C. Le déplacement par rotation
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A. Translation parallèle.
On se sert de cette méthode pour rapprocher les uns des autres les éléments donnés, en transportant quelques unes des lignes de la figure dans de nouvelles positions, parallèles aux positions primitives. En particulier, cette méthode pourra souvent s'appliquer quand on connaîtra deux lignes de la fîgure et l'angle qu'elles font entre elles, parcequ'en déplaçant l'une d'elles de manière qu'une de ses extrémités coïncide avec une extrémité de l'autre, on obtiendra un triangle qu'on peut construire de suite. Dans un polygone quelconque, on peut rapprocher les éléments les uns des autres en transportant tous les côtés parallèlement à eux-mêmes, de telle sorte qu'ils passent tous par un même point. Les lignes peuvent être tracées dans une direction telle que les angles qu'elles font entre elles soient égaux aux angles extérieurs du polygone primitif, dont la somme est, comme on le sait, égale à 4 angles droits. En joignant les extrémités des lignes, on obtient un nouveau polygone qui esc souvent plus facile à construire que le premier. Les cas particuliers qui suivent le feront mieux comprendre.
Triangle. Par translation, on déduit du triangle ABC le triangle CZ'-Ë^; AE=^ AB^X.DB =^ AC. Les lignes qui partent de A sont les côtés du triangle primitif t les angles formés autour de A sont les es extérieurs. Comme -fi(7=2C0, les 3 du nouveau triangle sont le double ' des médianes du triangle primitif, tandisque réciproquement A est le point d'intersection des médianes du nouveau triangle. Comme .0 et i> sont à égale distance de AC, les hauteurs du triangle ABC se retrouvent dans les triangles qui se joignent en A. Comme dans la translation parallèle les angles ne changent pas, tous ceux que font entre eux les côtés, les hauteurs et les médianes se retrouvent dans la nouvelle figure. Puisque A DAC= /\ ABC, la surface de DEC est triple de
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celle de ABC. Toutes les fois qu'on pourra tracer le A DEC, ou l'un des petits triangles, on pourra facilement revenir de ceux-ci au A ABC.
Exemples.
Construire un triangle, connaissant ses trois médianes.
On construit' />£6' et on en déduit A et B.
Construire un triangle, connaissant me, h^ et hi.
On trace DOC (35); puis ou mène 0B= OA.
Construire un triangle, connaissant
/la, t"o et tM(.
ha, t»i et Ile.
An, mi, et m^.
A, K et m..
K, m. et h,:b.
A, A„ et mt.
m„ m, et Z («>., «).
>»„ *. et h.
K, h et z ("î„, 6).
i., et z (rrn, «).
*.,» + « et *, : /...
Quadrilatère. Dans un quadrilatère ABCD. on peu
transporter AB et J-D en CS[ et CZ*,. Le parallélogramme
BB^D^D ainsi formé contiendra
alors beaucoup des éléments du jj ^^
quadrilatère en liaison simple les
uns avec les autres.
Les lignes qui partent de C sont les côtés du quadrilatère.
Les angles formés autour de C sont les angles du quadrilatère.
Les côtés du parallélogramme quadrilatère et leur angle est celui q diagonales de ce dernier.
La surface du parallélogramme ( quadrilatère.
jnt les diagonales du est compris entre les
t le double de celle du
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Les diagonales sont le double des lignes qui joignent les milieux des côtés opposés; on le reconnaît aisément en considérant le parallélogramme qu'on forme en joignant successivement les milieux des côtés du quadrilatère.
On retrouve ainsi dans le parallélogramme toutes les quantités que l'on considère généralement dans le quadrilatère.
La translation se montre surtout à son avantage, quand on connaît les diagonales et leur angle; car, dans ce cas, on peut immédiatement tracer le parallélogramme et le problème se ramène à déterminer le point C. On a de suite deux lieux géométriques de ce point, quand on connaît deux des éléments indiqués ci-dessus, ou une certaine dépendance entre plusieurs d'entre eux (par exemple, le rapport de deux côtés, la somme ou la différence de leurs carrés, &c,). La clafase très-nombreuse de problèmes, qu'on peut ainsi résoudre sans coup férir, s'augmente encore considérablement si l'on remarque que, dans un quadrilatère, ou peut considérer deux côtés Opposés quelconques comme des diagonales et les diagonales comme des côtés; et en effet, on peut par ce moyen résoudre les problèmes correspondants, où l'on donne deux côtés opposés et leur angle, au lieu des deux diagonales et de leur angle.
Pour mieux faire comprendre la méthode, nous allons, dans ce qui suit, l'appliquer à quelques problèmes de diverses espèces.
Exemples.
259, Construire un trapèze, connaissant ses quatre côtés.
Transportons l'un des côtés non parallèles jusqu'à ce qu'il rencontre l'autre; nous donnons naissance à un triangle, dont les trois côtés sont connus.
260. Dans un cercle, on mène deux cordes AB et CD. Trouver sur sa circonférence un point X tel que les lignes XA et XB déterminent sur la corde CU un segment FG. égal à une ligne donnée.
