AVERTISSEMENT

Les astronomes chargés de mesurer Parc du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et Barcelonne , ont terminé leur importante et pénible opération. A leur retour , leur premier soin a été d'exposer aux commissaires nationaux et étrangers, réunis pour fixer l'unité fondamentale des nouvelles mesures , tout leur travail et le parti qu'ils avoient tiré des instrumens nouveaux dont ils s'étoient servis pour les observations astronomiques et géodésiques. Une commission spéciale a pris connoissance des registres et des journaux ; et après avoir examiné tous les angles , et pesé les circonstances dans lesquelles ils avoient été observés, elle a fixé tous les résultats qui doivent servir aux calculs de la méridienne et de la longueur du mètre.

Après avoir détaillé aux commissaires toutes les attentions que j'avois apportées dans les observations de latitude et d'azimuth, dans celles des triangles , et enfin dans la mesure des deux bases; j'ai rendu compte des méthodes quejem'étois faites pour les réductions diverses qu'exigent ces observations , et des formules sur lesquelles j'avois provisoirement calculé la longueur de notre méridienne.

Cette partie , purement théorique, étoit moins susceptible d'une explication verbale , et demandoit un examen plus réfléchi. Il eût été trop long de faire passer mon manuscrit successivement entre les mains de tous les commissaires ; on en demanda l'impression : elle fut commencée

vj AVERTISSEMENT.

aussi-tôt, et les feuilles étoient distribuées à mesure qu'elles quittaient la presse. Tels sont les motifs qui ont hâté la publication de l'écrit qu'on va lire.

Tous les astronomes qui se sont occupés en différens temps de la mesure des degrés du méridien , ont rendu un compte plus ou moins étendu de leur travail ; et après plusieurs ouvrages justement estimés , on seroit tenté de croire qu'il n'y a plus rien de nouveau à dire sur un sujet traité déjà tant de fois. Mais ceux qui ont lu tous ces ouvrages , ont pu remarquer qu'à l'exception de la partie Historique et de la vérification des instrumens , ils se ressemblent tous pour le fond , et que dans tous on a suivi les mêmes méthodes de calculs.

Ces méthodes , purement approximatives , pouvoient paroître suffisantes avec les instrumens qu'on employoit alors. Les erreurs du calcul éloient pour l'ordinaire fort inférieures à celles de l'observation, et Ton a eu raison de ne pas affecter une exactitude qui n'eût été qu'illusoire.

Des instrumens nouveaux, en nous permettant d'aspirer à une précision beaucoup plus grande dans la mesure des angles, nous imposoient la loi (Je chercher pour les calculs des méthodes plus exactes et plus rigoureuses, Avant même qu'il ne lut question de mesurer de nouveau la méridienne, je m'étois occupé de quelques recherches relatives à ces opérations. J'ai publié dans la Connoissance des Temps mes formules et mes tables pour les réductions des angles. J'avois dès-lors reconnu l'insuffisance de la méthode employée jusqu'ici pour tenir compte de la convergence des méridiens. Enfin notre mesure ayant commencé vers le milieu de 1 792 , je sentis bientôt la nécessité d'examiner tous les problêmes que j'aurois à résoudre

AVERTISSEMENT. vij

ifans le cours de ce travail. Je m'attachai à en renfermer la solution dans des formules générales qui dispensassent le calculateur du soin embarrassant de faire des figures pour tous les cas qui peuvent se présenter.

Par-là, je suis, parvenu à simplifier les opérations. Voyez , par exemple , dans la Méridienne vérifiée la manière dont on expliquoit les élémens de la réduction des angles au centre de la station f et les diverse* dénominations employées suivant les différentes positions de l'instrument par rapport à ce centre. Les onze Égares qui accompagnent ces explications sont d'un usage peu commode. A chaque observation on étoit obligé de le* parcourir toutes pour choisir celle qui convenoit, et l'on avoit encore la peine d'examiner quels dévoient être les signes des deux partie* de la réduction. D'autres observateurs n'ont trouvé rien de plus sûr que de placer à côté de chacun de leurs angles une figure qui pût guider le calculateur. Une formule aussi simple que générale dispense de tout cet appareil. H suffit de mesurer une distance et un angle , et avec ces deux données le calcul devient aussi sûr que commode.

Par-tout j'ai suivi la même marche. Quand le lecteur aura vérifié les démonstrations que je donne de chacune des formules-, il pourra ensuite s'en servir avec confiance et facilité dans toutes les circonstances.

