I06 SUR

deux opérations suivantes: mener une ligne droite par deux points donnés et tracer un cercle dont le centre et le rayon sont donnés. Chaque point est déterminé comme intersection de deux lignes droites, ou d'une droite et d'un cercle ou de deux cercles. Imaginons maintenant qu'à l'aide des formules et des méthodes de la géométrie analytique on ait calculé les coordonnées des points, au fur et à mesure qu'on les construit ; dans tout le courant du calcul , on n'aura à résoudre que des équations du premier et du second degré. On peut ainsi exprimer chacune des quantités déterminées par la construction au moyen des quantités données de telle manière que les grandeurs trouvées ne renferment aucunes autres expressions irrationnelles que de racines carrées; mais comme d'un autre côté une expression quelconque de cette espèce peut toujours se construire, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un problème puisse se résoudre avec la règle et le compas, c'est que les quantités cherchées puissent s'exp]rimer au moyen des quantités données rationnellement et par de racines carrées.

On trouvera une étude des équations qui peuvent se résoudre à l'aide des racines carrées dans les ouvrages de l'auteur qui ont pour titresr Cm Ligninger, der Itunne l0ses ved Kvadratrod et Théorie der Algebraischen Gleichungen. Kopenhagen. Andr. Fred. Host & Son 1878. Chap. VII. L'auteur y a démontré les théorèmes suivants :

1. En dehors des coniques, il n'y a aucunes courbes dont les points d'intersection avec une droite quelconque puissent se déterminer à l'aide de !a règle et du compas.

2. En dehors des coniques, il n'y a aucunes courbes auxquelles on puisse, d'un point quelconque, mener des tangentes à l'aide delà règle et du compas.

3. Toutes les fois qu'à l'aide de la régie et du compas on peut déterminer les points d'intersection d'un rayon quelconque d'un faisceau de rayons avec une courbe qui ne passe pas par le centre du faisceau,

Hosted by

SDR LA l'OSSIBlLITjt. lO^

l'ordre de la courbe doit être une puissance de 3 et, dans le faisceau, il doit y avoirau moins deux rayons dont les points d'intersection avec la courbe coïncident par couples de deux.

De ces théorèmes on peut en déduire de nouveaux par transformation et étendre les recherches à d'autres systèmes de lignes que les faisceaux de rayons, à des systèmes de cercles, &c. Pour ce qui regarde ces généralisations, il nous suffira de renvoyer aux ouvrages cités plus haut; nous ajouterons seulement la proposition suivante.

4. Tl n'y a pas d'autres courbes que le cercle et la ligne droite dont les intersections avec un cercle quelconque puissent se déterminer au moyen de la règle et du compas.

Ce théorème peut facilement se déduire par inversion du premier théorème énoncé plus haut, le cercle et la ligne droite étant les seules courbes qui , par inversion par rapport à un centre d'inversion quelconque , donnent des coniques.

Ces théorèmes sont suflîsants dans un très-grand nombre de cas.

Admettons, par exemple, que dans un problème on donne une ligne dont la position soit entièrement arbitraire et qu'un certain point X de la ligure doive tomber sur cette ligne. En faisant abstraction de cette condition, X décrit un lieu géométrique et, d'après le premier des théorèmes que nous avons énoncés, ce lieu doit être une conique si le problème doit pouvoir se résoudre avec la règle et le compas. Le second théorème peut s'employer d'une manière semblable, quand la figure renferme un point dont la position est arbitraire.

Si l'on considère en particulier le premier cas, on voit que, des développements qui précèdent, il découle une catégorie de méthodes graphiques générales pour la résolution des problèmes. Faisons abstraction de la ligne et construisons deux figures quelconques satisfaisant aux autres conditions; nous aurons ainsi deux positions de X, par exemple X, et X^.

Hosted by