OPTIQUE

Les recherches mathématiques et expérimentales relatives à l’Optique, dont l’exposé suit, ont toutes été inspirées par la même pensée. Telle qu’elle nous a été laissée par Fresnel, la théorie des phénomènes lumineux présente des lacunes ou des contradictions apparentes qui sont signalées depuis longtemps et ont servi de base à des essais de théories différentes : c’est ainsi que Cauchy a tenté de faire jouer un rôle aux vibrations longitudinales dans la théorie de la réflexion, que Neumann et Mac Cullagh ont attribué aux vibrations des rayons polarisés une direction perpendiculaire à celle proposée par Fresnel et édifié une théorie tout à fait différente pour

Montrer que les théories partielles de Fresnel sont conciliables entre elles, pourvu qu’on en change légèrement la forme sans toucher aux prin- • cipes, qu’on peut les fondre en une théorie générale confirmée aussi bien par les expériences modernes que par celles dues à Fresnel lui-même, tel a été mon but.

Dès que l’on accepte en principe la théorie des ondes, il faut rechercher quelles propriétés on doit supposer à l’éther pour qu’il puisse remplir le rôle qu’on lui attribue, quelles lois doivent régir ses vibrations. Il n’est plus permis d’étudier la propagation des ondes en supposant que les forces qui sollicitent une molécule d’éther peuvent s’évaluer sans tenir compte des déplacements simultanés des molécules voisines, mais on doit traiter l’éther comme un milieu vibrant. Cauchy et Lamé ont donné, dans toute la

généralité dont elles sont susceptibles, les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les déplacements infiniment petits d’un milieu élastique; ces équations se simplifient lorsqu’il s’agit d’un milieu isotrope et qu’on suppose, comme l’a fait Fresnel, que la vitesse de propagation des ondes longitudinales est nulle. Ainsi simplifiées, ces équations suffisent à l’explication de tous les phénomènes lumineux.

Sur les causes de la réflexion elliptique à la surface des corps transparents.

t. I, p. 3o8 (session de Bordeaux).

Les formules par lesquelles Cauchy a représenté les amplitudes et les différences de phase des rayons réfléchis ou réfractés, à la surface commune de deux milieux transparents, ont été vérifiées par les expériences de M. Jamin, sauf en ce qui concerne les valeurs relatives des coefficients d’ellipticité, qui n’ont pas paru pouvoir être considérés comme la différence de deux constantes spécifiques des milieux séparés par la surface réfléchis-

De plus, ces formules données par Cauchy ne permettent pas de prévoir l’influence de la longueur d’onde de la lumière sur l’ellipticité du rayon réfléchi, influence qui, d’après sa théorie, serait seulement de l’ordre de la dispersion.

Toutes ces difficultés disparaissent lorsque l’on admet que, dans les deux milieux, l’élasticité est la même, et que, comme Fresnel l’a proposé, la matière pondérable, participant au mouvement de l’éther, a simplement pour effet d’en augmenter la masse apparente, dans une mesure variable avec la longueur d’onde. Il est alors permis de supposer que cet effet ne se produit pas brusquement à la surface de séparation, mais que des deux côtés de celle-ci (ainsi que cela est mis en évidence par les phénomènes capillaires) la densité de l’éther fictif, qui est substitué au milieu vibrant, varie très rapidement dans une couche d’épaisseur très petite, hypothèse déjà entrevue par Fresnel lui-même.

On est donc amené à intégrer les équations différentielles de la forme ordinaire

lorsque p, au lieu d’être constant, est une fonction de 2, normale à la surface

rester le même des deux côtés de la surface : c’est encore une des conditions de Fresnel, que l’on retrouve dans la théorie de Cauchy ; mais que A-t-A'varie de ^(A — A')m ! S, où S'dépend d’une autre intégrale

de sorte qu’il n’y a plus continuité entre les composantes horizontales des déplacements quand l’épaisseur de la couche de transition est appréciable; si on la néglige, on retombe sur les formules de Fresnel, qui sont ainsi démontrées sans hypothèses arbitraires.