J'ai donné ces démonstrations dan» toute leur étendue ; elles sont toutes algébriques t et composées d'une suite d'équations qui se déduisent l'une de l'autre par des substitutions fort simple*. Cette méthode me paroit la plus claire et la plus satisfaisante. Quelque* personnes la trouveront sans doute un peu longue ;, mais tous ceux qui s'occupent

viij AVERTISSEMENT.

d'opérations géodésiques ne sont pas également familiarisés avec les procédés algébriques ; et si je m'étois contenté d'indiquer la marche qu'il faut suivre , plusieurs d'entre ceux à qui ce Mémoire peut être utile auroient été dans l'impossibilité de remplir les lacunes et de reconnoître les fautes d'impression, si par hasard il en restoit quelqu'une dans les formules.

Les réductions au centre de la station ne sont pas seules nécessaires. Quand le signal observé a un diamètre sensible , et qu'il est inégalement éclairé , le point observé peut n'être pas dans la direction de l'axe; alors il faut une correction à l'angle observé. Je me suis attaché à déterminer cette correction, trop négligée jusqu'ici; et j'ai donné des formules pour tous les cas que j'ai rencontrés ou que j'ai pu prévoir. Ainsi l'on pourra corriger les erreurs produites par les différentes phases des signaux.

J'ai donné des formules et des tables très-simples pour réduire à l'horizon les angles observés dans des plans inclinés,

Les mêmes tables serviront à réduire les angles horizontaux ou sphériques aux angles rectilignes formés par les cordes des arcs terrestres.

Les cercles de Borda , qui ont servi à toutes nos opérations , permettent de répéter d'une manière presque indéfinie la mesure des distances des étoiles au zénith dans une même nuit pour en conclure la hauteur du pôle ; mais ces distances sont observées hors du méridien : elles ont besoin d'une correction. Je donne pour la calculer une série trèsconvergente , dont les deux premiers termes suffisent toujours , et des moyens faciles pour renfermer ces deux termes dans une table commode,

J'examine

AVERTISSEMENT. ix J'examine les différentes erreurs dont ces observations sont susceptibles , et la théorie , confirmée par l'expérience , fait voir que ces erreurs sont insensibles. 1800 observations de ce genre, faites dans le cours de cet hiver par deux étoiles différentes, pour déterminer la latitude de mon observatoire , m'ont donné presque constamment la même quantité pour cette latitude. Les petites variations qu'on remarque d'un jour à l'autre , peuvent très-bien s'attribuer aux irrégularités de la réfraction. Les résultats moyens de mes deux étoiles diffèrent à peine de o",2, et je trouverois encore la même chose, si, au lieu d'employer mes 1800 distances, je m'arrètois à 4 ou 5oo , c'est-à-dire à une centaine d'observations pour chacune de mes étoiles , tant au-dessus qu'au-dessous du pôle.

A la suite des formules qui servent à trouver, pour tous les sommets d'une longue suite de triangles, les différences de longitude , de latitude et d'azimuth dans la supposition de la terre sphérique , j'explique les moyens de tenir compte de Papplatissement de la terre , et de déterminer cet applatissement par les observations. Pour faciliter cette explication , j'ai réuni un grand nombre de formules qui donnent , en fonction de la latitude , la valeur de toutes les parties de l'ellipse du méridien terrestre. Parmi ces formules, on trouvera deux séries fort simples, qui peuvent être utiles dans les calculs de parallaxes.

Le cercle de Borda peut être considéré comme le meilleur de tous les niveaux. Les distances au zénith, que nous avons observées à tous nos signaux sans exception , donneront les hauteurs de chacun de ces points au-dessus de la mer à Dunkerque et à Barcelonne. Il est vrai que l'incertitude des réfractions terrestres diminue un peu la

x AVERTISSEMENT, précision que l'instrument pourroit faire espérer. Mais avec des observations réciproques et simultanées à deux signaux , on auroit , sans aucune erreur , la différence de niveau des deux stations j et deux observateurs qui se concerteroient , feroient avec beaucoup d'exactitude le nivèlement d'une grande région. J'ai donné pour tous les cas qui peuvent se présenter dans la pratique, les formules finies qui renferment la solution exacte du problème et des séries convergentes dont le premier terme suffit ordinairement.

Enfin , pour rendre ce Mémoire plus utile à tous ceux qui ont à faire des opérations du même genre à-peupres , que celles qui servent de base à la description d'une méridienne , j'ai donné des exemples numériques de tous les calculs , et j'ai montré comment la seule règle algébrique des signes peut dispenser de toute autre attention , et faire sortir d'une formule générale l'a solution particulière qui convient à chacun des cas qui peuvent se présenter dans la pratique. J'ai aussi , dans cette partie du Mémoire , placé la solution de quelques problèmes qui m'ont souvent été utiles , et qui le scroient encore plus dans les opérations topographiques.

