V. ABEL A MADAME HANSTEEN

Berlin 8 décembre.

Chère Madame Hansleen.

Par ma lettre au professeur vous pourrez voir où en sont mes affaires. J'ai en outre une prière à vous adresser. Vous avez toujours été pour moi si excessivement bonne; Dieu vous bénisse, n'oubliez pas non plus mon frère. J'ai tellement peur que ça marche mal pour lui. S'il avait besoin que je lui donne davantage, j'oserais peut-être vous prier de lui remettre quelque chose de plus. Lorsque les 50 species seront épuisés, je m'arrangerai pour vous faire parvenir de l'argent, si vous voulez encore être assez bonne pour le garder, et le lui donner à mesure, comme vous le jugerez à propos. Je veux espérer tout de même, avec l'aide de Dieu, qu'il s'efforcera de se conduire d'une manière convenable. Quand vous le verrez, je vous prie de lui faire mes amitiés, et de le presser de m'écrire. Il peut envoyer la lettre à ma fiancée, qui s'en chargera, ou bien le mieux est qu'il envoie la lettre non affranchie. — Je vous ai envoyé de Hambourg, par le négociant Bisgaard 1, un petit paquet que vous avez dû recevoir. Ma fiancée m'a écrit, il est vrai, qu'elle n'a pas reçu une lettre qui y était incluse; mais comme Mademoiselle Collett en a reçu une de Boeck qui a été envoyée par la même voie, c'est sans doute que l'envoi aura simplement subi un retard. — Je vis d'ailleurs d'une manière extrêmement calme, et je suis assez occupé; mais j'ai par moments une terrible nostalgie, d'autant plus grande que les nouvelles de chez nous sont d'une rareté navrante. — Je pense que ma chère sœur va bien. Je la salue bien cordialement. Et la charmante, la toute-bonne Charité, je lui envoie mes souhaits de tout mon cœur. Portez vous bien, chère Madame Hansteen. Je ne peux pas en écrire davantage, je suis bien triste.

Adieu, et ne soyez pas fâchée contre moi ; je dois vous paraître un peu bizarre.

VL ABEL A HOLMBOE

Le 16 janvier 1826.

Cher ami!

Après la promesse que je t'ai faite en quittant Christiania, tu dois depuis longtemps attendre une lettre de moi, et il faut que je te prie de nj'excuser de ne

14 COEEESPONDANCE D'ABEL

pas t'avoir écrit plus tôt. C'est que je désirais ne pas te raconter seulement ce qui m'est arrivé dès le début de ma tournée, mais aussi comment se dessine mon voyage dans l'ensemble. En outre, je désirais encore t'informer de telle ou telle de mes recherches sur plusieurs sujets intéressants dont je me suis occupé. — Je ne vais pas te faire de récit de mon voyage, qui au total a été très dénué d'aventures, et dont peut-être, d'ailleurs, tu auras entendu parler par le professeur Hansteen. Je l'ai prié de te saluer dans la lettre que je lui ai écrite il y a quelque temps. Je suis enchanté qu'il me soit arrivé de venir en Allemagne, surtout à Berlin, avant d'aller à Paris; car, ainsi que tu l'as peut-être appris par ma lettre à Hansteen, j'ai fait ici une merveilleuse connaissance dans la personne du conseiller privé Crelle. Tu ne peux pas t'imaginer l'homme excellent qu'il est; justement ce qu'il me faut, prévenant sans être cuirassé de cette effi'oyable politesse dont se couvrent bien des gens, d'ailleurs fort honnêtes. Je le fréquente aussi aisément que toi ou d'autres de mes meilleures relations. Il travaille très assidûment les mathématiques, ce qui est d'autant plus méritoire qu'il a énormément à faire comme fonctionnaire. Il a publié dans ces dernières années plusieui's livres mathématiques, qui me paraissent très bons. Il m'a fait l'honneur de me donner la plupart, savoir : une traduction des œuvres mathématiques de Lagrange, comprenant : Théorie des fonctions analytiques. Leçons sur les fonctions analytiques et Théorie des équations numériques, accompagnées de notes excellentes; j'ai reçu également la Théorie der analytischen Facultaten, de Crelle. (Elle se trouve à la bibliothèque de Christiania, et si tu ne l'as pas lue, il faut que tu la lises. C'est à beaucoup d'égards un livre remarquable, surtout sous le rapport de la forme) ; Lehrbuch der Arithmetik und Algebra et Lehrbuch der Elemente der Géométrie 3 volumes, de Crelle. En outre je me suis procuré sa „Darstellung der Rechnung mit verânderlichen Grôssen" et je me procurerai aussi plu.sieurs petits mémoires qu'il a fait imprimer. Au printemps j'enverrai tous ces livres et plusieurs autres en Norvège, et je les confierai à ta garde. Naturellement je ne peux pas les emporter avec moi. Je vais chez Crelle toutes les semaines le lundi soir, et de plus nous nous promenons ensemble tous les vendredis dans l'après-midi pendant quelques heures. Tu peux penser si l'on s'en donne, des mathématiques, aussi vite que mon mauvais allemand me le permet. Je m'y débrouille tout de même passablement. Il ne peut pas se mettre dans la tête que je peux comprendre tout ce qu'on dit, sans savoir bien parler moi-même. — La langue de Berlin n'est d'ailleurs pas précisément la meilleure, d'une part assez dure,