Lorsqu’on tient compte de l’épaisseur de cette couche, ou qu’on ne néglige plus l’intégrale S, on retrouve les formules de Cauchy; les nombreuses vérifications expérimentales de lamin s’appliquent donc aussi bien à cette théorie, qui n’introduit aucune relation nécessaire entre les coefficients d’ellipticité relatifs à trois réflexions, air sur eau, air sur verre, eau sur verre. Elle conduit de plus ù des résultats nouveaux; il existe toujours dans l’intérieur de la couche mixte une surface parallèle à la surface de séparation et qui jouit, au point de vue optique, de la propriété suivante : le rayon incident, le réfléchi et le réfracté, lorsqu’ils sont polarisés dans le plan d’incidence, sont concordants sur cette surface, quelle que soit l’incidence; c’est cette surface qui, au point de vue optique, est la véritable surface de séparation des milieux, et qui détermine l’épaisseur mesurée par la méthode des anneaux colorés ; cette épaisseur apparente peut varier avec la nature des milieux. De plus, elle conduit à un coefficient d’ellipticité, qui, indépendamment de la dispersion, croît en raison inverse de la longueur d’onde, tandis que, dans la théorie de Cauchy, il devrait en être indépendant.

De rccentes expériences de M. Cornu ont montre que ce coefficient croissait en effet rapidement quand la longueur d’onde diminuait; cet argument est d’un grand poids en faveur d’une théorie basée sur l’existence d’une couche de transition.

Sur les changements de phase produits par la réflexion métallique.

Les travaux de M. Jamin, ayant fait connaître la différence de phase des rayons polarisés dans les deux azimuts principaux, ainsi que les intensités des rayons réfléchis, permettent de déduire de l’altération de la lumière

polarisée dans le plan d’incidence l’allération subie par la lumière polarisée dans le plan perpendiculaire. Pour étudier celle-ci, j’ai employé deux méthodes : la première.consiste à étudier les anneaux colorés produits entre une lentille et une plaque métallique; la seconde, à étudier les interférences de deux faisceaux ayant subi, l’un la réflexion métallique, l’autre la réflexion ordinaire ou totale sur une substance transparente.

Première méthode. — Si la plaque métallique se comportait comme une plaque vitreuse, les diamètres D des anneaux seraient liés à leur numéro d’ordre n par une relation de la forme D 2 = an — b, équation dans laquelle b est indépendant de l’incidence, mais est variable avec la nature du milieu compris entre la plaque et la lentille, ^ étant l’épaisseur optique de ce milieu au point où elle est la plus faible.

On trouve que b varie avec l’incidence ou que l’épaisseur théorique de la lame mince, calculée par le nombre des anneaux, est variable, ce qui n’est susceptible que d’une interprétation, savoir : il y a altération, variable avec l’incidence, de la phase de la lumière réfléchie; cette altération, nulle quand l’incidence est rasante, atteint sa valeur maxima pour l’incidence normale. Elle est d’ailleurs variable aussi avec la nature du milieu constituant la lame mince et d’autant plus prononcée que celui-ci est plus réfringent. Pour l’argent, par exemple, le retard du rayon réfléchi normalement est j de phase lorsque la réflexion a lieu dans l’air, de j lorsqu’elle a lieu dans Une essence d’indice r ,47-

Seconde méthode. — La seconde méthode a donné des résultats identiques. On a placé entre le collimateur et la lunette d’un goniomètre de Babinet un prisme isoscèle dont la base réfléchissait les rayons parallèles issus du collimateur et réfractés une première fois par l’une des faces du prisme sur l’autre face, et de là dans la lunette.

Cette base était argentée dans toute son étendue, sauf sur un petit rectangle ayant la hauteur du prisme et une largeur de o", oo3 à o m , 004, prise au milieu de la base ; on interpose dans le trajet du faisceau incident une double fente parallèle à la fente du collimateur et aux arêtes du prisme : la lumière qui éclaire la fente est polarisée avant son entrée dans l’appareil. En donnant à la double fente un mouvement de translation perpendiculaire à la direction des rayons incidents, il est facile de faire en sorte que 1 un des faisceaux qui en sortent tombe sur la partie argentée et 1 autre sur la partie mise à nu, et de s’arranger ensuite de manière que le faisceau qui