Quand on a commencé l'impression de ce Mémoire , le cit. Legcndre venoit d'en publier un dont l'effet est de rappeler et d'éclaircir les méthodes qu'il avoit données en 17&7 dans les Mémoires de l'Académie des Sciences. On le trouvera en tête de ce volume. Ayant à résoudre les» mêmes problèmes , nous avons quelquefois pris la même route , et nous sommes parvenus à des résultats identiques. D'autres fois , ayant pris des routes toutes différentes , nous arrivons à des méthodes qui ne

AVERTISSEMENT. xj

se ressemblent en aucune manière ; mais elles conduisent au même but. Le calculateur pourra choisir, ou, ce qui vaudroit encore mieux, les employer concurremment. Quand il aura trouvé les mêmes quantités par des procédés qui n'ont rien de commun , il sera convaincu tout-à-la-fois de l'exactitude des méthodes et de la bonté de ses calculs.

Le u germinal an ;\

TABLE

A4 éthodb pour déterminer la longueur exacte du quart du

Méridien , par À. M. Legendrb. Pag e t

Du Calcul des Triangle*. * Du Calcul de l'arc du Méridien. 5

Equations entre les longueurs des arcs et les latitudes de leurs extrémités. 6

NOTE PREMIÈRE. Réduction d'un Angle a l'Horizon. "

N OTE II. Excès de la Somme des trois angles d'un triangle réduit i l'Horizon , sur 180 0 . îa

NOTE III. Résolution des Triangles sphériques dont les côtés sont trèspetits, par rapport au rayon de la sphère. ibid.

NOTE IV. De la Perpendiculaire à la Méridienne, i4 >

Formules et Méthodes employées dans le Calcul de la Méridienne de France , par J. B. J. Del ambre. 17

Conversion dos Degrés décimaux en Degrés sexagésimaux et réciproquement, ibid.

Correction à foire aux Angles observés avec le cercle de Borda , à raison de l'excentricité de la lunette inférieure. 18

L'effet de celle excentricité sur la somme des trou angles d'un triangle se réduit toujours à zéro. 20 Réduction au centre de la Station.

Formule générale et finie pour cette réduction , composée de deux termes, at

Autre formule , dans laquelle la réduction est exprimée par une série dont le premier terme est toujours suffisant. aa

Moyens de se placer de manière à ce que la réduction soit nulle , quoiqu'on observe hors du centre.

Ces moyens ne sont généralement praticables que sur les montagnes ou dans les signaux dont l'intérieur est libre. Mais si les circonstances locales empêchent quelquefois de trouver exactement le point où la réduction est tout-à-fait nulle, on peut loujoors en approcher plus ou moins; et cela n'est pas inutile dans les cas où l'on a quelques doutes sur le centre véritable. Car la réduction étant toujours proportionnelle au sinus d'un certain angle , si cet angle est fort petit on pourrait se tromper de quelques centimètres sur la distance au/ centre, sans qu'il en résultât aucune erreur sensible sur la réduction. , a4

TABLE. xiij

i poar trouver la distance aa centre et l'angle de direction quand le centre est invisible ou inaccessible , mais qu'il est placé sur le milieu d'une diagonale dont on peut observer les extrémités. afi Formules pour trouver les mêmes quantités lorsque le centre est dans l'intérieur d'une figure régulière ou symétrique dont on ne peut observer qu'une face. 3o tt suif.

Méthodes pour trouver les mêmes quantités quand le centre est invisible et placé sur le périmètre d'une figure dont les dimensions sont connues. 35 Rédaction tu centre du signal quand la partie visible et observée n'est pas dans l'axe de ce signal. 35 Réduction à l'Horizon pour les orgies observés dans des plans inclinés. 36 et suiv. Différence entre l'angle sphérique formé par deux arcs du cercle, et l'angle rectiligne formé par les cordes de ces deux arcs: 4o et suiv.

Différence entre le côté d'un triangle rectiligne et la somme des deux autres côtés, exprimée par une série dont la loi est fort simple. 43 Procédés employés à Perpignan pour trouver la véritable distance des deux terme» de la base, par la mesure d'une ligne qui pasaoit à quelque distance de ces deux termes. 44 Réduction de la base i un niveau donné. 46 Réduction pour les distances au zénith des étoiles observées avant et après leur passage au Méridien. 48 tt suiv.

