Notice sur les travaux scientifiques

La formule relative au cas où les racines sont inégales renferme implioi-; tement toute la théorie, et l’on doit pouvoir en déduire le développement relatif au cas des racines multiples, en substituant d’abord au dénominateur un nouveau polynôme dont tous les facteurs soient inégaux et dont les coefficients diffèrent infiniment peu de ceux du premier.

Toutefois, la complication apparente de ce calcul a fait regarder cette méthode comme « impropre à fournir la loi générale du nouveau développement ». (Sekiiet, Algèbre supérieure, i re édition.)

Le but de ce travail est de combler cette lacune de la théorie et de montrer comment on peut parvenir aisément par cette voie à la loi générale demandée. Le succès et l’élégance du procédé tiennent à la considération de l’équation qui a pour racines p,, p s , ■ ■■, Pk< en désignant par a -+- p K h, a-hp^h, .... a -t- p k h les k racines qui tendent vers a lorsqu’on fait tendre

Sur la théorie des

Ce travail fait, en quelque sorte, suite au précédent. Il est relatif à une méthode generale pour ramener la démonstration des divers théorèmes du calcul des résidus au cas où il n’y a que des racines simples.

Sur les racines entières des équations à coefficients entiers.

Nouvelles Annales de Mathématiques, r° série, t. XVI.

Démonstration d’un théorème de Gauss (règle d’exclusion).

Sur le développement des fonctions en séries ordonnées suivant les dénominateurs des réduites d’une fraction continue.

Journal de l’École Polytechnique, XXVIP Cahier.

La question traitée est la suivante : Connaissant les valeurs d’une fonction entière et de degré m pour m +-1 valeurs de la variable, représenter celte fonction par une suite ordonnée suivant les dénominateurs des réduites de la fraction continue provenant d’une fraction rationnelle dont le dénominateur F (æ) a pour racines les valeurs attribuées à la variable.

Lorsqu’on cherche à résoudre ce problème, on est conduit à distinguer deux cas, suivant que le degré du dénominateur de la fraction est supérieur d’üne ou de plusieurs unités au degré du numérateur. Dans le premier cas, le problème est possible et déterminé, et nous donnons la formule correspondante. Dans le second cas, les coefficients inconnus dépendent d’un système linéaire surabondant, et la question proposée est impossible. Le meilleur parti à prendre consiste alors à traiter, ce système par la méthode des moindres carrés, en supposant aux valeurs données de la fonction une égale précision; on obtient de cette manière une valeur approchée sous la forme d'une fonction entière ordonnée suivant les dénominateurs des réduites définies dans l’énoncé ci-dessus.

L’étude de ce développement conduit à diverses propositions dont voici les plus saillantes ; i° Parmi les fractions rationnelles considérées, la dérivée logarithmique de F(m) jouit de cette propriété que, si l’on ne prend qu’un certain nombre de termes du développement, on obtient pour la fonction unevaleur approchée, qui est, de tous les polynômes entiers du même degré, celui qui rend minimum la somme des carrés des erreurs; 2 0 dans le cas particulier où Von fait croître la variable, par degrés égaux et insensibles, de — 1 a -t- 1, on retrouve le développement suivant les fonctions X„ de Legendre.

à leurs trajectoires orthogonales, soit de la forme

Les surfaces pour lesquelles ces conditions sont remplies ont un degré de généralité qui n’excède pas celui des surfaces de révolution; le mouvement de la génératrice est réglé par des constantes.

Pour que ce travail présente un ensemble complet, nous avons d’ailleurs repris, dans une première Partie, le cas où l’intégrale commune est indépendante du temps; il n'était pas sans intérêt de retrouver par une autre voie le théorème de M. Bertrand.

Les procédés connus pour déduire la formule d’interpolation de Newton de celle de Lagrange donnent lieu i> des calculs dépourvus à la fois de simplicité et d’élégance, tant la formule de Lagrange,- sous sa forme habituelle, se prête peu à la transformation demandée.