tombait dans une première position sur l’argent tombe sur la partie mise à nu, et inversement; à ces deux positions de la double fente correspondent au foyer de la lunette des franges d’interférence qu’on observe avec un puissant oculaire. Le déplacement de ces franges, qu’on mesure au micromètre, donne le double du retard relatif du rayon réfléchi sur l’argent et du rayon réfléchi sur l’air. On Voit aisément qu’on peut substituer à l’air un liquide quelconque et, en variant l’angle du prisme et la nature du liquide, mesurer ces retards dans des conditions très variées, tant pour la réflexion ordinaire que pour la réflexion totale, comparer les retards du faisceau réfléchi par le métal avec des faisceaux réfléchis sous la même incidence par l’air ou un liquide, et vérifier la formule que Fresnel a donnée pour la perte de phase par réflexion totale, formule qui n’a pas encore été, à ma connaissance, l’objet d’une vérification expérimentale directe.

La concordance des résultats obtenus par les deux méthodes est complètement satisfaisante.

Conséquences relatives à la mesure des petites épaisseurs. — L’existence d’un retard produit par la réflexion métallique sous l’incidence normale prouve qu’on ferait une erreur en estimant l’épaisseur d’une couche métallique appliquée sur une lame de verre par la différence, des anneaux réfléchis par le métal d’une part, par le verre de l’autre, erreur qui, pour l’argent, atteindrait é de la longueur d'onde du jaune, et ne serait par conséquent pas négligeable s'il s’agissait de lames transparentes métalliques, dont l’épaisseur n’est qu’une fraction de longueur d'onde.

De plus, ce retard dans le rayon réfléchi doit être accompagné d’une altération dans le rayon réfracté, et, quand un rayon lumineux traverse normalement une lame mince transparente d’argent, il doit subir deux fois cette altération. Or les calculs qui ont conduit aux formules ci-dessus donnent une avance de i de phase, pour ces altérations superficielles, dans le cas d’une lame mince d’argent appliquée sur un Crown d’indice i,5 ; on doit tenir.compte de cejte action si l’on se propose d’estimer la vitesse, de propagation de la lumière dans le métal; faute de prendre cette précaution, on trouve des indices trop faibles, et qui peuvent même être négatifs si la lame est assez mince, ainsi que cela est arrivé dans certaines expé-

Les phénomènes auxquels donnent lieu les métaux présentent ainsi une complication beaucoup plus grande que ceux produits par les matières transparentes, puisqu’il n'existe pas de surface sur laquelle les rayons

Lorsqu’on accepte, en effet, l’hypothèse d'un passage graduel entre lés milieux vibrants, on trouve que les équations qui régissent les mouvements de l’éther des deux côtés dé la surface de séparation et dans la couche de transition ont en commun tous les termes contenant des dérivées des vibrations par rapport aux coordonnées, et il devient facile de trouver quelles sont les quantités qui ne doivent subir que des variations infiniment petites en passant d’un milieu à l’autre, sans avoir recours à d’autres principes, soit certains, comme celui des forces Vives, soit plus ou moins hypothétiques, et d’établir les quatre équations fondamentales de la théorie de la réflexion.

Les quantités discontinues, ou variant très rapidement, sont isolées dans des termes qui ne contiennent pas les dérivées des variables, et n’introduisent aucune difficulté théorique; cette manière de traiter le problème de la réflexion diffère profondément de celles de Fresnel et de Neumann, aussi bien que de celle de Cauchy et même de M. Lorenz (').

Comme résultat essentiel, cette méthode conduit à ce théorème, que, lorsqu’on néglige l’épaisseur de la couche de transition, les quatre quantités y), — jçj doivent être continues des deux côtés de la

surface de séparation 5 = 0 des deux milieux; ce sont les composantes, parallèles à la surface de séparation, des déplacements et des rotations.