Evaluation de l'erreur qui peut résulter d'une petite incertitude sur la déclinaison , l'angle horaire et la latitude. 5o tt suiv. Examen de l'erreur produite par une petite inclinaison dans le cercle qui sert à mesurer les distances au zénith. 5a Examen de Terreur qu'on comraetlroit en n'observant pas à l'intersection même des deux fils de la lunette. 54 Manière d'éluder l'erreur qni seroit occasionnée par l'inclinaison du fil qui doit être horizontal. 55 Formules pour calculer les observations arimuthales. 56 Procédés plos rigoureux pour calculer les observations azimnthales faites avec le cercle de Borda, ou celles qu'on feroit avec le même instrument pour trouver le temps vrai ou sidéral. 58 Calcul de toutes les parties de la Méridienne sur h terre supposée sphérique. 5ç Différence de latitude entre deux signaux. G i Différence d'aiioiu h , première formule. 63 Série régulière pour le même problème. 65 Cette série peut aussi servir à trouver la surface du triangle sphérique , en supposant connus deux côtés et l'angle compris. Différence des parallèles ou arc du méridien en mesures linéaires. .67

xiv TABLE.

Expressions de toutes le* parties du Méridien elliptique , en fonction de 1* latitude. <58 Valeur d'un arc du méridien compris entre l'équateux et un parallèle donné. ?3 Quart du méridien en fonction d'un arc quelconque mesuré sur le méridien , et des deux latitudes extrêmes. 7* Expression analogue pour la valeur du mèlre. ibid. Calcul d'un arc du méridien dans le sphéroïde elliptique. 77 Tableau de toutes les formules nécessaires pour la solution de ce problème. 83 Démonstration d'un théorème du cit. Legendre. 8 H

Hauteur des sommets des triangles au-dessus du niveau de la mer, et moyens pour déterminer la réfraction terrestre. 91 Expression de la différence de niveau entre deux signaux , en (onction de leur distance rectiligne et de leurs distances réciproques au zénith l'un de l'autre. 9'»

Manière de conclure l'une de ces deux dùtances quand on n'a pu en observer qu'une seule. g5 Formule pour trouver la hauteur d'un lieu d'où l'on a observé la dépressi n de la mer. 98 Manière de déterminer la réfraction terrestre. ibiJ. Formules analogues pour résoudre les mêmes problêmes sur le sphéroïde. 119 Formules des réfractions astronomique* pour les distances au tenith vraies et apparentes. 1 o5

Ces formules donnent directement, et sans aucune fausse position , les quantités cherchées.

Correction due aux variations du baromètre et du thermomètre. 109 Méthodes pour déterminer la partie du signal qui s'élevoit au-dessus du point

où se faisoient les observations. nu Série qui sert à trouver l'un des angles inconnus d'un triangle rectiligne ,

quand on connoit deux côtés et l'angle compris. 1 1 \

applications et exemples du calcul des Formules précédentes.

Remarques sur l'usage du cercle de Borda. 1 14

Manière de déterminer les élémens de la réduction an centre de la station , et exemple de cette réduction en employant les sinus décimaux et sexagésimaux. 1 1 7 Usage des formules pour déterminer les élémens de la réduction , quand le centre est invisible ou inaccessible. iaa Calcul de la réduction à l'horixon par les table* qui sont i la fin du Mé-

TABLE. xv

Calcul de la réduction de l'angle sphérique à l'ongle des cordes pat les même» tables. i34 Méthode analytique pour trouver la position d'un lieu où l'on a observé deux

angles entre trois objets connus.

Méthode analytiqae pour résoudre le même problème , quand on ne connoît le* trois points donnés que par leurs distances à une méridienne et à une perpendiculaire. 1 43 Méthode analytique pour trouver la distance et la pssilion de deux points d\m l'on peut observer deux objets dont la distance est connue. 1 4 9 Exemple d'un calcul de hauteur du pôle par les observations d'une étoile circompolaire avant et après son passage' au méridien. i53 Exemple de calcul pour les ol-scrvalions atimuthales. i58 Calcul des différences de niveau. i64

— de la réfraction terrestre. »63

de l'inclinaison de l'horizon de la mer. ibid.

de la réfraction astronomique. 169

Méthode pour déterminer si un signal qu'on veut placer se projettera en terre ou dans le ciel. 171 De la meilleure condition des Signaux. 17^

T a a l f a pour réduire les angles d'un plan 1 un antre plan. Table des réfractions moyennes pour les distances vraies au zénith. Tables de correction pour les réfract ons.

Tabtes pour faciliter la construction des tables de réduction au méridien pour les étoiles.

Observations sur quelques endroits du Mémoire précédent, par A. M. La g s M DRE.