ILE

ne peut être vraie que dans un champ comportant au moins trois individus. Quant à : :

H2AxyA II [AxyNAAyYzæAxz] AE Axx

EDR? x, ÿ à æL

(1) LŒWENHEIM (I).

(2) Nous représentons les prédicats élémentaires par des majuscules latines et quand il n’y a pas ambiguïté, nous omettons les parenthèses pour les variables sur lesquelles portent les prédicats.

THÉORÈME DE LŒWENHEIM 133

(définition de l’ordre), elle exige une infinité dénombrable d'individus. LOEWENHEIM montre que, contrairement aux apparences, il n’est pas nécessaire d’aller plus loin : toute proposition non contradictoire peut être satisfaite dans un champ dénombrable. La difficulté vient de la superposition des quantificateurs : une conjonction infinie de disjonctions infinies est impossible à dominer. LOEWENHEIM y pare en

interprétant la succession I1 3 comme une relation fonction- Re” nelle: à tout xcorrespondun y. On remplacey par une fonction

d'indice f (x) à définir et on fait passer le > à gauche: > T1 ; 1ACDIME en répétant l'opération pour chaque variable restreinte il

est donc possible de mettre une proposition sous la forme canonique :

D IL %(x, SECRET EN EE NO POUR CAE A

17 D SAV DH te vi

I1 semble que l’on n'ait rien gagné : la disjonction est en effet étendue, même pour une seule variable restreinte à un infini supérieur à celui de la conjonction (infini des fonctions d’entiers si le domaine base est celui des entiers). Mais il suffit pour rendre vraie la proposition de prouver la vérité d’un seul des termes de la disjonction : 1l suffira donc de définir une seule fonction f (x, y, {), une seule 2(x, 7, #), etc... Comme le domaine base est arbitraire tout revient à donner un procédé régulier qui, d’une part, pour chaque valeur des arguments définisse les individus-valeurs des fonctions d’indice, d’autre part attribue aux prédicats ainsi individualisés des valeurs logiques telles que la proposition soit vraie. C’est une construction progressive du domaine qui constituera la démonstration. LOEWENHFIM prouve qu’elle peut toujours s’effectuer : au premier stade on substitue à toutes les k variables générales le même individu o, les # fonctions d'indices ont alors n valeurs,

I, 2, n par ex. ; on fixe les valeurs logiques de façon que

J. CAVAILLÈS

134 THÉORÈME DE LŒWENHEIM

la proposition soit vraie. Au second stade on considère les (n + 1)* — 1 répartitions des # + I individus posés précédemment entre les k variables générales (la répartition 0 … o ayant déjà été vue) : les fonctions d’indices donnent alors ((# + 1)* — 1) n nouveaux individus ; on fixe les valeurs logiques des prédicats individualisés de façon que la conjonction de # + 1 termes (on y adjoint le terme du premier stade) soit vraie et ainsi de suite (1). Il y a en général plusieurs solutions (modes de répartition de valeurs logiques entre les prédicats individualisés) à chaque stade ; chaque solution d’un certain stade est par définition le prolongement d’une solution du stade immédiatement précédent (puisque la conjonction considérée dans l’une contient comme conjonction partielle celle considérée dans l’autre). Comme les solutions à chaque stade ne sont pourtant qu’en nombre fini (<2”,m" étant le nombre des prédicats élémentaires figurant dans la proposition), si l’on peut poursuivre indéfiniment on voit qu’il y aura finalement une seule solution (persistant à tous les stades). Enfin on peut poursuivre indéfiniment ; supposons en effet qu’on soit arrêté au stade # ; soit N le nombre des individus engendrés à ce stade : comme la conjonction obtenue serait fausse quelle que soit la répartition des valeurs logiques, en y remplaçant chaque individu par une variable :

a CAN 7 PORT PIE 2 PNR 2 07 AE RE RE SR ON mA NE LEURS NU He k, AnokreÆN) serait une identité logique, donc aussi :

IT - CN LA AN AT RARE Ne

Ep N