On retrouve ainsi les équations de Fresnel.

cte du retard qui accompagne la réflexion

La méthode employée dans ces expériences consiste à faire tomber normalement sur une lame de verre un faisceau lumineux; la face postérieure de cette lame est partiellement recouverte de la substance réfléchissante (fuchsine ou argent) : une image de la lame est projetée sur la fente d’un spectroscope, et l’on étudie la manière dont les cannelures du spectre sont brisées le long de la ligne limitant l’image de la substance réfléchissante. Pour la fuchsine, le rejet est sensiblement nul dans le violet et dans la région ultra-violette du spectre solaire, comme l’indique la Photographie; dans la partie visible, ce rejet croit avec la longueur d’onde pour atteindre

(*) Poggendorff’s.

une demi-largeur de frange dans le rouge; ces franges sont rejetées du côté du violet, et sont plus resserrées sur la fuchsine que sur l’air. L’aspect des cannelures reste sensiblement le même quand on substitue au Crown une lame de mica; mais il est complètement modifié quand la lame est d’un flint qui est plus réfringent que la fuchsine pour les deux extrémités du spectre. Le rejet, nul aux deux extrémités, passe par un maximum, d’environ un tiers de frange, entre les raies D et E, dans la région du vert.

En introduisant ces résultats dans les formules théoriques qui déterminent le coefficient d’extinction, on trouve que, pour ces radiations fortement absorbées, une épaisseur de fuchsine d’une longueur d’onde suffit pour réduire l’intensité de la lumière transmise à de sa valeur primitive, et l’expérience vérifie, en effet, qu’une épaisseur de quelques centièmes de >. produit déjà une absorption notable.

Les mêmes principes s’appliquent à la propagation de la lumière dans les milieux cristallisés. Dans ceux-ci, on est obligé de supposer à l’éther une inertie moyenne apparente, variable non seulement avec la longueur d’onde, comme dans les milieux isotropes, mais aussi avec la direction de la vibration : nécessité déjà sentie et exposée par M. Cornu dans son Mémoire sur la réflexion cristalline ('■). Pour expliquer cette variation, M. Boussinesq ( s ) a proposé de considérer l’éther comme identique à lui-même dans le vide et les milieux pondérables, mais comme subissant, outre l’action des forces résultant de sa propre élasticité, celles d’autres forces résultant de l’action de la matière pondérable, participant, dans une certaine mesure, au mouvement de l’éther : hypothèse qui revient à donner au coefficient de l’accélération, c’est-à-dire à la densité apparente de l’éther, une valeur dépendant de la longueur d’onde en général et de la direction dans les milieux non isotropes; tandis que M. Sarrau ( s ) a adopté l’hypothèse d’un éther isotrope ayant l’élasticité de l’éther libre, mais d’une densité

<<) Annales de Chimie et de Physique, 4" série, t, XI, p. e83.

variant périodiquement dans ,l'espace, cette densité redevenant la même dans les points correspondants des diverses mailles du réseau cristallin.

M. Sarrau cherche à former, suivant une méthode dont le principe avait été indiqué par Cauchy, les équations différentielles à coefficients constants, auxquelles doivent satisfaire les valeurs moyennes, seules appréciables à l’expérience, des déplacements. Cette méthode consiste à développer suivant des séries trigonométriquès les coefficients périodiques des équations à intégrer, et les composantes des déplacements. Ces équations se décomposent alors en autant d’équations qu’il faut prendre de termes dans ces séries, c’est-à-dire en un nombre infini d’équations linéaires, équations qui ne peuvent être résolues, mais indiquent seulement la forme de la solution.

J’ai pensé qu’il y avait, un certain intérêt à employer, pour l’intégration de ces équations à coefficients périodiques, une autre méthode dispensant de l’emploi de ces séries et conduisant à des formes plus explicites des coefficients auxquels doivent satisfaire les déplacements moyens, de manière à mettre en évidence la valeur des termes correspondant à la double réfraction, à la dispersion et au pouvoir rotatoire.

La méthode consiste à rechercher si les équations différentielles écrites plus haut admettent dés intégrales de la forme

dans lesquelles m,netp sont des constantes, et A, B, C des fonctions ayant, par rapport aux coordonnées, la même périodicité que p ; les constantes m, n, p dépendant seulement de la longueur d’onde, ou de la période du mouvement vibratoire, qu’on a toujours le droit de supposer, au moins entre certaines valeurs de la période, développables suivant les puissances de la longueur d’onde.

