CHAPITRE IV

Les démonstrations de non contradiction.

La non contradiction d’une théorie assez riche ne peut être rendue apparente sans artifice. La démonstrabilité d’une proposition n’est pas, en effet, — comme le caractère « pourvu de sens » — une propriété structurelle : les règles de déduction et de substitution suppriment les traces du processus générateur ; elle échappe même à toute décision finie : si le système comporte une infinité dénombrable d’axiomes, il n’y a pas de borne supérieure pour la longueur des dessins démonstrations. Il faut donc recourir à une caractérisation indirecte : condition nécessaire mais non suffisante de démonstrabilité, et telle que la négation d’un certain axiome n'y satisfasse pas. On sait que cette négation peut être choisie arbitrairement, si le formalisme contient le calcul des propositions : ajoutée au système, elle y rend tout démontrable. Pour les systèmes formels de l’analyse classique et de la théorie des nombres, on a essayé tour à tour la valuation, la désintégration et l’effetuation (1).

La méthode de valuation avait déjà été indiquée par Hit- BERT, en 1904 (?) : il s’agit de trouver une règle pour répartir

(1) BERNAYS (III), p. 342, distingue 3 méthodes : valuation, désintégration et élimination. Sur la 3° n’ont été encore publiées que de brèves indications ; nous remplaçons son étude par celle de la méthode qui découle du. théorème d'HERBRAND.

(2) HiLBERT (VII), p. 247.

126 LA VALUATION

toutes les propositions de la théorie en 2 classes telles que, à la 1re, appartiennent : 19 tous les axiomes ;

29 toutes les propositions déduites au moyen des règles d’une proposition qui en fait partie ;

39° parmi les propositions de forme — %, seulement celles pour qui À est de la 2° classe.

On voit que toutes les propositions démontrables appartiennent à la première classe, et qu’une négation d’axiome (en général, une proposition et sa négation) n'y peut apparaître. HILBERT effectuait la séparation pour un formalisme rudimentaire (début de la théorie des nombres, avec la seule addition d'individus numériques) grâce à l’homogénéité des formules, c’est-à-dire la présence du même nombre de signes des deux côtés de ==. Comme le seul axiome où parût la négation était aussi le seul à n’être pas homogène, les trois conditions étaient satisfaites. ACKERMANN (1), puis von NEU- MANN (2) ont essayé de reprendre l’idée pour le système total de l’analyse : mais l’exigence d’une valuation complète est alors exorbitante. Elle suppose le choix effectué pour toute proposition À entre irréfutabilité (c’est-à-dire indémonstrabilité de — Y : X appartient à la rre classe) et indémonstrabilité (X appartient à la 2€ classe). L’exigence est moins forte que celle de la décision (si la proposition À est ou non démontrable) : en effet toutes les propositions irréfutables (contenu de la 1'€ classe) ne sont pas forcément démontrables ; mais comme le note von NEUMANN : « son rapport avec tous les problèmes mathématiques possibles rend bien invraisemblable qu’on y puisse satisfaire » (8). Sauf cepen-