HUITIÈME PLANCHE

Etude de la Forme sous laquelle apparaissent les cercles et les demi-cercles, d' apjres leur éloignement et suicant leur position par rapj)o? t à l'oeil du spectateur.

Les personnes qui n’ont pas étudié les lois de la perspective , c’est-à-dire les anamorphoses sous lesquels nous apparaissent les objets vus en fuite, se persuadent dilficilement qu’un cercle vu en raccourci apparait sous la forme allongée d’une ellipse ; que plus il sera éloigné de l’œil et plus il semblera étroit de profondeur; si bien que cette dimension apparaît pouvoir être contenue plusieurs fois dans la largeur ; qu’en plus, si ce cercle n’est pas situé juste en face la vertieale principale , et qu’il soit très élevé au-dessus de Tborizon ou ti'ès bas au-dessous de l’horizon, sa forme ne paraîtra plus régulière, mais tout-à-fait déformée. Pour se convaincre de ces vérités, il faut se reporter à l’étude du carré et se rappeler qu’à mesure qu’un carré s’éloigne de l’œil, il apparaît de

TRAITÉ DE DESSIN

plus en plus étroit; que plus il s’éloigne de l’horizon et de la verticale principale , et plus il semble perdre la régularité de sa forme , etc. , etc.

Des demi- cercles fuyants placés verticalement.

Fig. 48. Un demi-cercle doit être contenu dans deux carrés placés près l’un de l’autre et se touchant immédiatement; car, d’après la définition du cercle , un demi-cercle doit être deux fois aussi large que haut. J’ai remarqué que si l’on trace les diagonales l’E’, B’ G’ du rectangle qui contient le demicercle, l’on obtient à leur rencontre O’ un point qui se trouve juste au-dessus du centre G’ du demi-cercle. Si de ce point O’ on élève une verticale O’ IF, le point II’ est le plus élevé du demi-cercle; ensuite, si l’on joint par une ligne droite les points 2’, 5’, Intersection des diagonales avec le demi-cercle, et que l’on prolonge cette ligne jusqu’à la rencontre des lignes B’E’, F G’, elle les coupera juste à leur cinquième; donc, figure 49, pour tracer perspectivement un demi-cercle vu en fuite, ou bien pour vérifier si un-demi-cercle vu en fuite a été copié exactement , il faut mener les diagonales du rectangle , ce qui détermine le point H en élevant une verticale de leur rencontre; puis il faut diviser la hauteur du demi-cercle en cinq parties égales , ce qui donne le point 5; de ce point mener une parallèle perspective à E G , et l’on obtient les points 2,5, puis l’on fait passer la circonférence du demi-cercle par les points B 2 II 5 1. Tous les demi-cercles fuyants s’obtiennent de même.

Fig. 49. Soit cinq rectangles égaux devant contenir chacun un demi-cercle, ces rectangles sont fuyants et concourent au point P. En plus, ils sont placés à égale distance l’un de l’autre et sont compris entre des lignes horizontales. Celui de ces rectangles qui sera le plus près de la verticale qui passe par le point P apparaîtra le plus étroit, et celui qui en sera le plus éloigné apparaîtra le plus développé. Les demi-cercles compris dans ces rectangles doivent nécessairement subir la même loi perspective que ces rectangles.

De la diminution de profondeur je passe à l’étude de la différence de forme sous laquelle apparaît la circonférence d’un

LIN/iAII\E ET PERSPECTIF.

demi-cercle suivant sa hauteur par rapport à l’œil du spectateur ; pour cela je prends la planche 1 1 , figure 65. Soit 3 l’œil du spectateur, SS’ le rayon central et la hauteur de l’horizon, les demi-cercles DAL, QNM et XVU placés verticalement au-dessous l’un de l’autre et servant de comparaison , etc. ; le demi-cercle DAL apparaît le plus régulier, vu sa position par rapport à l’œil du spectateur; son diamètre DL se trouve situé juste à la hauteur de l’œil ; par conséquent ses extrémités DL se confondent en un seul point, tandis que le diamètre QM du demi-cercle QNM, qui est plus élevé au-dessus de l’horizon, fait l’effet de s’abaisser en s’éloignant de l’œil ; effectivement , le point Q apparaît plus haut que le point M. L’on peut se convaincre de cette vérité par la manière dont les rayons visuels qui partent de ces points coupent une ligne verticale IL R’ située entre les demi-cercles et l’œil du spectateur; le point Q est représenté par le point Q’, et le point M par le point M’. Or le point Q’ apparaît sur celte verticale ÎI’R’, plus élevé que le point M ; donc ce dernier apparaît à l’œil du spectateur plus bas ; donc la ligne O M fait l’effet de s’abaisser. Le même raisonnement démontre que le diamètre Xü du demi-cercle X VL' apparaît dans une direction inverse comme étant situé au-dessous de l’horizon, c’est-à-dire que le pointX semble plus bas que le point U, et par conséquent la ligne XU fait, en s’éloignant de l’œil, l’effet de monter à l’horizon. Ceci démontré, je passe à la différence de forme de la courbure de la circonférence.