En m’appuyant sur un théorème analogue à celui de Green, je démontre alors que, pour une onde de direction donnée, on trouve deux vitesses de propagation, correspondant chacune à une vibration moyenne déterminée; la différence de ces vitesses contient un terme indépendant de la longueur d’onde, comme l’indique l’expérience. Quant aux vibrations propagées, elles sont rectilignes dans les milieux non mériédriques, elliptiques dans le cas le plus général, mais circulaires lorsque l’équation qui détermine le terme indépendant de la longueur d’onde dans la vitesse a ses deux racines égales, la différence de vitesse des deux circulaires inyerses étant de l’ordre

du carré de l’inverse de la longueur d’onde, ce qui est conforme à l’expé-

Dans son Cours à la Faculté des Sciences, M. Poincaré (') a bien voulu exposer cette méthode d’intégration.

Réflexion cristalline. — Les équations différentielles qui régissent les vibrations dans les milieux cristallisés ayant encore en commun, avec les équations relatives aux milieux isotropes, tous les termes contenant les dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées, les mêmes principes, les mêmes équations de continuité s’appliquent à la réflexion sur les cristaux et à la réflexion sur les corps isotropes ou sur les métaux, et de cette application ressort avec la dernière évidence le lien étroit qui lie la surface de l’onde et les lois de la réflexion; les formules auxquelles elles conduisent sont du reste les mêmes que celles que Mac Cullagh avait données, et qu’on peut regarder comme vérifiées expérimentalement; la manière dont ces formules se présentent permet de vérifier très simplement les deux théo-

Théobèmb I. — Si un rayon polarisé est réfléchi sur une substance cristalline, puis éteint par un analyseur, l'extinction subsistera encore si l’on fait pénétrer la lumière par l’analyseur.

Théorème II. — Si un rayon polarisé est réfracté par un prisme formé d’une substance cristalline et que l’un des rayons émergents soit éteint par un analyseur, l'extinction subsistera encore en faisant pénétrer la lumière par

Ces deux théorèmes, dont le premier seul a été énoncé par M. Cornu ( s ) dans le Mémoire déjà cité, sont vérifiés complètement et de la manière la plus précise par l’expérience.

Sur le principe du retour des rayons et la réflexion cristalline.

Journal de Physique, a* série, t. X, p. 391.

Cette Note contient la démonstration in extenso des deux théorèmes cidessus, et en même temps une généralisation de ceux-ci ; lorsque le pola-

riseur et l’analyseur, au lieu d’être à l’extinction, sont dans une orientation quelconque, la fraction de la lumière incidente qu’on retrouve dans la lumière émergente est indépendante du sens dans lequel la lumière passe dans l’appareil.

On montre que ce principe ainsi généralisé de la réversibilité s’applique lorsque la lumière a subi des réfractions ou des réflexions quelconques, pourvu que les corps réfléchissants ou réfringents ne soient pas soumis à des forces magnétiques.

Sur les anneaux colorés et les couleurs des lames minces.

Journal de Physique, i" série, 1.1, p.3 77 .

La théorie dite complète, des anneaux colorés a été donnée par Sir Airy et est reproduite sous la même forme dans les Traités classiques. On considère des rayons ayant été réfléchis successivement une, deux, trois .... n fois dans la lame mince, et l’on cherche l’effet de la superposition de tous ces rayons, en nombre infini. Ces calculs sont singulièrement abrégés, si Ton cherche, en partant des formules de Fresnel, ou même encore de celles qui expriment les conditions de coexistence de deux mouvements vibratoires dans deux milieux juxtaposés, quelles relations doivent exister entre les mouvements des ondes incidentes et réfléchies sur la face supérieure de la lame mince, pour que les deux ondes à l’intérieur de cette lame puissent coexister avec une onde réfractée unique dans le milieu inférieur : on trouve immédiatement les amplitudes et les différences de phases données par les formules d’Airy. Le cas de Ta réflexion totale se traite de la même manière.

Une simplification analogue se présente dans l’étude de l’action .d’une lame mince cristalline sur la lumière polarisée.

De l’entraînement des ondes lumineuses par la matière en mouvement.

Arago avait annoncé que la réfraction apparenté des rayons lumineux provenant d’une étoile, et déviés par leur passage à travers un prisme, restait la même quel que fût le sens du mouvement de la Terre. Pour l’expliquer, dans la théorie des ondulations, Fresnel admit que la vitesse

d’entrainement des ondes lumineuses était seulement la fraction '*’~7 1 de la vitesse de la matière pondérable, et M. Fizeau démontra directement plus tard qu’il en était bien ainsi.

