CALCUL DES PROPOSITIONS

L'inconvénient d’une telle introduction est de masquer la signification véritable du calcul des propositions, la raison de son privilège comme partie commune à tous les systèmes formels classiques. En réalité si on ne veut pas opérer à son sujet un redoublement des notions logiques intuitives, 1l doit être considéré non comme système formel particulier mais comme complément des règles de structure et de déduction dans la définition d’un système formel en général : les formules complètes sont supposées réparties d’après leur validité ou non validité en deux classes disjointes (sans/élément commun) (principe de non contradiction) et de façon exhaustive (principe du tiers exclu). La seule nouveauté est de considérer des assemblages de une, deux ou # propositions éléments qui constitueront des propositions complexes dont la validité sera définie d’après celle des propositions éléments (fonctions de vérité) : ainsi pour -a,aNb,aVb,a+b(\) entre lesquels la symétrie est rétablie (2). Il n’y a donc ni axiome ni règles de raisonnement : la règle de substitution vaut dans tout système formel, la règle de séparation est conséquence immédiate de la définition de + (8).

(1) — a vaut quand a ne vaut pas ; a V b vaut quand au moins un des deux éléments a ou bd vaut ; a À b seulement quand les deux valent à la fois. ab vaut toujours sauf si a vaut et b ne vaut pas. On pourrait prendre d’autres fonctions comme l’incompatibilité (Nico). Pour le rapport avec la logique traditionnelle, v. J. CAVAILLÈS (II). s

(2) Ainsi a + b s'écrit aVb, aAb : -(-ay- b)

» » — (aA=b), avb : —(-aA-b)

Lorsque, comme il est courant, les 4 constantes figurent dans une proposition complexe on convient, pour éviter les parenthèses, que leurs puissances d’action relatives sont déterminées par l’ordre +, À, V, =. Par exemple on écrira :

a > —1 bACVd au lieu de a > [ = bA(cCVd) |

(3) En effet si a et a > b valent, b doit valoir.

Avec le rapport aux objets commence la mathématique véritable : une proposition est l'affirmation qu’une propriété est possédée par un ou plusieurs objets. D'où à la fois la répartition des variables en types et l'introduction des notions corrélatives de fonction mathématique et d’individu. Une proposition élément est le couple formé par une variable d’un certain type (prédicat) et un argument, groupe de variables dont le plus haut type est immédiatement inférieur à celui du prédicat (tout assemblage, opéré par le calcul des propositions, de prédicats portant sur le même argument sera ici considéré comme une proposition élémentaire, la coordination par les fonctions de vérité des différents prédicats définissant complètement un unique prédicat, représentable par une lettre (1). Il est évident qu’un système donné ne peut comporter qu’une infinité dénombrable de types (puisqu'on ne peut jamais définir qu’une infinité dénombrable de signes). — Les individus sont des signes de type déterminé qui peuvent être substitués dans une proposition aux variables de même type, la réciproque étant impossible. Ils sont introduits dans le formalisme par des axiomes qui donnent de nouveaux moyens de démonstration. Il arrive donc qu’une proposition à variables impossible à démontrer devienne démontrable pour certaines individualisations de ses variables (les substitutions d’individus affectant toutes les variables ou seulement une partie

(1) La notion de type — introduite par RUSSELL pour échapper au paradoxe qu’il avait découvert dans la théorie des ensembles — répond à ce que HussEeRL (Il) appelle la faculté thématisante des mathématiques : toute propriété d’un objet peut devenir à son tour objet et posséder des propriétés ; en langage de théorie des ensembles: tout ensemble d'éléments peut devenir élément d’un ensemble. L'ensemble paradoxe de RUSSELL se contenait lui-même comme élément : ou la variable prédicat se possède elle-même comme argument. On voit que la règle de structure du texte interdit une telle rencontre. Mais en mathématiques il arrive de définir un nombre (entier, réel) par une propriété (un ensemble) de nombres (réels, entiers) : ainsi la borne supérieure d’un ensemble. Le nombre obtenu serait d’un type supérieur ; d’où l’axiome de réductibilité ci-après p. 110.

d’entre elles). On pourrait même concevoir qu’une proposition soit démontrable pour tous les individus substituables à une de ses variables (par répétition chaque fois d’une démonstration pour chaque individualisation) sans que soit connue une démonstration pour la proposition à variables (1). Ces éventualités exigent l’introduction de nouveaux signes, les quantificateurs. Si par un moyen quelconque la proposition (?) :