En cherchant à grouper convenablement les termes, nous avons été conduit è une forme qui non seulement fournit une solution immédiate du problème, mais qui est en général beaucoup plus commode pour la mise en nombres. Nous montrons enfin que cette forme n’est au fond que la traduction analytique d’une règle énoncée géométriquement dans le lemme V du Livre III des Principes de la Philosophie naturelle.

Sur l’intégration des équations différentielles linéaires.

Cauchy a démontré que J f(x, a) du est une intégrale particulière d’une équation linéaire complète d’ordre m, si/(æ, u) est une intégrale de l’équation sans second membre, telle que la fonction / et ses m — 2 premières

dérivées s’annulent pour oc = a et quel que soit a; on sait d’ailleurs former cette fonction/ lorsque l’on connaît l’intégrale générale de l’équation sans second membre.

L’objet principal de cette étude est la généralisation de ce théorème de Cauchy et son extension au cas où l’on n’a que n intégrales particulières de l’équation sans second membre. Il suffit de considérer J z<,f(oc, «) da, z a étant la valeur que prend, pour x = a, une intégrale particulière d’une équation linéaire d’ordre m — n. Le théorème ainsi généralisé permet d’ailleurs de retrouver sans peine la plupart des résultats connus ; en particulier, il conduit directement à une formule remarquable de M. Joachimstahl qui s’était borné à vérifier sa formule, après l’avoir devinée en quelque sorte à l’inspection des cas simples traités par le procédé de d’Alembert.

Dans la seconde Partie de ce travail, nous donnons les formules complètes relatives au cas où le premier membre est à coefficients constants, en tenant compte du degré de multiplicité des racines de l’équation caractéristique. Cauchy avait donné sans doute l’équivalent de ces dernières formules à l’aide du calcul des résidus; mais nos démonstrations sont beaucoup plus simples et plus naturelles.

Sur le calcul inverse des intégrales définies.

Comptes rendus, t. U.

■ En Mécanique, en Physique, en Géométrie, en un mot dans les diverses branches des Mathématiques pures ou appliquées, on rencontre la question

Déterminer une fonction inconnue par la condition qu'une certaine intégrale définie, contenant cette fonction sous le signe J, acquière une valeur algébrique donnée.

Malgré les précieux travaux d’Abel, de Murphy, de Liouville, la branche d’Analyse qui a pour objet le problème précédent, et qu’on peut appeler Calcul inverse des intégrales définies, n’est encore pour ainsi dire qu’à l’état d’ébauche. C’est à ce calcul que se rapporte notre travail; il est divisé en deux Parties.

Dans la première, nous nous sommes appliqué à retrouver par une mé-

thode nouvelle des résultats connus. C’est ainsi que nous résolvons, indépendamment de la considération des différentielles à indices fractionnaires, les diverses questions que Liouville a traitées dans son beau Mémoire inséré au XXI e Cahier du Journal de l’École Polytechnique; ces problèmes sont relatifs à la Géométrie, à l’attraction, au tautochronisme, à l’électromagnétisme et à l’électrodynamique. Nous en avons généralisé deux; ce sont : la question relative à l’action mutuelle de deux éléments de courant, dans laquelle nous avons laissé les deux fonctions inconnues sans rien préjuger sur leur forme ni sur leur relation mutuelle, et la question relative au tautochronisme, dans laquelle nous avons introduit un milieu résistant, à l’exemple d’Abel dont nous avons, par notre méthode, retrouvé tous les ré-

La seconde Partie est consacrée à la généralisation des formules qui précèdent. Délaissant alors les questions particulières, nous poursuivons surtout la recherche de formules très générales, pouvant se prêter à des applications variées. Nous sommes ainsi parvenu à former un groupe de théorèmes déduits par une voie uniforme de quelques principes simples et constituant en quelque sorte, par leur ensemble, une de ces théories dont la réunion devra former un jour le Calcul inverse des intégrales définies.

Sur la série de Lagrange.

Recueil des Savants étrangers, t. XVIII, et Journal de l’École Polytechnique, XXXIX' Cahier.