COEBESPONDANCE D'ABEL 15

et d'autre part excessivement molle et effacée. Ainsi on prononce toujours au commencement des mots j pour g, ce qui est diablement drôle à entendre, par exemple 0! Jot! que l'on entend à chaque instant. On a la phrase suivante pour se moquer des Berlinois sous ce rapport: „Eine jute jebratene Jans ist eine jute Jabe Jottes". Une autre chose qui produit un effet bizarre est qu'ils intervertissent mir et mich, dir et dich ; et aussi on dit constamment sind pour seyn. Mon garçon dit: Wollen Sie so jut sind mich Jeld zu jeben; ich werde jleich hier sind. —

Gomme Hansteen te l'a peut-être raconté, un Journal mathématique paraîtra ici à dater du commencement de l'année, ce dont je suis bien content, comme tu penses. Il ne contiendra certainement pas beaucoup de mauvais, un peu est inévitable, car il y aura probablement beaucoup de gens à y écrire. Dans chaque numéro paraîtront deux ou trois mémoires de moi, tu peux y compter, et je ferai tous mes efforts pour produire ce que je pourrai de mieux, tu peux m'en croire. J'en ai déjà terminé 6. Il en paraîtra 1 ou 4 dans le premier numéro,^ qui paraîtra bientôt, dans un mois environ. L'un de ces mémoires est la démonstration de l'impossibilité de la lésolution générale des équations, que j'ai développée plus amplement que je ne l'avais fait dans le mémoire que j'ai fait imprimer à Christiania. Grelle disait de ce mémoire qu'il était honorable, mais qu'il ne pouvait pas encore le comprendre tout à fait. J'ai tant de peine à m'exprimer d'une manière claire dans ces sujets que l'on a encore si peu étudiés à ma façon. — Depuis que je suis arrivé ici à Berlin, j'ai cherché aussi à résoudre le problème général suivant : „Trouver toutes les équations que l'on peut résoudre algébriquement." Je ne suis pas encore au bout, mais autant que je comprends, ça ira bien : Tant que le degré de l'équation est un nombre premier, il n'y a pas trop de difficulté, mais lorsque c'est un nombre composé, c'est le diable. J'ai appliqué aux équations du 5^™^ degi'é, et j'ai heureusement résolu le problème dans ce cas. J'ai trouvé un grand nombre d'équations, outre celles déjà connues, que l'on peut résoudre. Lorsque j'aurai achevé le mémoire comme je le désire, je me flatte qu'il sera bon. Au moins c'est quelque chose de général, et il y aura de la méthode, c'est là, je trouve, le plus important. — Un autre problème dont je me suis beaucoup occupé est la sommation de la série:

