IV. De la même manière en posant

1 riVf* s'*

on aura

W" sera indépendant de p, ^, r et 5, et ô m une quantité positive.

V. S'il y a un plus grand nombre d'inconnues, on continuera de la même manière et l'on aura enfin

W = l -p" -h ?" H- y, r" ■+■ — j" + . . . -4- CODSt.,

expression où a, (3', y", d f ", etc., désignent des quantités positives.

VI. On a déjà vu que la probabilité d'un système de valeurs de p, q, r, $, etc., était proportionnelle à la fonction

<? — : par conséquent, la valeur de p restant indéterminée, la probabilité d'un certain système de valeurs de (7, r, 5, etc., sera proportionnelle à l'intégrale

qui est égale, d'après le théorème de Lapl ace , à

et cette probabilité sera proportionnelle à la fonction

De même, si Ton considère de plus q comme indéterminé, la probabilité d'un système de valeurs de r, s, etc., sera proportionnelle à

*e-*' w 'rf ït — co

c'est-à-dire à

/l 'jj' 'ttV V/' ^ />

et, par suite, proportionnelle à e~"* IW \ De même si r est aussi regardée comme indéterminée, la probabilité d'un système de valeurs déterminées de s, etc., sera proportionnelle à e~ h * " , et ainsi de suite. Supposons que le nombre des inconnues se réduise à quatre 5 les conclusions seraient les mêmes dans le cas général. La valeur la plus probable de s sera

et la probabilité qu'elle différera de a de la véritable valeur sera proportionnelle à

d'où nous concluons que \f¥' mesure la précision relative à cette détermination , en prenant pour unité la précision des observations primitives.

Par la méthode du paragraphe précédent un certain degré de précision a été assigné à la seule inconnue qui, dans le travail de l'élimination , a été gardée la dernière. Pour éviter cet inconvénient, nous allons calculer d w d'une autre manière.

Des équations

1 '■pr v w

on tire, en les résolvant par rapport à p', q' y r\ s', />'=P,

/ = S + ©"R •+- Uï>" Q 4- X"P,

de sorte que .A , A', *l>", ui>', ifl>", sont de# quantités déterminées. On aura donc (en restreignant à quatre le nombre des inconnues) •

d'où résulte la conséquence suivante : Les valeurs des inconnues p, q, r, s, etc., que Ton doit tirer des équations

sont évidemment exprimées par des fonctions linéaires de P, Q, R, S, etc., savoir :

Cela posé, les valeurs les plus probables de ces inconnues sont respectivement L, L', L", etc. Les degrés de précision qui doivent être attribués à ces déterminations sont respectivement

vTÂ' y'B 7 ' j<?' W'"*

en prenant pour unité la précision des observations primitives ; car ce que nous avons dit plus baut de l'inconnue s ^pour laquelle D'" répond à ~\ s'applique aux autres inconnues par une simple permutation.

( '3. ) iO.

Pour éclaircir par un exemple les recherches qui précèdent, supposons que par des observations pour lesquelles une égale précision doit être présumée, on ait trouvé

p — q ■+• 2r = 3, 3p 4- i(f — 5r = 5, kf 4- q -h 4 r = 21 >

mais que, par une observation à laquelle une précision égale à - doit être attribuée, on ait trouvé

A cette dernière nous substituerons la suivante ,

que nous supposerons provenir d'une observation aussi précise que les premières. De là on tire

et par l'élimination

Les valeurs les plus probables des inconnues seront donc

avec des degrés de précision égaux respectivement à

Le sujet que nous avons traité jusqu'ici donnerait lieu à d'élégantes recherches, auxquelles nous ne nous arrêterons pas, pour ne pas trop nous écarter de notre objet principal. Par la même raison, nous réservons pour une autre occasion l'exposition des artifices qui permettent de réduire le calcul à un algorithme plus expéditif. Qu'on nous permette seulement d'ajouter une seule observation.

Lorsque le nombre des fonctions ou des équations proposées est considérable , le calcul est surtout rendu pénible par cette circonstance, que les coefficients par lesquels on doit multiplier les équations primitives pour obtenir P, Q, R, S, etc., sont presque toujours des fractions décimales compliquées. Si l'on ne croit pas important dans ce cas de calculer ces produits avec le plus grand soin à l'aide des Tables de logarithmes, il suffira le plus souvent de leur substituer des nombres plus simples qui eu diffèrent peu. Il ne peut en résulter d'erreurs notables qu'autant que la précision des inconnues devient moindre que la précision des observations primitives.

Au reste , le principe d'après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s'établir sans recourir au caleul des probabilités, comme il suit.

Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu'elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux , on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d'une précision absolue. Il faut donc dans ce cas chercher à établir l'accord le plus satisfaisant, c'est-àdire à faire en sorte que les différences soient atténuées le plus possible. Mais cette idée a par elle-même quelque

chose de vague. En cÛèt, quoiqu'un système de valeurs des inconnues doive être sans aueun doute préféré à un» autre système où toutes ces différences seraient respeetivement plus grandes, le ehoix entre deux systèmes dans l'un desquels l'accord serait plus satisfaisant pour quelques-unes des observations, mais moins satisfaisant pour d'autres, est en quelque sorte arbitraire, et Ton peut évidemment proposer plusieurs principes par lesquels la première condition soit remplie. En désignant par A. A', A", etc., les différences entre le calcul et les observations, ou satisfera à cette condition, non-s< ulcmcnt si A*-f- A'*-f- A" s 4-. • devient un minimum (ce qui est notre principe), mais encore si A v -h A'* 4- A"*h-. . ., ou A 4 -h A /6 -+- A"«H-..., ou généralement une somme de puissances paires, devient un minimum. Mais de tous ces principes le notre est le plus simple, tous les autres nous entraînant dans des calculs extrêmement compliqués. Au reste, ce principe, dont nous avons fait usage dès l'année 17ÇP, a été donné dernièrement par Legendrc dans ses Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806; on trouvera dans cet ouvrage plusieurs conséquences que le désir d'abréger nous a fait omettre.

Si l'exposant de la puissance paire dont nous venons de parler était infini, nous serions ramené au système dans lequel les plus grandes erreurs sont moindres que dans tout autre système.

Laplace se sert, pour la résolution d'équations linéaires en nombre plus grand que les inconnues, d'un autre principe, proposé d'abord par Boscovich, savoir, que la somme des valeurs absolues des différences devienne minimum. On peut facilement démontrer que le système des valeurs des inconnues trouvé par ce seul principe doit Nécessairement (*) satisfaire à autant d'équations, prises parmi les

(*) Excepté quelques cas spéciaux où il y a indétermination.

• - . Dïçjïtized

proposées, qu'il y a d'inconnues, de sorte que les autres équations ne sont employées que pour décider le choix que Ton doit faire.

Si , par exemple, l'équation V = M est du nombre de celles qui ne sont pas satisfaites, le système des valeurs trouvées par le principe en question ne serait pas altéré si au lieu de M on avait observé une autre valeur N telle, que, n étant la valeur calculée, les différences M — n et 3N — n fussent de même signe. Au reste, Laplace tempère en quelque sorte ce principe en y ajoutant cette nouvelle condition, que la somme des différences, prise avec leurs signes, soit nulle. Il en résulte que le nombre des équations satisfaites est- moindre d'une unité que le nombre des inconnues : mais l'observation que nous venons de faire subsiste encore lorsqu'il n'y a que deux inconnues.