PREMIER GROUPE CRISTALLIN

Octaèdre régulier, cube, etc.

S 29. Caraeiére* physiques. — Parmi tous les octaèdres que peuvent présenter les corps bruts, il en est un qui possède la propriété d'avoir toujours toutes les parties de même nom modifiées à la fois de la même manière ; c'est-à-dire :

laNÉRALOGIE.

i^" Que toutes les arêtes de ce solide, fig. 424, sont modifiées à la fois, par une seule face, ou par deux , fig. 425 ou 426 ;

2*" Que tous les angles solides sont remplacés à la fois, tantôt par une facette, fig. 427, tantôt par quatre, tournées vers les faces, fig. 428, ou vers les arêtes, fig. 429, et enfin par huit.

nJ— U uJ— J vLJ

Le parallélipipède qui se rattache à cette espèce d'octaèdre, fig. 430, présente des propriétés corrélatives : les arêtes se modifient toutes à la fois, par une seule faCe ou par deux, fig. 434 , 432; tous les angles solides sont aussi modifiés à la fois, par une face, fig. 433, ou par trois, fig. 434, 435, ou enfin par six.

C'est par suite de ces propriétés que se forment tous les solides dont nous avons montré la production , § 4 4 et 4 5 , fig. 6 à 33, et jamais aucun de ceux qui viennent ensuite.

§ 30. Caractère* séoméiriqnes. — La mesure des angles dièdres fait voir que Toctaèdre a toutes ses faces également iaclinées entre elles, et de 409® 28' 46''. Le parallélipipède correspondant a toutes ses faces inclinées entre elles de 90®.

Dans les diverses modifications, chacune des nouvelles facettes sMncline du même nombre de degrés sur les faces adjacentes da solide qu'elles modifient.

Ces observations conduisent à d'autres caractères, qui ont sur les premiers l'avantage de la brièveté et de la netteté. On en déduit :

4<' Que le tétraèdre qu'on peut rencontrer dans ce groupe est le tétraèdre régulier de la géométrie , formé de quatre faces triangulaires équilatérales inclinées entre elles de 70® 34' 44'';

2<* Que l'octaèdre est Voctaèdre régulier, à huit faces triangulaires équilatérales, inclinées de 4 09® 28' 46'';

3<* Que le parallélipipède qui s'y trouve est le cube, composé de six faces carrées.

ÉTUDE DES CRISTAUX. — GROUPES CKISTALLINS

S 31. Il n'est pas inutile de donner quelques explications relatives à ces résultats.

1* Tétraèdre. — Un angle dièdre se mesure par les perpendiculaires menées

dans les deux plans qui le forment, à un même point de l'arête de jonction. Ainsi, ac, flg. 136, étant perpendiculaire à la base du solide, a5r et cb perpendiculaires à l'arête gh, Tangle acb mesurera l'inclinaison des deux plans. De même adc, afc, seront les angles dièdres des autres plans.

Maintenant l'observation montre que le tétraèdre de ce groupe a toutes ses faces égale ment inclinées entre elles*, donc tous les triangles acb, acd, acf, sont égaux, et par conséquent les lignes cb, cd, cf, de même grandeur ; donc aussi le point c, projection du sommet, se trouve à égale distance des trois côtés. On conclut de ces données, que les traces des faces sur le plan horizontal, qui ne sont autre chose que les côtés de la base de la pyramide, font aussi entre elles des angles égaux ; donc cette base est un triangle équilatéral; donc aussi les projections cg, ci, ch, des arêtes, sont égales, et par suite ces arêtes elles-mêmes.

Les mêmes conséquences ayant lieu, quelle que soit celle des faces du solide qu'on prend pour base, il en résulte qu'elles présentent toutes des triangles équilatéraux et égaux.

2* Octaèdre. — Toutes les faces de l'une des pyramides étant également inclinées sur celle de l'autre, si l'on suppose un plan par les arêtes bd, de, îig. 124, on détachera une pyramide, flg. 137, dont les quatre faces sont également inclinées & la base, ce qui place la projection c du sommet à égale distance des quatre côtés.

Cela posé, les faces culminantes étant toutes également inclinées entre elles, leurs traces, qui sont les côtés de la base, font aussi entre elles des angles égaux et conséquemment droits ; et comme ces côtés sont à égale distance du point c, la base est un carré. De là il soit que les projections cb, cd, ce, cf, des arêtes culminantes, sont égales, et par conspuent ces arêtes elles-mêmes.

Maintenant, puisque toutes les faces sont également inclinées entre elles, si l'on prend pour sommet de l'octaèdre un angle quelconque, on arrivera au même résultat, et Ton conclura que toutes les arêies sont égales ; don&, toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux, ce qui est le caractère de l'octaèdre régulier.

3* Parallélipipède. — Toutes les faces étant à angle droit, le solide est rectangulaire et droit; mais les faces qui le produisent sur l'octaèdre, Iig. i38, étant également inclinées sur les

^--^ '^KT K faces adjacentes, il en résulte qu'en se réunissant

^\^N j \& — p^flf^ en a, fig. 139, elles sont toutes également inclinées V- <y/ l ^''-J^ ®"^ ** diagonale ab. Donc, si l'on fait passer un plan

\J/ \ ~" \ P^r les trois points c, d, e, on détachera une sorte

X J de tétraèdre dont toutes les faces seront également

^ inclinées à la base, oti la projection du sommet so

•M'eia an centre, où la base sera un triangle équilatéral, où les arêtes culmi- ■utes seront égales (voyez ci-dessus i«); donc ce parallélipipède est un cube.