C’est dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, en 1768, que Lagrange a fait connaître pour la première fois l’expression, sous forme de série ordonnée suivant les puissances de a, d’une racine u bu d’une fonction d’une racine de l’équation

La démonstration de cette formule, qui a successivement fixé l’attention de Laplace, Jacobi, Cauchy, Tchebychef, etc., est un problème complexe. Il faut, en effet, distinguer d’abord la racine que l’on développe, indiquer les conditions sous lesquelles elle est développable, en série convergente, trouver la forme du développement, ainsi qu’une limite supérieure de l’erreur commise lorsqu’on prend un nombre limité de termes dans la série. Il convient enfin que tous ces résultats soient déduits d’un même principe par un procédé à la fois simple et rigoureux.

xlii,

Démonstration de la formule de Taylor donnant les diverses formes du reste.

Insérée dans le Traité de Calcul différentiel et intégral de M. Bertrand, dans le Cours d'Analyse de M. Hermite et dans les Traités d’Algèbre les plus récents (Briot, G. de Longchamps, etc.).

Sur la convergence des séries.

Si le rapport d’un terme au précédent a pour expression

p étant un nombre fixe entier et positif, la série est convergente lorsque x est positif, et divergente lorsque x est nul ou négatif.

On déduit de là très aisément le théorème de Gauss : Si le rapport d’un terme au précédent a pour expression

il faut et il suffit, pour que la série soit convergente, que la différence A — a soit plus grande que l’unité.

Sur la discussion des équations du premier degré.

Cette Note a été refondue plus tard, et les résultats se retrouvent, comme cas particulier, dans le Mémoire n° XIX.

l’identité de deux polynômes.

niait dans la plupart de le la valeur approchée a„ < ’oissant avec n; or nous a' sion à l’École Polytechni ■eprésente la diagonale d

dée sur l’introduction d’ ale de A, par défaut à mo a v pour toutes les valeur:

ai croît ou du moins ne

deux équations proposées; nous indiquons enfin un procédé pratique très aisé pour former l’éliminant de Cauchy.

Cette question a été reprise dans ces derniers temps par plusieurs géomètres français et étrangers, parmi lesquels nous citerons MM. Lemonnier, Darboux, Falke, Mansion. Mais M. Mansion, professeur à l’Université de Gand, qui est revenu plusieurs fois sur ce sujet et qui a résumé toutes ces études, a bien voulu reconnaître, dans son dernier travail critique ( Bulletin de l’Académie royale de Belgique, 1879), que j’avais le premier énoncé les conditions d’une manière exacte et complète.

Sur les équations algébriques linéaires.

Journal de l'École Polytechnique, XLVf Cahier.

L’étude complète d’un système de n équations linéaires à m inconnues n’avait pas encore reçu, avant ce travail, la forme simple et précise dont elle est susceptible; le nombre des cas que l’on distinguait et la diversité apparente des conclusions relatives à chacun d’eux laissaient dans l’esprit une confusion regrettable. Nous sommes parvenu à tout réduire , à un seul théorème qui, vu sa simplicité extrême et son entière généralité, a eu la bonne fortune de devenir.classique; enseigné aujourd’hui dans tous les Cours de Mathématiques spéciales, il figure, sous notre nom, dans les Traités d’Algèbre les plus récents ( voir les Traités de MM. Vacquant, Laurent, G. de Longchamps, Niewenglowski, etc.),, ’j .

Du tableau rectangulaire formé avec les coefficients des inconnues dans le système de n équations linéaires à m inconnues, on peut toujours déduire, en prenant un nombre égal de lignes et de colonnes, un déterminant qui ne soit pas nul et tel que tous ceux d’ordre supérieur au sien, déduits du tableau considéré, soient nuis. Nous donnons h ce déterminant le nom de principal et nous nommons déterminants caractéristiques du système les déterminants que l’on obtient en bordant le déterminant principal, à la partie inférieure, par les éléments homologues de Tune des horizontales non employées et, à droite, par les termes tout connus correspondants.

Cela posé, le théorème annoncé est le suivant :

Pour que le système de n équations linéaires à m inconnues soit compatible, il faut et il suffit que ses déterminants caractéristiques soient tous nuis; et, dans

règles dont la première est uni me l’expression des inconnue: i étant supérieur ou égal à rn fait connaître l’ordre de l’indé

Sur la ruine des joueurs.

