XLV. DEGEN A HANSTEEN
l'Université de Fred. en Norvège /
Cop. 21 mai 1821
[Cette partie de la lettre ne concerne pas Abel.]
Quant à l'habile M. Abel, je présenterai son mémoire avec plaisir à la Soc. roy. des Se. II montre, même si le but n'était pas atteint, un cerveau exceptionnel et des connaissances rares, surtout à son âge. Cependant je dois y ajouter cette condition, qui est une prière: que M. A. envoie une exposition plus développée de son résultat, en même temps qu'un exemple numérique, pris par ex. sur une équation comme celle ci : æ^ — 2a:;* -f- Sa;^ — 4tx-\-5 = 0. Ce sera, j'en suis convaincu, un très nécessaire lapis lydius* pour lui-même, car on sait ce qui est arrivé à Meier Hirsch ^ avec son evQrjy,a ; item, comme la dernière partie du mém. qui m'est communiqué ne serait pas très lisible pour la plupart des membres de la Soc, je dois en demander une seconde copie. Je voudrais à ce sujet exprimer le vœu que le temps et la vigueur d'esprit consacrés par un cerveau comme celui de M. A. à un objet à mes yeux plutôt stérile, soient employés à un sujet dont le développement aura les conséquences les plus importantes pour toute l'analyse et son application
* pierre de touche.
CORRESPONDANCE d'aBEL — 13
aux recherches mécaniques, je veux dire les transcendantes elliptiques. Avec des dispositions convenables pour des recherches de ce genre, un penseur sérieux ne s'en tiendra certainement pas aux nombreuses et belles propriétés de ces fonctions déjà très remarquables par elles-mêmes, mais il découvrira des détroits de Magellan vers de grandes parties d'un seul et même immense Océan analytique. Ainsi j'ai découvert il y a quelque temps l'intégration suivante:
On a TO quantités variables u, v, x, y, z . . . w
et n — 1 constantes données ... a, h, c, d . . . k
plus une constante arbitraire ... A
Soit F une function de w — 1 quantités, telle que
F[v,x,y,z . . .) = i A sin^w sin^x ûn^y sm^z ... ±1
etc. etc.
F{u, x,y,z . . .) = Vylsin^Msin*a;sin2«/sin^2'. . . ±1
{-f- lorsque n est pair ^ — impair j
l'équation différentielle
F{v,x . . . ).du-\' F{u,x,y . . . .).dv -\- F(u,v,y . . .).dx + +. . .
-\- F{u,v,x,y . . .) . da =0 .... (A)
sera satisfaite par l'intégrale suivante très simple:
cos.M . cos.w . cos.cc . . . cos.w + cos.a . C0S.6 . cos.c . . . cos.k
= F {a, h, c . . . k) . sin u . sin V . s\n X . . . . sïn 0) . . . . (B)
D'où il suit comme simple corollaire, que si l'on fait n = 2, u = ip, v = co, et l'unique quantité donnée a = a, l'équation diff. devient:
„, , „ du , dv „ , ,
F(v).du-\-F{u).dv = 0 ou -^ + ^ = 0.,c.a.d.
du . dv ^
^i-\-AsinH(, Vl + Asin^w vous obtenez alors l'intégrale bien connue d'Euler
cos.xfj . cos.w + cos.a = sin ip.sin u.il -\- A sin^a.
Si VOUS comparez ensuite avec ce que Lagrange a montré dans sa Th. d. fonct. anal, (p. 80, n. 79 & sqq), vous voyez tout de suite que de même, des équations telles que:
Pdu . Qdv .