Transportons f'G de manière que F tombe en A] G viendra en un point H, que nous pouvons déte
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immédiatement; nous déterminons ensuite d'après cela le point G au moyen de e, puisque z G =^^ Z. X (comme inscrits dans le même arc AB).
261, Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et la ligne EF qui joint les milieux de AB et CD.
Pour rassembler les éléments, transportons BC et AD parallèlement à eux-mêmes jusqu'à ce qu'ils soient dans les positions EC^ et ED^. C,, F et D^^ sont alors en ligne droite, puisque A Cj Ci^ZJjZJF. On peut maintenant construire le AC^ED^ (121); puis on détermine C et D. La construction montre que l'angle que forment les côtés opposés, Z C\ED^, est indépendent de la longueur des deux autres.
La construction peut aussi s'efïectuer au moyen de la translation générale indiquée plus haut.
262. Par le point d'intersection de deux cercles, mener une droite sur laquelle les deux cercles déterminent des cordes ayant une différence donnée, (Les cordes doivent être affectées d'un signe et être comptées à partir du point d'intersection.)
La projection de la ligne des centres sur la ligne cherchée est égale à la moitié de la différence donnée. Transportons la projection jusqu'à ce qu'une de ses extrémités tombe en un des centres; elle formera avec la ligne des centres un triangle rectangle qu'on peut construire. La ligne cherchée sera alors parallèle à l'un de ses côtés. Si l'on donne la demi-somme des cordes, on peut l'introduire dans la figure, en multipliant par — I l'un des cercles, par rapport au point d'intersection, substituer ce nouveau cercle à la place de celui qui était donné et effectuer la construction qu'on a indiquée plus haut.
363. Construire un rectangle, ayant un côté donné et tel que chaque côté passe par un point donné. {262).
2:4. Dans un triangle donné ABC, mener par un point X de AB et un point Y de BC une ligne telle que XY ait une longueur donnée et que AX : CY ^^ p : q.
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54 TRAKSLAl
Transportons parallèlement XY jusque dans la position A F, ; nous pourrons alors déterminer le point F, , puisqu'on connaît sa distance à j1 et la forme du triangle Y, YC.
365. Mener une droite de direction donnée qui rencontre deux cercles donnés de telle manière que les cordes interceptées aient une somme ou une différence donnée.
On déplace l'un des cercles suivant la direction donnée jusqu'à ce qu'il coupe l'autre sur la ligne cherchée. Dans cette situation, on détermine aisément son centre.
266. Par un point donné, mener une droite qui soit coupée par deux cercles donnés suivant des cordes égales.
On transporte l'un des cercles de manière à faire coïncider les cordes égales. Son centre peut alors se déterminer par cette double propriété que l'on voit de ce point la ligne des centres sous un angle droit et que sa distance au point donné est connue; la tangente menée du point donné à ce cercle est en effet égale à la tangente menée du même point au cercle fixe.
267. Dans deux cercles donnés, dont les centres sont A et 5, mener deux rayons ^Xet BY qui soient vus d'un point donné P sous des angles égaux.
On transporte parallèlement le triangle AXF d'une longueur égale et parallèle à la ligne des centres et on le multiplie en même temps par le rapport des rayons de manière que AX et BY coïncident. Le point P viendra alors dans une nouvelle position P^ qu'on détermine aisément puisqu'on connaît la longeur et la direction de la ligne BF, . Comme Z YF^B ^ /i XPA , les points F^ P,, B et Y doivent se trouver sur une même circonférence; ce qui détermine Y.
268. Construire un parallélogramme, connaissant les côtés et l'angle des diagonales.
Transportons parallèlement l'une des diagonales jusqu'à ce qu'une de ses extrémités tombe sur une extrémité de l'autre. Nous pouvons alors construire le triangle dont les diagonales sont les côtés (18).
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26g. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles et un angle. Par le mêtne procédé que dans le cas précédent, on ramène ce problème à 3.
270. Dans quels cas le point C sera-t-il sur une des diagonales du parallélogramme, résultat de la translation générale dans un quadrilatère?
Au moyen de la translation parallèle, on peut résoudre un problème général qu'on rencontre souvent:
Entre deux courbes données mener une ligne qui soit égale et parallèle à une ligne donnée.
On déplace l'une des courbes d'une longueur égale et parallèle à la ligne donnée; elle coupera l'autre courbe au point où il faut mener la ligne. Ce problème peut toujours se résoudre avec la règle et le compas quand les courbes sont des systèmes composés de droites et d'arcs de cercle.
271. Mener une ligne égale et parallèle à une ligne donnée et qui ait ses extrémités sur deux circonférences données.
272. Dans un triang-le, mener une transversale de longueur donnée, parallèlement à un des côtés.
273. Dans un cercle, mener une corde qui soit égale et parallèle à une ligne donnée.
274. D'un navire on voit deux points connus sous un angle donné; ce navire s'avance d'une longueur donnée suivant une direction donnée et on voit alors les deux mêmes points sous un autre angle connu; on demande de déterminer le lieu du navire.
Par les points donnés, on fait passer des arcs de cercle capables des angles donnés; le problème est alors ramené à 271,
On employé souvent un genre spécial de translation parallèle, quand on a affaire à des cercles qui touchent d'autres
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