cos mx -j- m cos (m — z) a; -| ^-^ cos (m — i) ^ -\-

Si m est un nombre entier positif, la somme de cette série, comme tu sais, est (2 cos x)*", mais si m n'est pas un nombre entier, il n'en est plus de même, à moins que X soit plus petit que ^. — Il n'y a aucun problême qui ait occupé les mathématiciens autant que celui-là dans ces derniers temps. Poisson, Poinsot, Plana, Grelle, et une quantité d'autres ont cherché à le résoudre, et Poinsot est le premier qui ait trouvé une somme exacte, mais son raisonnement est tout à fait faux, et personne encore n'a pu en venir à bout. J'y ai réussi avec une entière rigueur. Un mémoire là-dessus prendra place dans le Journal, et j'en enverrai bientôt un autre en France pour être inséré dans les Annales de mathématiques de Gergonne. — J'ai trouvé

cos mx -j- îM cos (m — 2) a; -}-•••• = (2 + 2 cos 2 a;)a. cos mkrt sin mx -|- m sin (rø — 2) a; t}- ....== (2 + 2 cos 2 xjl. sin mliTt

m est une grandeur comprise entre — 1 et +oo, k nn nombre entier, et x une grandeur comprise entre {k — ^)tc et (k + ^)7r. Si tu fais dans la seconde égalité k = 0, tu as la curieuse formule:

■ / r>\ 1 rø (rø — 1) ■ / «^ 1 n

sm mx -\- msin{m — 2) x -| ^^-^ sm (rø — å) x -j- .... = 0

pour toutes les valeurs de x comprises entre — ^ et + 1-. Si rø est compris entre — 1 et — 00, les deux séries sont divergentes, et par suite n'ont aucune somme. Les séries divergentes sont en bloc une invention du diable, et c'est une honte que l'on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut en tirer tout ce qu'on veut quand on les emploie, et ce sont elles qui ont produit tant d'échecs et tant de paradoxes. Peut-on penser quelque chose de plus affreux que de dire que

0 = 1 — 2" + 3« — 4« + etc.

oîi n est un nombre entier positif. Bisum teneatis amici: Je suis devenu prodigieusement attentif à tout cela; car si l'on excepte les cas de la plus extrême simplicité, par exemple: les séries géométriques, il n'y a presque pas, dans toutes les mathématiques, une seule série infinie dont la somme est déterminée d'une manière rigoureuse: en d'autres termes, ce qu'il y a de plus important dans les mathématiques est sans fondement. La plupart des choses sont exactes: cela est vrai; et c'est extraordinairement surprenant. Je m'efforce d'en chercher la raison.

COREESPONDANCE d'ABEL 17

Sujet excessivement intéressant. — Je ne crois pas que tu puisses me présenter beaucoup de propositions où entrent des séries infinies, contre la démonstration desquelles je ne puisse faire des objections fondées. Fais-le, je te répondrai. Même la formule du binôme n'est pas encore démontrée rigoureusement. — J'ai trouvé que l'on a

(1 + a;)™ = 1 -\- mx -] ^^ '- x^ -{- . . .

pour toutes les valeurs de m lorsque x est plus petit que 1. Si x est égal à + 1, on a la même formule dans le cas où m est > — 1, et seulement alors, mais si x = — 1, la formule n'a pas lieu, à moins que m soit positif. Pour toutes les autres valeurs de x et de m la série 1 -|- mx -\- etc. est divergente. La théorème de Taylor, la base de toutes les mathématiques supérieures, est tout aussi mal fondé. Je n'en ai trouvé qu'une démonstration rigoureuse, et elle est de Cauchy dans son Bésumé des leçons sur le calcul infinitésimal. Il y démontre que l'on a:

(p {x -\- a) = g}X -{- a (px -)- ^ tp'x -(-....

toutes les fois que la série est convergente (mais on a bientôt fait de s'en servir dans tous les cas). Pour montrer par un exemple général [sit venia verbo) combien on raisonne mal et combien il faut être prudent, je choisirai l'exemple suivant: — J'en étais là lorsque Maschmann est entré, et comme depuis longtemps je n'ai pas reçu de lettre de chez nous, je me suis arrêté pour m'informer s'il n'en avait pas une pour moi (c'est lui en effet qui nous les apporte toujours), mais il n'y avait rien. Par contre il avait lui-même reçu une lettre, et entre autres nouvelles, il a raconté que toi, mon ami, tu es nommé lecteur à la place de Rasmusen. Reçois mes félicitations les plus sincères, et sois assuré qu'aucun de tes amis ne s'en réjouit autant que moi. J'ai souvent souhaité un changement dans ta situation, tu peux me croire, car être professeur dans une école doit être quelque chose d'affreux pour quelqu'un comme toi, qui t'intéresses tant à ta science. — A présent il va falloir que tu t'occupes de trouver une fiancée, n'est-ce pas. J'entends dire que ton frère le doyen* en a trouvé une. Je ne puis nier que cela m'a vivement frappé. Salue-le bien de ma part, et félicite le „ très-chaudement".** —