Va + iÎM + yu^ + du^ + m* i a -\- ^v -^ yv"^ -\- ôv^ -\- ev*
i a -\- ^x -\- yx^ -\- ôx^ + ea;*
et d'autres encore plus compliquées doivent pouvoir être intégrées, où non seulement P, Q, R . . . mais aussi les quantités sous V dans les dénominateurs sont des fonctions rationnelles de u, v, x . . . puisque ces radicaux peuvent être mis sous la forme plus simple: it, -\- r]X^ -\- 6x^ , d'où ensuite on peut obtenir par une subst, facile yi -|- J-sin^çp, en sorte qu'inversement, de VI + ^sin^ç?, on doit obtenir par la subst, inverse i t, -\- rjx'^ -\- 6x^ ; par suite, des formes plus compliquées yi + A sin^çT) sin^i// sin^w . . . on tire des expressions où u, u, æ, . . . se mêlent entre eux et donnent
• ^ -\- TjX-'' -\- By"^ -{- iz"^ -{- ...-\-yx^y'^-\-ho'^ 2"^ + -{-..).
Sur les éq. de degré supérieur (pour revenir au sujet de M. A.), on peut bien trouver quelques jolies particularités, mais qui ne promettent que peu de profit pour l'application. Voici un exemple: Avec 4 nombres quelconques on forme l'éq. suivante du 6™® degré:
^, ^ 3«^, ^ ^a' + ^h^, ^ aja-^+åh)^, ^ ac + 2a^& + 5^ - M ^.,
a (fflc -f- &^ — M) a'^d — abc -\- c^ -\ 32 ^ 64 - "
dont les racines soient désignées par: Xj^ x^^ x^^ x^y Xy et Xyj, en sorte que x représente chacune de ces 6 racines. Si à x„ on fait alors correspondre
^ ^ l/T ix^ + SaX^ + %Xn + c]
on a pour x„ ± y„ douze valeurs, mais elles sont égales entre elles 3 par 3, en sorte
qu'au fond il ne se trouve que quatre valeurs différentes de la somme et de la différence, c. à. d. que l'on trouve pour deux seulement des racines
a?» + 2/m == -4 et sc„ — yn= a) et pour les autres
Xn + y»= B et Xn — y„ = /î.
Vous pouvez vous convaincre par des vérifications faciles de l'exactitude de cette proposition. Et si M. A. peut la déduire dans sa généralité de ses recherches sur les éq. du G""^ degré, je croirai qu'il a gagné la partie.
Dans l'anal, indét. je suis parvenu à la résol. en nombres entiers d'éq. expon. de la forme:
a* = a:; (mod. m) ; aP + i^^p + qx; a^^x^;
et en général a* = ôa;^ + ex ; mais je n'ai pas été plus loin pour le moment. Ex. (mod 52): 7^^^+^^^ = 135 + 624a;; 2«8 = 68^; â"" = 100^ etc. (mod. 53) 238 = 33; 353550 = 255O; ^^^^ = 2638^ etc.
[Viennent ensuite un certain nombre d'exemples numériques et des calculs sur le même sujet, puis est ajouté en marge de la lettre:]
Dans ces matières, et d'autres, s'ouvre un vaste champ pour les méditations de votre habile élève.
L'artoçia, commise par mon collègue, malgré sa présence d'esprit habituelle, m'a privé d'une grande joie. Retiré à ce moment dans la solitude près du cimetière Assist. K. G.,* j'ai appris trop tard votre départ. Cela m'a fait beaucoup de peine, vous n'en douterez pas. Pourvu que je ne me rende pas coupable maintenant d'une aussi vilaine aporie envers le bon Abel! Car je me rappelle fort bien ce que dit Lucien:
itoXka (pocLVETocL rjfitv rtav evTtOQWV àrtoça Kat riav IcpiKXOJV avB(piYxa?
* Assistentskirkegaard (Cimetière auxiliaire) près de la Nørregade actuelle.
LETTEES RELATIVES A ABEL 101
Si ma bonne étoile vous amène encore à la ville d'Axel,* j'ose espérer que
vous n'oublierez pas un frère en Apollon qui vous est dévoué avec la plus sincère
déférence
Votre respectueux
