin n'a pas perdu de vue les objets de ses premières études. Elles font désirer qu'un ingénieur qui réunit dés connaissances si étendues en géométrie et en analyse , publie bientôt Touvrage dans lequel il se propose de les appliquer à des questions de pratique et d'utilité publique. Nous pensons que ses trois Mémoires sont très-dignes de l'approbation de la classe , et nous proposerions de les insérer dans le Recueil des Sapants Étrangers , si l'auteur ne les avait destinés lui même à un autre usage. Signé, les commissaires Moî^oe , Carnot, et Poisson, rappor-^ leur.

La Classe approuve le rapport et en adopte les conclu-» sions. 28 Décembre 181 2.

Certifié conforme à l'originaK

Le secrétaire perpétuel ,

T>elàmbbe.