XV. — Problème des n corps

On ne peut résoudre le problème des n corps que par approximations successives, et la première idée qui s'est présentée a consisté à développer les coordonnées des astres en séries ordonnées suivant les puissances des masses. C'est sur cette idée qu'est fondée toute la Mécanique céleste ancienne. Mais quels que soient les services qu'aient rendus autrefois ces anciens procédés et qu'ils soient capables de rendre encore, on n'a pas tardé à s'apercevoir de leur insuffisance et de leur impuissance à donner une approximation indéfinie. Dans les développements auxquels ils conduisent, on voit en eflet le temps entrer non seulement sous les signes sinus et cosinus, mais en dehors de tout signe trigonométrique. Ce fait suffit pour démontrer que le champ, où les anciennes méthodes conservent leur efficacité, quelque étendu qu'il puisse être, est certainement limité.

C'est ce qui explique les efforts qu'ont faits les géomètres pour remplacer les séries anciennes par des développements purement trigonométriques. Dans ces derniers temps, on a proposé deux méthodes remarquables qui paraissent atteindre

complètement ce but. La première est celle de M. Gyldén, qui est fondée sur l'emploi des fonctions elliptiques; la seconde est celle de M. Lindstedt, dont je me suis surtout occupé.

Dans cette dernière méthode, un artifice ingénieux permet à chaque approximation de faire disparaître les termes séculaires qui peuvent s'être introduits, fl est aisé de voir que cet artifice réussira toujours s'il n'y a qu'un terme à faire disparaître; mais il n'en serait plus de même s'il s'était introduit à la fois deux termes séculaires. Il est facile de vérifier d'ailleurs que, dans les premières approximations, on n'a à se débarrasser que d'un seul terme; mais on peut se demander s'il doit en être toujours ainsi. Un examen superficiel pourrait faire croire le contraire, et même M. Lindstedt était disposé à penser que sa méthode ne réussirait que s'il n'y avait entre les arguments aucune relation linéaire.

Je suis parvenu à démontrer que le terme séculaire qui peut apparaître à chaque approximation est toujours unique et que, par conséquent, la méthode de M. Lindstedt est toujours applicable (9G). Pour cela, j'ai eu recours à un théorème qui semblait ne se rapporter en aucune façon à la question, c'est-k-dire au théorème de Green. La méthode de M. Lindstedt permet donc d'exprimer les coordonnées des astres par des séries purement trigonométriques qui satisfont formellement aux équations de leur mouvement.

Il reste à savoir si ces séries sont convergentes. J'ai donc été amené pour contribuer à la solution de cette question à étudier les conditions de convergence des séries trigonométriques (42, 92). J'ai reconnu ainsi deux faits principaux :

i^ Si une pareille série est absolument convergente pour certaines valeurs du temps, elle l'est éternellement ; il n'en est plus de même quand la convergence n'est plus absolue.'

2"^ Une même fonction ne peut pas être représentée par deux séries différentes absolument convergentes.

Je n'ai pu résoudre, de façon à me mettre à l'abri de toute objection, la question de la convergence des séries particulières de M. Lindstedt; cependant, j'ai tout lieu de penser que ces séries ne convergent pas absolument, mais que, en ordonnant convenablement les termes, on peut les rendre semi-convergentes. La convergence pourrait alors ne subsister que pendant un intervalle de temps limité.

On croit d'ordinaire qu'une fonction représentée par une série trigonométrique absolument convergente ne peut croître au delà de toute limite. C'est même cette croyance qui sert de fondement aux démonstrations anciennes de la stabilité du système solaire et qui, depuis, a conduit les astronomes à faire tant d'efforts pour faire rentrer le temps sous les signes sinus et cosinus. Cette

croyance est erronée; j'ai montré (30, 92) qu'une pareille fonction devient aussi grande que Ton veut si la convergence n'est pas uniforme. Mais il y a deux manières de croître au delà de toute limite : une fonction peut « tendre vers l'infini » . Il arrive alors qu'elle finit par dépasser une quantité quelconque, si grande qu'elle soit, pour rester ensuite constamment supérieure à cette quantité. Une fonction peut encore subir une infinité d'oscillations successives, de façon que l'amplitude des oscillations croisse indéfiniment. J'ai montré (57) que les deux cas peuvent se présenter, en ce qui concerne la somme d'une série purement trigonométrique. En résumé, quand même on arriverait à représenter les coor^ données des astres par des séries trigonométriques convergentes, on n'aurait pas démontré la stabilité du système solaire.

J'ai lieu de croire que, si ce problème de la stabilité peut jamais être résolu, ce sera par des considérations analogues a celles que j'ai développées dans le § V de cette Notice; mais la solution me paraît encore très éloignée. Pour que la stabilité soit complète, il y a deux conditions à remplir : il faut d'abord que les distances mutuelles des astres restent inférieures à certaines limites; il faut ensuite que le système solaire, partant d'un certain état initial, finisse toujours par revenir, sinon à cet état initial lui-même, du moins à un état qui en difière aussi peu que l'on veut. Tout ce que j'ai pu faire, c'est de démontrer que la première condition entraine la seconde. C'est là une conséquence immédiate des résultats exposés dans le § V (76).

D'après ce qui précède, il semble qu'il soit impossible en général d'exprimer les distances mutuelles des astres par des séries purement trigonométriques convergentes. Mais il est des cas particuliers où les séries auxquelles on est conduit ne contiennent qu'un seul argument et où leur convergence est évidente. En effet, j'ai démontré (37, 91) que, dans le problème des trois corps, on peut choisir les éléments initiaux du mouvement, de telle façon que les distances mutuelles des trois masses soient des fonctions périodiques du temps. On est ainsi amené à une solution particulière du problème, que l'on peut ^\\pe\cv périodique.

Ces solutions périodiques sont de trois sortes : dans les unes, les inclinaisons sont nulles et les excentricités très petites; dans d'autres, les inclinaisons sont nulles et les excentricités finies; dans d'autres, enfin, les inclinaisons sont finies et les excentricités très petites.

Il est infiniment peu probable que ces solutions si particulières se rencontrent dans la nature; mais il est aisé de voir que l'on peut s'en servir pour étudier les autres intégrales du même problème. En considérant les trajectoires des trois corps dans une solution périodique comme une orbite intermédiaire et en rapportant leurs positions véritables aux positions qu'ils occuperaient sur cette

orbite intermédiaire, on est amené à une méthode nouvelle d'approximations successives qui nous révèle diverses propriétés des intégrales générales du problème des trois corps.

Cette méthode est applicable toutes les fois que les excentricités et les inclinaisons sont très petites. Mais un récent Mémoire de M. Tisserand semble indiquer qu'elle serait particulièrement avantageuse dans l'étude du mouvement d'Hypérion.