L’étude des modifications que le mouvement de la Terre pouvait apporter aux lois de la réflexion, de la réfraction et aux phénomènes d’interférence est considérée comme des plus délicates. En modifiant, non le fond, mais la forme de la formule de Fresnel, j’ai montré que le temps employé par la lumière pour parcourir un espace donné n’était altéré, par le fait du ou des milieux, que d’une quantité indépendante de la nature de ces milieux, du chemin parcouru par la lumière, et même de la longueur d’onde de cette lumière, et déterminée par le point de départ et le point d’arrivée de la lumière, ainsi que par la vitesse du milieu, et que par suite le mouvement de la Terre ne pouvait être mis en évidence par un phénomène d’interférences, ce qui expliquait les résultats négatifs obtenus par M. Mascart, malgré la précision des expériences et la puissance des

On sait de plus que les rayons lumineux, dans la théorie des ondulations, sont définis par cette condition que le temps mis parla lumière à se propager d’un point à un autre du rayon soit un minimum; l’influence du mouvement de la matière pondérable sur la forme des rayons doit donc être nulle, puisque le temps employé par la lumière pour se propager d’un point à un autre est affecté d’une quantité indépendante du chemin suivi. L’expérience vérifie encore complètement cette conséquence de la formule de Fresnel. ■ .

Mais plus sont précises ces vérifications expérimentales, plus est sensible l’insuffisance de la démonstration de Fresnel, même modifiée par M. Èisenlohr. Four rendre compte des expériences de M. Mascart sur le spath d’Islande, par exemple, on serait obligé d’admettre que la vitesse d’entraînement de l’éther condensé dans le spath est différente suivant que l’on considère le rayon ordinaire ou le rayon extraordinaire; on serait encore obligé d’admettre autant de vitesses différentes que de couleurs différentes.

J’ai montré que ces hypothèses contradictoires étaient inutiles, et donné de la formule de Fresnel une démonstration élémentaire, fondée sur le principe déjà mentionné de l’identité des réactions élastiques de l’éther libre et dans les corps transparents.

Lorsque la matière pondérable a un mouvement relatif par rapport à

celle t de

l’éther, la période '<u, de son mouvement ne coïncide plus avec l’éther, mais il y a entre les deux la relation

en désignant par u la vitesse relative et par \ la longueur d’onde.

La force d’inertie correspondant à un déplacement Ç est, dans un mouvement périodique, égale à l; puisque la période est altérée dans le rapport de t, à t pour la matière, le résultat est le même que si sa masse était altérée dans le rapport de t 1 à vj. Si p 0 est la densité de l’éther, et p, la densité de l’éther fictif qu’il faut lui ajouter pour exprimer la participation de ta matière a ce mouvement, pour une longueur d’onde et une direction donnée de vibration, lorsque le mouvement relatif est nul, p, Jj sera la densité de cet éther fictif pour la vitesse u; et, comme les vitesses sont en raison inverse des racines carrées des densités, on aura, en appelant V 0 la vitesse dans le vide, V, la vitesse dans le milieu pondérable au repos, V, + AV la vitesse (dans l’éther) quand le milieu est en mouvement, les relations

d’ou l’on déduitAV = — ou la règle donnée par Fresnel.

Sur le principe d’Huygens.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXII, p. 291.

Poisson a donné le moyen de déduire l’état d’un milieu isotrope, ne contenant pas de centres d’ébranlement de son état à une époque antérieure. Dans le cas de mouvements vibratoires sinusoïdaux, von Helmholtzet Kirchhofif ont indiqué des formules qui permettent de déterminer le mouvement d’un point quelconque de l’état vibratoire d’une couche infiniment mince qui l’enyeloppe. Ces deux problèmes sont des cas particuliers de la question

Rechercher comment doivent être distribuées, sur une surface enveloppant tous les centres d‘ ébranlement, les sources fictives qui leur seront équivalentes pour

que pro-

La solution de ce problème général est donnée, et il en résulte, en particulier, que le principe d’Huygens s’applique aussi bien aux ondes uniques qu’aux mouvements périodiques, ce qui avait été mis en doute.