* Degré dans la hiérarchie ecclésiastique luthérienne, au dessus des prêtres et au dessous de

l'évêque. ^ •* Am mei sten, en allemand, dans le texte.

CORRESPONDANCE d'aBEL — 3

18 COEEESPONDANCE D'ABEL

Et maintenant je reviens à mon exemple. Soit une série infinie quelconque

tu sais qu'une manière très courante d'en faire la sommation, est de chercher la somme de:

et de faire ensuite x ^1 dans le résultat. C'est juste : mais il me semble qu'on ne peut l'accepter sans démonstration; car si l'on prouve que

pour toutes les valeurs de x inférieures à 1, il n'est pas dit pour cela qu'il en soit de même lorsque æ = 1. Il serait très possible que la série a,, + a^x-^- a^x^ + —

s'approchât d'une valeur toute différente de «0+^1+^*2 + ^ mesure que x

tend vers 1. Cela est claii- dans le cas général où la série «0 + ^1+^2 +

est divergente, car elle n'a alors aucune somme. J'ai démontré que c'est exact lorsque la série est convergente. L'exemple suivant montre combien on peut se tromper. On peut démontrer rigoureusement que l'on a pour toutes les valeurs de X inférieures à tc

^x = ûnx — ^ sin 2æ + i sin 3æ — etc.

Il semble que par suite la même formule devrait avoir lieu pour x = jt; mais cela donnerait :

Tjr = sin TT — ^ sin Sk + f sin Stt — etc. = 0 (absurde). *

On peut trouver d'innombrables exemples de ce genre. — En général la théorie des séries infinies, jusqu'à présent, est très mal établie. — On fait toute espèce d'opérations sur les séries infinies, comme si elles étaient finies, mais est-ce permis? Jamais de la vie. Oîi cela est-il démontré que l'on obtient la dérivée d'une série infinie en prenant la dérivée de chaque terme? Il est facile de citer des exemples où cela n'est pas exact, par ex.:

a; = sin æ — ^ sin 2x -\- ^ sin Sx — ... **

* Abel a par incurie mis au premier membre sr au lieu de ^ 71. ** — — — a; au lieu de A x.

En prenant les dérivées, on a:

X = cos X — cos 2a; -|- cos Sic — etc. *

Résultat absolument faux, car cette série est divergente. — Il en est de même pour la multiplication, la division, etc. des séries infinies. — J'ai commencé à passer en revue les règles les plus importantes qui sont admises (aujourd'hui) sous ce rapport, et à montrer dans quels cas elles sont justes ou non. — Cela va très bien et m'intéresse extrêmement. —

Il est probable que je resterai ici à Berlin jusqu'à la fin de février ou jusqu'en mars, et que je passerai ensuite par Leipzig et Halle pour aller à Gôttingen (non pas pour Gauss, car il est, parait-il, insupportablement orgueilleux, mais pour la bibliothèque qui est, dit-on, magnifique).

Vers la fin de l'été j'irai à Paris. Je voudrais bien être chez nous, car j'ai une terrible nostalgie. Et maintenant écris moi une longue lettre sur toutes sortes de choses. Fais le, je te prie, sitôt ma lettre reçue. — Demain j'irai à la Comédie voir Bie schône Mûlleriwn. Adieu, et salue mes connaissances.

Ton ami

N. H. Abel.

Si tu désires quelques Hvres tu n'as qu'à m'écrire, et je te les enverrai. Inutile d'envoyer de l'argent; car je dois à Madame Hansteen, tu n'as donc qu'à le lui faire tenir. Adieu, et écris moi bientôt. Excuse cette lettre si compacte, et par suite si compacte.**