« Pierre et Paul jouent l’un contre l’autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d’entrer au jeu; à chaque partie le perdant donne i fe au gagnant, et le jeu ne cessé que lorsque l’un quelconque des joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité pour que le jeu se termine précisément à la fin d’une partie de rang assigné? »

La solution est surtout remarquable par l’introduction de la fonction bien connue V„, que l’on rencontre dans la théorie de la division du cercle en parties égales.

Su

la fonction implicite définie par la relation

; -/) = msin (*+>).

Ce développement, qui est d’un usage fréquent en Astronomie et en Géodésie, est obtenu ordinairement à l’aide des exponentielles imaginaires ; on ne donne pas d’ailleurs l’expression du reste qui doit compléter le second membre, lorsqu’on s’arrête à un terme de rang assigné. L’objet de ce travail est de combler cette lacune regrettable, et de parvenir, par un procédé direct et facile, à la formule ainsi complétée.

Sur la formule de Stirling.

Démonstration simple de la formule

qui joue un grand rôle dans le Calcul des probabilités.

et l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires, on élimine l’angle o> qui seul distingue le diamètre considéré de son conjugué, on devra tomber sur une relation entre p, V, a et b, qui, lorsqu’on y considérera p comme inconnue, aura pour racines les longueurs des deux demi-diamètres conjugués. L’élimination, qu’on peut d’ailleurs opérer d’une manière simple et élégante, conduit, en effet, à l’équation

et il suffit d’écrire les relations entre les coefficients et les racines pour trouver simultanément les deux théorèmes d’Apollonius.

Sur une propriété des figures homographiques.

Bulletin de la Société philomathique (t865).

Démonstration géométrique de ce théorème fondamental : La courbe enveloppe des droites qui joignent les points homologues de deux divisions homographiques peut être placée sur un cône à base circulaire.

Cette démonstration, communiquée h la Société mathématique un peu après la publication du Traité des coniques de M. Chasles, est beaucoup plus simple que celle quj se trouve dans cet Ouvrage.

Sur les lignes asymptotiques d’une surface du quatrième degré.

Comptes rendus, t. LXXXIV.

La surface dont il s’agit est celle de l’arrière-voussure Saint-Antoine.

Que l’on considère une ellipse dont un axe OC est vertical, et un rectangle horizontal dont les côtés opposés MN, PQ ont respectivement pour milieux les extrémités B et B' de l’axe horizontal de l’ellipse ; la surface de l’arrière-voussure est engendrée par une ellipse variable dont le plan reste normal à la droite BB' et dont les sommets sont les points où ce plan rencontre l’ellipse BOC et les côtés opposés MQ, NP du rectangle. Elle a pour

Sur une fonction qui reste invariable dans la transformation par rayons vecteurs réciproques; application aux théorèmes de M. Casey sur le cercle

Démonstrations géométriques.

Sur la surface des ondes.

Traité de Géométrie de MM. Rouché et de Comberousse.

Démonstration géométrique d’un théorème très remarquable, découvert analytiquement par un géomètre anglais, M. Niven : « Si, par un point quelconque M de la surface de l’onde et par chacun des cercles principaux, on imagine une sphère, le second point commun à ces trois sphères est la projection du centre sur le plan tangent en M à la surface. »

Explication simple, à l’aide de cette proposition, des singularités de la surface; points coniques et cercles de contact.

Sur l'impossibilité de la quadrature du cercle.

11 n’est guère de problème qui ait donné lieu à plus de tentatives que celui de la quadrature du cercle : on entend par là, comme on sait, la construction avec la règle et le compas, c’est-à-dire à l’aide d’un nombre limité de droites et de cercles, du carré équivalent à un cercle-donné quelconque. L’insuècès de tant d’efforts avait fait regarder ce problème comme impossible, bien qu’il n’existât, à vrai dire, aucune démonstration rigoureuse do cette impossibilité; on avait seulement prouvé jusqu’ici que le rapport de la circonférence au diamètre est incommensurable (Lambert, 1761), et qu’il en est de même de son carré (Legendre, Note IV de sa Géométrie; Hf.rmite, Journal de Crelle, 1873).

