IV. — Équations non linéaires
11 resterait à faire pour les équations non linéaires ce que j'ai fait pour les
équations linéaires, c'est-h-dire trouver des développements des intégrales qui
soient toujours convergents. Je n'ai pu y parvenir; j'ai seulement reconnu que
l'on peut, d'une infinité de manières, exprimer ces intégrales par des séries qui
convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j'ai opéré (23, 76).
Je mets les équations différentielles sous la forme
dxx dx^ dxn,
les X„ étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J'introduis ensuite une variable auxiliaire s définie par l'équation
dx^ dXf dx^ ds
Je puis alors démontrer que si a est convenablement choisir, les variables x peuvent se développer suivant les puissances croissantes de
et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de s.
Si Ton applique ce qui précède au problème des trois corps, on verra que, quand s varie de — oo à 4- qo, ^ varie de — oo à H- oo, de sorte que les développements restent convergents pour toutes les valeurs réelles du temps. Il n'y aurait d'exception que dans l'hypothèse, assez peu vraisemblable d'ailleurs, où deux corps viendraient se choquer à l'époque t^, et les développements ne nous apprendraient rien sur ce qui se passerait après l'époque du choc; le problème d'ailleurs ne se pose même pas. Si de plus on suppose que les éléments initiaux aient été choisis de telle sorte que les distances mutuelles restent constamment supérieures à une limite donnée, on peut remplacer la variable auxiliaire s par le temps lui-même et développer suivant les puissances de
êôTTî
Ainsi que je l'ai dit plus haut, je n'ai donné cette solution qu'à titre d'exemple.
Une pareille intégration est d'un caractère bien différent et évidemment beaucoup moins satisfaisante pour l'esprit que l'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes. Aussi y avait-il lieu de se demander si les méthodes qui avaient réussi pour les équations linéaires n'étaient pas applicables à d'autres classes d'équations, quoiqu'elles ne le fussent pas dans le cas général.
Un peu de réflexion fait tout de suite comprendre quelle est la différence
essentielle entre le cas général et celui des équations linéaires. Les équations linéaires n'ont qu'un nombre fini de points singuliers, tandis que les équations non linéaires en ont en général une infinité. On est donc amené à rechercher s'il n'existe pas d'autres classes d'équations dont les points singuliers soient en nombre fini.
M. Fuchs a publié, dans les Silzungsberitchte de l'Académie de Berlin, un Mémoire où il expose les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle et, en particulier, pour qu'une équation du premier ordre n'ait qu'un nombre fini de points singuliers. On put croire un instant que l'on était sur la voie d'une nouvelle catégorie de transcendantes uniformes et d'une nouvelle classe d'équations intégrahles.
Je fus donc amené à faire un examen plus approfondi de la question (47, 70); mais cet examen m*obligea à renoncer à l'espoir que j'avais conçu. Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs, ou bien se ramènent à l'équation de Riccati et par elle aux équations linéaires, ou bien sont intégrahles par les fonctions elliptiques ou algébriques. On n'est donc jamais conduit à une classe réellement nouvelle d'équations intégrahles. Peut-être sera-t-on plus heureux quand on passera aux équations d'ordre supérieur, mais cela est encore très douteux (*).
Quoi qu'il en soit, le résultat de M. Fuchs conserve encore son intérêt, puisqu'il nous fait connaître une catégorie d'équations différentielles intégrahles algébriquement. Mais, en tout cas, le problème de l'intégration des équations non linéaires ne peut être regardé comme résolu.
