Deux rotations peuvent se composer en une seule
Supposons que les rotations doivent s'effectuer autour de A et B, Dans la rotation qui doit les remplacer, il n'y a d'inconnu que le centre C de rotation. La rotation autour de A laisse ce point A immobile et celle autour de B l'amène en un point A,. Il faut donc (naintenant déterminer C par la condition que ^ AC'A, soit égal à la somme des deux angles de rotation donnés , tandisque le rapport CA , : CA sera égal au produit des rapports de rotation donnés. Les angles et rapports de rotation donnés déterminent ainsi les angles et les rapports des côtés dans le triangle dont les sommets tombent aux trois centres de rotation. Remarquons en particulier que si deux de ces points coïncident, tous les trois coïncident, comme on l'a montré ci-dessus, et que si les angles de rotation donnés sont nuls, les trois centres de rotation sont sur une même droite. Les centres de rotation sont dans ce cas les centres de similitude des figures, qui sont semblablement placées deux à deux. Plus tard, nous démontrerons ce théorème d'une autre manière.
on arrive à des systèmes de points, où à chaque point d'un système correspond un point de l'autre système, et à chaque cercle de l'un, un cercle de l'autre (les droites sont comprises sous cette dénomination de cercle) et comment cette corrélation fait ressortir la signification des transformations employées en géométrie élémentaire. Il y a donc des raisons pour rechercher s'il n'y a pas encore d'autres transformations où un point corresponde à un point et un cercle à un cercle, quand on regarde tous les points du plan comme appartenant aux deux systèmes.
Soient S et C les deux systèmes; nous les pouvons placer de telle manière qu'un point quelconque non singulier du système -S couvre le point correspondant du système C, Maintenant nous transformons par invertion leâ deux systèmes par rapport à en deux systèmes nouveaux S^ et C, ; dans ces systèmes point et ligne droite correspondent à point et ligne
droite respectivement, car les lignes droites naissent des cercles passant par dans les systèmes S et C. Alors, selon un théorècne bien connu de la géométrie moderne, les systèmes S, et C[ sont des systèmes projectifs et de plus, un cercle correspondant à un cercle, des systèmes semblables. Le système S; peut donc être transformé dans le système C, par une rotation (et au besoin un retournement autour d'un axe).
Il est donc démontré que deux systèmes dans lesquels les éléments points et cercles correspondent respectivement à des points et des cercles, peuvent toujours être transformés l'un dans l'autre par rotation, inversion et retournement.
19. Des théorèmes qu'on a démontrés dans la théorie de la rotation, on peut déduire par les méthodes de la géométrie supérieure des théorèmes nouveaux bien plus généraux. Comme ces applications sont étrangères au plan de cet ouvrage, nous nous contenterons d'en donner un exemple. Dans II, on a prouvé que si une ligne se meut de telle manière que le rapport des segments ab, hc que trois lignes fixes déterminent sur elle, soit constant, elle tourne autour d'un centre fixe de rotation; d'où il résulte que tout point, de cette ligne déterminé par le rapport suivant lequel il coupe un segment quelconque, par exemple ah, décrit aussi une ligne droite. Les rapports en question peuvent s'exprimer au moyen de rapports anharmoniques, si l'on a égard au point d'intersection de la ligne mobile avec la droite de l'infini. Sous la forme que prend alors le théorème, il exprime une propriété projective, la suivante:
Si une droite mobile rencontre quatre droites fixes en des points dont le rapport anharmonique est constant, tout point de la droite (déterminé au moyen de rapports anharmoniques) décrit une droite.
Si l'on fait passer deux des droites fixes par les points circulaires imaginaires à l'infini, on en déduit :
Si un angle donné ABC a son sommet A fixe et si .B et C parcourent des droites fixes, tout point D de la ligne .se (déterminé par V angle B AD) décrira une droite.
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377. Dans un triangle donné ABC, inscrire un autre triangle congTuent à un triangle donné.
D'après 9, un système de triangles semblables, inscrits dans un triangle donné, a un centre commun de rotation; d'après cela, on inscrit dans le triangle donné un triangle de la forme requise et on détermine le centre de rotation en le regardant comme triangle fondamental; on obtient ensuite le triangle cherché en faisant tourner ce triangle; et on effectue cette opération de la manière la plus simple, en multipliant le triangle fondamental tracé par rapport au centre de rotation de manière qu'il ait la grandeur requise; ensuite on le fait tourner autour de ce même point, jusqu'à ce que les sommets tombent sur les côtés du triangle donné.
378. Dans un quadrilatère donné, en inscrire un autre qui soit semblable à un quadrilatère donné.
On place un quadrilatère, semblable au quadrilatère donné, de manière que trois de ses sommets soient sur les côtés du quadrilatère donné et on détermine le centre de rotation, comme dans le problème précédent; il ne s'agit plus alors que de faire tourner le quadrilatère autour de ce point jusqu'à ce que le quatrième sommet tombe sur le quatrième côté. Pendant la rotation, ce sommet décrit une droite (il) qu'on peut tracer facilement. On peut en effet, en répétant la même construction, trouver un second point de cette droite, ou bien encore l'obtenir en faisant tourner un côté du quadrilatère donné autour du centre de rotation trouvé. Si l'on applique la première construction, il n'est pas nécessaire de chercher le centre de rotation.