Le point E est obtenu par un rayon visuel langent au cercle; ce point apparaît à l’œil plus élevé qu’un point Z, pris à la même hauteur sur la circonférence du demi- cercle, et même apparaît plus élevé que le point A, sommet réel du demi-cercle; donc cette différence d’apparence d’élévation, même de point situé à la même hauteur et correspondant , doit faire apparaître irrégulièrement, toute déformée, la circonférence de ce demi-cercle. Si je passe à l’examen du demi-cercle Q N M qui est plus élevé, je trouve le point 11, point obtenu par un rayon visuel tangent à ce demi-cercle, apparaissant beaucoup plus haut que son correspondant A et que le point N , point réellement plus élevé ; or, comme la différence d’élévation de ces points apparaît plus grande qu’au demi-cercle DAL, la

TIiAlTÉ ])£ DESSIN

déformation agissant de même, il doit en résulter que le demicercle QjNM apparaît plus déformé que le demi -cercle DAL, etc. , etc. Ceci compris je l’etourne à la planche 8, et j’applique le raisonnement que je viens de faire à des demicercles vus en fuite et situés verticalement au-dessus l’un de l’au tre.

Fig. 5o. Le demi-cercle LST apparaît le plus régulier de forme , comme étant situé à la hauteur de l’œil ou de l’horizon , ce qui revient au même; le demi-cercle M]\Q, qui est situé au-dessus , offre déjà une différence de forme dans sa courbe; elle semble s’élever en s’éloignant du point P, c’està-dlie qu’elle apparaît plus élevée du côté du point J, point qui est le plus près de l’œil du spectateur que du point L, qui en est plus éloigné, cette apparence d’élévation dans la forme de la courbe est plus prononcée dans le demi-cercle JRL et beaucoup plus dans celui désigné par B H L Remarquez que la courbe en s’éloignant du point P apparaît beaucoup plus élevée que le point II , qui est cependant le point supérieur du demi-cercle. Le demi-cercle L VX, qui est situé au-dessous de l’horizon, apparaît sous une forme Inverse de ceux qui sont situés au-dessus de l’horizon ; sa circonférence semble s’abaisser en s’éloignant de l’horizon , c’est-à-dire que la courbe paraît jvlus élevée du côté du point T que du côté du point R, qui est le plus proche de l’œil. Cette apparence est d’autant plus sensible que le demi-cercle sera plus éloigné de l’horizon et de la verticale principale ; donc , phis an demicercle fuyant placé verticalement s'éloignera de V horizon et de la verticale principale , plus la forme sous lacpielle il apparait se déformera .

J’ai placé des lignes d’opération à tous les demi-cercles de celte rangée verticale afin d’en préciser la forme. La seconde et la troisième rangée servent à faire voir que plus les demicercles s’éloignent de l’œil, plus leur profondeur apparaît étroite.

Remarque. Le demi-cercle fait de carton mince doit être dessiné dans toutes les positions que je viens d’indiquer cl dans celles des figures 5î et 52.

LINÉAIRE l.T PERSPECTIE.

Des demi-cercles fuyants placés horizontalement.

Fig. 5i. Dans les figures précédentes, les demi-cercles sont placés verticalement, de manière que leur profondeur est le double de leur hauteur ; mais dans cette figure et la suivante, les demi-cercles ont leur profondeur égale à la moitié de leur largeur; donc les deux carrés formant le rectangle qui doit contenir le demi-cercle se trouvent placés près fun de l’aulre au lieu d’être à la suite. L’opération servant à tracer le demicercle, ou bien servant h vérifier s’il est déterminé exactement, n’est pas la même que celle des demi-cercles placés verticalement; je vais la décrire perspectivement et géométralement ; elle doit s’exécuter en même temps sur les figures 49 > 5i et 02. Mener les diagonales 13 G, lE, elles donnent le centre O; de ce point mener une ligne au point P, elle donne ll^à sa rencontre avec la ligne E G ; diviser G II et II E chacune en deux parties égales, ce qui donne les points 6,7, par lesquels il faut mener les lignes 6B , 7 I, qui, à leur rencontre avec les diagonales du rectangle, font obtenir les jvoints 2,5; la circonférence du demi-cercle doit passer par les points B alla 1. J’ai placé quatre demi-cercles à coté l’un de l’autre et entre deux lignes horizontales pour faire voir qu’ils se déforment à mesure qu’ils s’éloignent de la verticale principale.

Fig. 52. Cette figure est absolument semblable à la précédente ; la différence est dans le placement des demi-cercles.

Remarcpie. Dans les figures 6i , 62 , les demi-cercles en s’éloignant d^ la verticale semblent se pencher vers elle.

NEUVIÈME PLANCHE, létiide du cercle 'vu en fuite.

Connaissant parfaitement le principe des formes différentes sous lesquelles apparaissent les demi-ceicles d’après leur position par rapport à l’œil du spectateur, et après s’être exercé suffisamment au tracé de leur circonférence, on passera à l’étude du cercle sans devoir éprouver de difficulté, car le

TRAITÉ DE DESSIN

principe et le tracé sont absolument les mêmes pour les uns et les autres.

