AVANT-PROPOS

Les Mémoires dont on va lire la liste se raltaclient ;i la l'ois à TAnalyse et à la Géométrie et tiaitenl prineipalement de la lliéoiie des eoiii'i)es et des surfaces algéhricjues : quelques-uns sont des travaux d'Analyse ou de Géométi'ie pure; les autres dérivent en général d'un principe commun, celui de l'application ou de l'interprétation, dans le domaine géométrique, des propriétés des fonctions (|u'on rencontre en Analyse, principe dont les recherches de Clehscli, entre autres, ont mis en évidence la fécondité. C'est ainsi que j'ai eu l'occasion, pour l'étude des courbes ou des surfaces, d'employer les fonctions elliptiques, les fonctions fnclisiennes et théta-fuclisiennes de M. Poincaré, les fonctions abéliennes de deux et de trois variables.

En Analyse, je mentionnerai surtout mes recherches sur les fonctions abéliennes singulières, leur tr'ansforination, leui's multipli<afii)ns complexes, les fondions intermédiaires qui s'y rattachent.

Ces théories, toutà fait neuves et qui comblent une importante lacune, entraînent d'intéressantes conséquences dans le domaine géométrique; elles m'ont donné, à coté de remarquables surfaces du quati'ième ordre, les premiers et les seuls exemples explicites connus jus(|u'ici de surfaces hyperabéliennes.

Je signalerai également un ■^fémoire (8i) sur les intégrales de différentielles algébriques où sont établis des résultats (]ue M. Weierstrass, je l'ai su depuis, indiquait dans son cours, mais ([u'il n'avait pas publiés; mes recherches sur le théorème d'Abel m'ont aussi conduit à des formules et à des théorèmes analytiques qui ne semblent pas sans intérêt et dont j'ai tiré grand parti en Géométrie.

Au cours de ces études, j'ai eu la bonne fortune, sur des sujets déjà abordés avant moi, de rencontrer des propositions nouvelles, d'un

riioiu'é siinj)Ie et rr;i|>p;inl, dont (|iiel(iiies-iinos étaient assez cachées: on me permettra de citer, en particulier, les théorèmes sur les aires sphéi'icjues et ellipso'uhih's, qui étendent à \n sphère et à l'ellipsoïde des propriétés fondamentales du cercle et de l'ellipse, ceux qui se lapportent aux arcs de courbes, à la surface de Kummer, à certaines surfaces algébriques.

Le résume qui va suivre, hi'donné d'apri's les questions traitées, est divisé en cinq sections :

i" (lourhes algébriques;

2° Théorème d'Ahel et a|)|)lications géométriques de ce théori'me;

3" Surfaces algébri(|ue^ :

4" Fonctions abéliennes et surfaces hyperellipli(|ues;

:')" Travaux divers.

Les travaux de la seconde section auraient pu se répartir entre les autres, mais ils forment un tout si liomogène qu'il m'a|iarn |iré(ërai>li' de les iii'ouper.

MSTI^: DES MËMOIMKS.