379. Sur quatre droites données en placer une cinquième de telle manière que les trois segments déterminés sur cette dernière soient entre eux dans des rapports donnés.
Ce problème est un cas particulier du précédent,
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puisque la droite cherchée peut être considérée comme un quadrilatère de forme connue.
Rem.arque. Ces trois problèmes se trouvent dans le premier livre des „Principia mathematica philosophias naturalis" de Newton.
380. Dans un triangle donné, inscrire un triangle semblable a un triangle donné et dont la surtace soit un minimum.
381. Construire un parallélogramme, dont les angles et le périmètre sont donnés et dont les côtés doivent passer chacun par un point donné.
Supposons que les côtés AB, BC, CD et DA passent respectivement par les points P, Q, R et S. Soit T le point d'intersection des cercles SAP et PBQ; alors T est le centre de rotation de AB et d'une ligne quelconque ÂjPB^ menée entre les deux circonférences; par suite ATiAB = AjT:A,B,.
Soit V le point d'intersection des cercles PAS et SDR; on trouve de même le rapport AViAD et on peut alors déterminer A (1S9).
382. Sur trois circonférences de cercle, placer un triangle congruent à celui qui a pour sommet les trois centres.
On cherche le centre de rotation commun des trois cercles; comme leurs trois centres sont des points homologues, le triangle donné est le triangle fondamental et le centre de rotation qu'on a trouvé doit aussi être le centre de ce dernier et de celui qu'on cherche. On obtient ainsi celui-ci en faisant tourner le premier jusqu'à ce qu'un de ses sommets tombe sur la circonférence. Le rapport donné de rotation est i , mais le problème se résout de la même manière pour un autre rapport.
383. Construire un triangle congruent à un triangle donné et dont chacun des côtés passe par un point donné.
On trace facilement un triangle semblable au triangle donné et dont les côtés passent par les points donnés; on considère alors ceux-ci comme des courbes semblables et le triangle tracé comme le triangle fondamental de seconde espèce; puis on détermine le centre de rotation
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et on multiplie le triangle tracé de manière qu'il ait la grandeur requise. Comme le rapport de rotation pour le triangle ainsi obtenu et pour celui qu'on cherche est i, deux côtés homologues doivent être à égale distance du centre de rotation, et une des lignes cherchées se trouve déterminée par ces conditions qu'elle est tangente à un cercle connu et qu'elle passe par un point donné.
384. Construire un quadrilatère, semblable à un quadrilatère donné, et dont les quatre côtés passent chacun par un point donné.
On trace un quadrilatère quelconque , semblable à celui qui est donné, et de telle manière que trois côtés passent par les trois points correspondants donnés, et on détermine le centre de rotation comme dans le problème précédent. 11 faut maintenant faire tourner ce quadrilatère de telle sorte que le quatrième côté passe par le quatrième point; mais cela est facile, puisqu'en outre de ce point il contient un autre point fixe qu'on peut déterminer de deux manières différentes (problème analogue à 378).
385. Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle; d'un point de la circonférence, on mène à chaque côté du triangle une ligne qui fasse avec lui un angle donné. Démontrer que les pieds de ces lignes sont sur une droite.
Si l'on choisit A, B et un point convenablement déterminé sur AB pour points homologues sur les trois côtés, est le centre de rotation et les trois pieds des droites sont des points homologues. Ces derniers sont sur une droite, puisque le triangle fondamental est une droite.
386. Les centres de trois cercles sont aux trois sommets JS, C et 1} d'un parallélogramme. Construire un parallélogramme, dont l'angle est donné, qui ait un sommet au quatrième sommet A et les trois autres sur les trois circonférences des cercles.
Multiplions le cercle C par ^ par rapport à A, nous avons un nouveau cercle. Ce dernier et les deux cercles
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B et D ont pour triangle fondamental une droite dont les deux segments sont égaux. D'après cela, la diagonale B^D, du parallélogramme cherché doit couper ces trois cercles en des points homologues et sera vue de  sous un angle donné. Faisons tourner Sfî; jusqu'à ce qu'il recouvre DJ)^ , A vient en un point connu A^ et ^ JB^A^ est connu.
387. Déterminer le lieu géométrique des points tels que les tangentes menées à deux cercles donnés soient dans un rapport donné.
Supposons que les cercles se coupent en A et B et que M soit un des points cherchés. La ligne MB coupe les deux cercles en B et E\ et, par : la condition imposée, le rapport de MB . MB à ME . MB, ou bien de MB à MJS, est con- ; comme en même temps les angles du triangle ABE sont cona figure ABEM toute entière est de forme constante et si elle tourne autour de A de telle manière que B et E décrivent des cercles, M doit aussi décrire un cercîe. Comme A est le centre commun de rotation pour ce dernier et les cercles donnés, le lieu cherché doit aussi passer par A comme eux. BEM représente le triangle fondamental, et comme celui qu'on obtient en joignant les centres des trois cercles lui est semblable, on voit que ces centres doivent être sur une ligne droite. Les distances du centre cherché aux centres donnés sont entre elles comme MB est à ME et ce rapport est le carré de celui qui est donné.
388. A deux cercles donnés mener deux tangentes comprenant entre elles un angle donné et telles que la ligne qui joint les points de contact passe par un point donné.
A l'aide de 14, ce problème se ramène à 364.