Lobattcheffskyqui, écrivait-il à Schumacher, « avait traité la matière de main de maître », Depuis lors un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont considérablement agrandi le champ de ces spéculations qui, on ne saurait le méconnaître, ont jeté une vive lumière sur la véritable origine des vérités géométriques.

Notre travail est consacré à l’exposition des principes fondamentaux de la Géométrie non euclidienne, que nous avons poursuivie jusqu’au développement complet des équations entre les éléments des triangles rectilignes et sphériques.

On voit d’abord par là que la Trigonométrie sphérique est indépendante du postulalum d’Euclide, et que les formules de la Trigonométrie plane ordinaire subsistent aussi toujours lorsque les côtés du triangle considéré sont infiniment petits.'

Enfin il résulte de ces formules que les relations métriques des figures planes dépendent d’une longueur k, qui ne peut être déterminée a priori -, mais, si ce paramètre k doit rester indéterminé au point de vue purement logique et abstrait, il n’en est plus de même quand on arrive à la pratique : il faut alors le fixer, et il n’est pas d’autre moyen pour cela que de recouriià l’observation. Une seule expérience suffit : elle consiste à mesurer les éléments d’un triangle et à porter leurs valeurs numériques dans l’une des équations d’où l’on tirera la valeur de k. Or tout essai de ce genre conduit à une valeur de k tellement grande qu’elle dépasse tout ce que nous pouvons mesurer. On est donc ramené, dans la pratique, à la Géométrie euclidienne, qui, comme on l’a montré, répond à k = oo.

On peut dire encore, pour rendre la chose peut-être plus sensible, que, d’après les formules établies, la somme des angles d’un triangle différé d’autant plus de deux droits que les côtés du triangle sont plus grands; si donc il existait dans la nature un écart entre la somme des angles d’un triangle et deux angles droits, c’est dans les plus grands triangles que l’écart se manifesterait le mieux; or on a constaté, par de nombreuses observations astronomiques, que dans les plus grands triangles l’écart n’atteignait jamais de seconde. La Géométrie pratique est donc la Géométrie euclidienne, et il faut admettre le postulatum, mais comme une vérité eæpéri-

La méthode de Duleau (Correspondance de l’École Polylechniq p. 438 ), aussi bien que la méthode du paraboloïde à trois direcl front que nous avons donnée le premier dans nos cours, il y a douze ans, et qui fait l’objet du numéro précédent, sont fondées l’autre sur Xemploi d'un point déterminé, ce qui est un défaut, ce pi vant être placé d’une manière défavorable.

La méthode que nous faisons connaître ici est très simple en théi est susceptible de s’étendre à une surface de révolution quelconqi offre en outre l’avantage, inhérent à toute bonne solution grapl laisser une certaine latitude à l’opérateur. Le principe sur lequel fondée est le suivant : « Si deux hyperboloïdes ont leurs cercles dans un même nlan. laDroiection sur ce Dlan de l’intersection des <

dinairement toutes ces propriétés par des considérations empruntées à la science des forces. On conçoit pourtant combien il serait désirable de demander la démonstration des propriétés géométriques à la Géométrie seule. Diverses tentatives ont été faites dans ce sens, mais d’une manière fort incomplète, et par des procédés dépourvus de simplicité et d’uniformité.

Nous sommes parvenus à déduire, avec une facilité extrême, les propriétés géométriques fondamentales des polygones funiculaires d’un théorème nouveau, qui mériterait de prendre place dans les Éléments de Géométrie, et dont voici l’énoncé :

Deux triangles ABC, A'B'C' sont tek que Us côtés AB et AC de l’un soient respectivement parallèles aux côtés A'B' et A'C' de l'autre. Si, par le sommet A du premier, on mène la parallèle AD à la base B'C' du second, et que, par le sommet A' du second, on mène la parallèle A'B' à la base BC du premier, les points D et D' diviseront les bases BC et B'C' en parties inversement proporlion-

Cette théorie géométrique se termine par divers tracés intéressants et relatifs à la construction d’un polygone funiculaire astreint à certaines conditions.