Sur les surfaces orthogonales
(Annales de l'École Normale, r* série, t. III, p. 97 ; 1866.)
Ce Mémoire se divise en trois Parties :
La première contient l'étude détaillée du système orthogonal signalé plus haut et formé de surfaces du quatrième ordre. À ce système correspondent des coordonnées curvilignes analogues aux coordonnées elliptiques. Les surfaces de chaque système peuvent être divisées en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure, etc.
La deuxième Partie renferme des recherches sur les surfaces orthogonales en général. Il y est montré que, étant donnée une famille de surfaces dont l'équation est
il faut et il suffit, pour que ces surfaces fassent partie d'un système orthogonal, que p satisfasse a une seule équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Ce résultat constitue un théorème nouveau et intéressant, car, étant donné un système d'équations aux dérivées partielles
( l ) Travail présenté comme Thèse à la Faculté des Sciences de Paris le 1 \ juillet 1869. Examinateurs : MM. Chasles, Serre t, Bouquet.
contenant plusieurs fonctions, l'élimination de toutes les fonctions, moins une, ne conduit pas, en général, à une seule équation.
Déjà, en 1862, M. Bonnet avait obtenir, par une méthode toute différente, une réduction du même problème à l'intégration d'une équation du troisième ordre. Toutefois le résultat de M. Bonnet n'entraînait pas comme corollaire celui que j'ai établi*
La deuxième Partie du Mémoire se termine par une étude approfondie des équations de Lamé et une méthode générale de recherche des systèmes orthogonaux fondée sur l'introduction d'une fonction V satisfaisant k une équation aux différentielles partielles du sixième ordre.
La troisième Partie contient des applications de la méthode de recherche précédente. J'y donne, en particulier, un système orthogonal formé de surfaces à lignes de courbure planes. Les formules qui le déterminent contiennent trois fonctions arbitraires d'une seule variable..
8. Note sur une classe de courbes du quatrième ordre et sur V+addition des fonctions elliptiques.
(Annales de l'École Normale, i^série,!. IV, p. 81; 1867.)
J'établis que les ovales de Descartes ayant les trois mêmes foyers se coupent à angle droit et en second lieu que l'équation différentielle de ce système de courbes est l'équation célèbre d'Euler, d'où résultent à la fois un mode d'intégration géométrique de cette équation et en même temps une forme nouvelle pour son intégrale.
La Note contient aussi une méthode nouvelle d'intégration par l'Analyse de cette même équation différentielle. M. Bertrand a bien voulu reproduire celte seconde méthode dans son Traité de Calcul intégral.