Fig. 53. Celte figure étant tracée sur une des faees du cubesolide, l’on devra employer ce solide pour l’étudier. D’abord tracer le carré de face , puis ses deux diamètres B’ F, IIJ’ ; décrire le cercle à vue d’œil, et mener ensuite les lignes d’opération. Si le cercle a été tracé exactement , les intersections des lignes d’opération seront justes. Comme ce cercle est vu géométralement, on peut encore le vérifier parle moyen d’un compas.

Pour tracer ce cercle ani en fuite, l’on placera la face de cube vue en fuite, puis l’on copiera le carré fuyant le plus juste possible; l’on mènera les diamètres HJ, BI, par le point central C; les diagonales du carré servent à vérifier si le point C est à sa place; copier la circonférence du cercle en la faisant passer par les points B J III, et observant la forme qu’elle doit avoir par rapport à son placement. Étant satisfait du résultat, vérifier par le moyen des lignes d’opération.

Etude du cercle vertical fuyant , suivant les différentes profondeurs sous lesquelles il apparaît, par rapport à son placement

comme éloignement de la verticale principale.

Fig. 54. Les principes de cette figure sont absolument les mêmes que ceux de la figure 49- L faut tracer sur la table servant à placer les modèles deux lignes horizontales espacées l’une de l’autre de li^ profondeur du cube solide; ces lignes doivent être coupées à angles droits par une troisième qui représente la projection ou plan du rayon principal ; on place le culie entre les borizonlales, de manière que le côté sur lequel est un cercle soit parallèle au rayon central, c’est-àdire soit en fuite tendant au point P. Plaçant son œil en face la ligne qui représente la projection du rayon central, l’on dessinera le cercle aussi exactement que possible. L’on devra placer successivement le cube de manière à obtenir tous les cercles représentés dans cette figure.

MMvVIUE ET PEUSPECTIF.

lùttde (ht cercle horizontal fuyant, sniranf les differentes Jhrnies et profondeurs sous lesquelles il apparaît , suivant son éloignement de l'horizon et de la verticale principale.

Fig. 55. L’on devra d’abord faire plosienrs étüdcs de cercles placés horizontalement d’après le cercle du cube solide, élevant plus ou moins son œil, afin de saisir toutes les différences de formes. Le cercle horizontal qui est en face l’horizon apparaît comme s’il était une ligne droite, car étant à cette place, on ne peut en voir ni le dessus, ni le dessous; tous les cercles horizontaux placés au-dessus de l’horizon sont vus en dessous, et ils apparaissent de plus en plus profonds à mesure qu’ils s’élèvent en s’éloignant de l’horizon; ceux qui sont placés audessous de l’horizon sont vus en dessus, et apparaissent de plus en plus développés à mesure qu’ils s’abaissent, qu’ils s’éloignent de l’horizon, licmarquez que ces cercles se déforment de plus en plus en s’éloignant de l’horizon, qu’ils semblent se pencher vers le point P.

Si l’on voulait étudier plusieurs cercles de même dimension et placés près l’un de l’autre , il serait bon de consulter la planche i i, fig. G5, et de faire pour ces cercles le même raisonnement que j’ai fait pour expliquer l’apparence de la forme des demi-cercles de la figure 5o.

Pour diviser en parties égales la circonférence dhin cercle fuyant.

Fig. 56. Soit en seize le nombre auquel on veut diviser un cercle placé horizontalement. Il faut confectionner un cercle de papier ou de carton mince, et le diviser géométralemcnt en seize parties égales; on place le cercle liorizontalement devant soi, et on le copie ainsi que ses divisions. Pour vérifier si l’on a copié exactement, il faut mener sur son dessin le diamètre horizontal AB, le diviser en deux, ce qui donne le milieu C4, ou centre du cercle; tracer le demi-cercle géométral AEB et le diviser en huit parties égales', comme ne représentant que la moitié du cercle ; de chacune des divisions 9, 5, /(, E, 5, 6, 7, abaisser des verticales sur le diamètre AB, puis

5o TRAITÉ DE DESSIN

du point P, et par leur intersection au point G, II. I, C, J, K.O, conduire des lignes droites qui doivent passer par les points de division de la circonférence du cercle fuyant. Si on ne trouve qu’une petite erreur, l’on devra être satisfait.

La figure ôy se trace et se vérifie’de même que la figure 56; la différence est dans le nombre des divisions, qui sont paires dans l’une et impaires dans l’autre.

Pour circonscrire un cercle à un cercle donné.

Fig. 58 et Sq. Deux cercles inscrits l’un à l’autre et vus en fuite , suivent les mêmes lois de diminution apparente que deux carrés inscrits l’un à l’autre et de même vus en fuite; leur profondeur semblera de beaucoup plus petite que leur largeur; conséquemment l’intervalle qui règne entre les deux cercles apparaîtra plus développé de A en O et de 1 en B , extrémités de la largeur, que de G en M et de N en D, extrémités de la profondeur.