DEUXIÈME GROUPE GRISTALUN.

Octaèdres et prismes à bases carrées.

§32. cawieière» physiques. — Certains octaèdres, 6g. UO, au lieu d'être modifiés à la fois sur toutes les arêtes, ne le sont souvent que sur les arêtes latérales , fig. U4 , 4 42 , ou sur celles du sommet, fig. 4 4^ ou 444, par une face ou par deux.

Sur les angles il se fait aussi isolément diverses modifications au sommet, fig. 445 à 447, par une face ou par quatre; il s'en fait de même isolément sur les angles latéraux, fig. 448, 449, et quand alors les facettes sont tournées vers les arêtes, fig. 450 , 454, elles ne vont que deux à deux.

ISS.

Un parallélipipède de ce groupe, fig. 152, se modifie isolément sur les arêtes latérales, fig. 453, ce qui donne lieu au parallélipipède inverse, fig. 454 , ou bien sur les arêtes des bases, fig. 455. Sur les angles il se modifie par une face , fig. 4 56 , ou par deux , fig. 157; jamais essentiellement par trois, comme il arrive dans le premier groupe.

Par suite de ces propriétés, il existe dans ce groupe diverses sortes d'octaèdres directs ou inverses , deux parallélipipèdes inverses, des prismes et des pyramides octogones, enfin tous les solides dont nous avons indiqué la production , § 46 à 48.

ETUDE DES CRISTAUX. — GROUPES CRISTALLINS

§ 33. c«rjietère« séométrlqiies. — Aucun des octaèdres de ce groupe ne présente entre ses faces réalité d'inclinaison qui caractérise Toctaèdre régulier. Autour de deux sommets, a et ^, fig. 4 40, les quatre faces culminantes sont bien également inclinées entre elles, mais d*un sommet sur l'autre les angles sont différents, quoique aussi tous égaux entre eux.

Les modifications sur les parties de même nom ne sont pas non plus toutes également inclinées sur les faces adjacentes. Les facettes a , fig. 4 44 , s'inclinent également sur les faces voisines et sous un certain angle ; mais les facettes 6, fig. 443 , font avec ces mêmes faces un angle différent. Il en est de même des facettes c , fig. 145, comparées aux facettes d, fig. 448.

Dans le parallélipipède, chaque facette latérale ^, fig. 453, s'incline également sur les faces voisines , et toutes de la même manière; les facettes i, fig. 455, s'inclinent inégalement sur la base et sur les pans, mais toutes de même. Aux angles solides, chaque facette fc, fig. 456, s'incline également sur les deux faces latérales, mais autrement sur la base.

De là il suit que les octaèdres sont ici à base carrée ; les arêtes culminantes sont égales, d'une certaine longueur, et celles de la base d'une longueur différente. Les paralléiipipèdes ont toutes leurs faces à angle droit , mais les bases sont des carrés et les pans des rectangles ; ce sont des prismes à bases carrées.

S 34. Ces résultais ue sont en quelque sorte que les conséquences des raisonnements précédents, $ 3i, combinés avec les données particulières que fournissent les formes du groupe actuel.

Dans l'octaèdre, fig. 140, en prenant ag pour axe, on conclut de l'égalité d'inclinaison des faces d'une pyramide sur l'autre, que la projection du sommet est au centre de la base commune (S 31, S"). De là, et de l'égalité d'inclinaison des faces culminantes entre elles, on conclut que la base est un carré, et que dès lors les arêtes, qui concourent aux sonimets a et g, sont égales. Les choses ne se passent pas de même sur un autre sommet h : la pyramide, qu'un peut détacher, fig. 158, a bien ses quatre faces également inclinées à la base, mais non entre elles. 11 y a un certain angle de abd »ur bgd, et un autre sur les faces en retour; pur conséquent les angles que forment entre elles les arêtes de la base ne sont pas égaux L'angle en d, et son opposé en f, sont d'une valeur, et les angles en a et gf d'une autre ; d*oîi il suit que la base est un rhombe, car les arêtes sont égales, d'après la première observation. De là inégalité dans les projections ca, cd des arêtes ab, bd, et par conséquent dans ces arêtes mêmes. Quant aux prismes, leur nature résulte de leur pro-*'

duction sur l'octaèdre à base carrée. L'on d'eux se forme de la réuoion des modifications, fig. i45 et 148, d'oh résulte le polyèdre, fig. 159. Or, les facettes a sont tontes inclinées également et d'un certain ^ngle sur les faces adjacentes, et la facette h est inclinée sous on autre angle; donc, quand elles se réunissent pour former Tangle solide c du parallélipipède, fig. 160, les faces latérales sont toutes deux inclinées à Taxe cd d'une certaine manière, et la base est inclinée autrement.

11 résulte de là que, dans le tétraèdre qu'on pourrait détacher en faisant passer un plan par e, f, g, la projection du sommet serait à égale distance des côtés ef, gf, et à une distance différente de eg. La base serait donc un triangle isocèle, et les projections des arêtes, cg, ce, seraient égales, tandis que la projection de caserait différente. Cela montre l'égalité des deux premières arêtes, et la différence de la troisième. La base est donc un carré, et les faces latérales des rectangles.

On trouverait le même résultat pour le prisme inverse, qui se produit sur l'octaèdre inverse de la même matière que le précédent.